2019届二轮复习（文）第九章平面解析几何第3节课件（29张）（全国通用） 29页

第 3 节　圆的方程 最新考纲　 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 . 1. 圆的定义和圆的方程 知 识 梳 理 定点 定长 D 2 ＋ E 2 － 4 F ＞ 0 2. 点与圆的位置关系 平面 上的一点 M ( x 0 ， y 0 ) 与圆 C ： ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 之间存在着下列关系： ( 1) d ＞ r ⇔ M 在圆外，即 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ＞ r 2 ⇔ M 在 ； ( 2) d ＝ r ⇔ M 在圆上，即 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ＝ r 2 ⇔ M 在 ； ( 3) d ＜ r ⇔ M 在圆内，即 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ＜ r 2 ⇔ M 在 . 圆外 圆上 圆内 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 圆心在坐标原点半径为 r 的圆的方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 . 2. 以 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 为直径端点的圆的方程为 ( x － x 1 )·( x － x 2 ) ＋ ( y － y 1 )( y － y 2 ) ＝ 0. 3. 求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线 . 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) (1) 确定圆的几何要素是圆心与半径 .( 　　 ) (2) 方程 x 2 ＋ y 2 ＝ a 2 表示半径为 a 的圆 .( 　　 ) (3) 方程 x 2 ＋ y 2 ＋ 4 mx － 2 y ＋ 5 m ＝ 0 表示圆 .( 　　 ) (4) 方程 Ax 2 ＋ Bxy ＋ Cy 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示圆的充要条件是 A ＝ C ≠0 ， B ＝ 0 ， D 2 ＋ E 2 － 4 AF >0.( 　　 ) 诊 断 自 测 答案　 (1)√ 　 (2)× 　 (3)× 　 (4)√ 解析　 (2) 当 a ＝ 0 时， x 2 ＋ y 2 ＝ a 2 表示点 (0 ， 0) ；当 a ＜ 0 时，表示半径为 | a | 的圆 . 2. 若点 (1 ， 1) 在圆 ( x － a ) 2 ＋ ( y ＋ a ) 2 ＝ 4 的内部，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A .( － 1 ， 1) B .(0 ， 1) C .( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞) D. a ＝ ±1 解析 　 因为点 (1 ， 1) 在圆的内部， 所以 (1 － a ) 2 ＋ (1 ＋ a ) 2 <4 ，所以－ 1< a <1. 答案 　 A 答案 　 D 4. (2016· 浙江卷 ) 已知 a ∈ R ，方程 a 2 x 2 ＋ ( a ＋ 2) y 2 ＋ 4 x ＋ 8 y ＋ 5 a ＝ 0 表示圆，则圆心坐标是 ________ ，半径是 ________. 解析 　 由已知方程表示圆，则 a 2 ＝ a ＋ 2 ， 解 得 a ＝ 2 或 a ＝－ 1. 当 a ＝ 2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去 . 当 a ＝－ 1 时，原方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x ＋ 8 y － 5 ＝ 0 ， 化为 标准方程为 ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y ＋ 4) 2 ＝ 25 ， 表示 以 ( － 2 ，－ 4) 为圆心，半径为 5 的圆 . 答案 　 ( － 2 ，－ 4) 　 5 5. ( 必修 2P124A4 改编 ) 圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A ( － 1 ， 1) 和 B (1 ， 3) ，则圆 C 的方程为 ________. 解析 　 设圆心坐标为 C ( a ， 0) ， ∵ 点 A ( － 1 ， 1) 和 B (1 ， 3) 在圆 C 上， ∴ | CA | ＝ | CB | ， 解得 a ＝ 2 ，所以圆心为 C (2 ， 0) ， ∴ 圆 C 的方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 10. 答案　 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 10 考点一　圆的方程 【例 1 】 (1) ( 一题多解 ) 过点 A (4 ， 1) 的圆 C 与直线 x － y － 1 ＝ 0 相切于点 B (2 ， 1) ，则圆 C 的方程为 ________. ( 2) 已知圆 C 经过 P ( － 2 ， 4) ， Q (3 ，－ 1) 两点，且在 x 轴上截得的弦长等于 6 ，则圆 C 的方程为 ________. 解析 　 (1) 法一　 由已知 k AB ＝ 0 ，所以 AB 的中垂线方程为 x ＝ 3. ① 过 B 点且垂直于直线 x － y － 1 ＝ 0 的直线方程为 y － 1 ＝－ ( x － 2) ，即 x ＋ y － 3 ＝ 0 ， ② 所以圆 C 的方程为 ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 2. 法二　 设圆的方程为 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ( r ＞ 0) ， 故所求圆的方程为 ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 2. (2) 设圆的方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0( D 2 ＋ E 2 － 4 F >0) ， 又令 y ＝ 0 ，得 x 2 ＋ Dx ＋ F ＝ 0. ③ 设 x 1 ， x 2 是方程 ③ 的两根， 由 | x 1 － x 2 | ＝ 6 ，得 D 2 － 4 F ＝ 36 ， ④ 联立 ①②④ ，解得 D ＝－ 2 ， E ＝－ 4 ， F ＝－ 8 ，或 D ＝－ 6 ， E ＝－ 8 ， F ＝ 0. 故所求圆的方程为 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 4 y － 8 ＝ 0 或 x 2 ＋ y 2 － 6 x － 8 y ＝ 0. 答案 　 (1)( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 2 　 (2) x 2 ＋ y 2 － 2 x － 4 y － 8 ＝ 0 或 x 2 ＋ y 2 － 6 x － 8 y ＝ 0 规律方法 　求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程 . 一般来说，求圆的方程有两种方法： (1) 几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量 . 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质： ① 圆心在过切点且垂直切线的直线上； ② 圆心在任一弦的中垂线上； ③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2) 代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解 . (2) 由题意知圆过 (4 ， 0) ， (0 ， 2) ， (0 ，－ 2) 三点 ， ( 4 ， 0) ， (0 ，－ 2) 两点的垂直平分线方程为 y ＋ 1 ＝－ 2( x － 2) ， 考点二　与圆有关的最值问题 【例 2 】 已知实数 x ， y 满足方程 x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 1 ＝ 0. 当直线 y ＝ kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值， (3) x 2 ＋ y 2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 ( 如图 3). 考点三　与圆有关的轨迹问题 【例 3 】 设定点 M ( － 3 ， 4) ，动点 N 在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上运动，以 OM ， ON 为邻边作平行四边形 MONP ，求点 P 的轨迹 . 由于平行四边形的对角线互相平分， 又 N ( x ＋ 3 ， y － 4) 在圆上，故 ( x ＋ 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 4. 因此所求轨迹为圆： ( x ＋ 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 4 ， 规律方法 　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1) 直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2) 定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3) 几何法，利用圆的几何性质列方程； (4) 代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等 . 【训练 3 】 (2018· 郑州模拟 ) 已知线段 AB 的端点 B 在圆 C 1 ： x 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 16 上运动，端点 A 的坐标为 (4 ， 0) ，线段 AB 的中点为 M . ( 1) 试求 M 点的轨迹 C 2 的方程； ( 2) 若圆 C 1 与曲线 C 2 交于 C ， D 两点，试求线段 CD 的长 . 解 　 (1) 设 M ( x ， y ) ， B ( x ′ ， y ′) ， ∵ 点 B 在圆 C 1 ： x 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 16 上， ∴ (2 x － 4) 2 ＋ (2 y － 4) 2 ＝ 16 ，即 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4. ∴ M 点的轨迹 C 2 的方程为 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4.