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- 2021-06-30 发布
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2019-2020学年度天津市红桥区高一年级第一学期期末数学试卷
一、选择题
1.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据指数幂的运算公式,逐个检验,即可求出结果.
【详解】对于A,,故A错误;
对于B,,故B错误;
对于C,,故C错误;
对于D,,故D正确;
故选:D.
【点睛】本题主要考查指数幂的运算公式,属于基础题.
2.已知幂函数的图象过点,则函数的解析式为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设出函数的解析式,根据幂函数y=f(x)的图象过点,构造方程求出指数a的值,即可得到函数的解析式.
【详解】解:设幂函数的解析式为y=xa,
∵幂函数y=f(x)的图象过点,
∴2a,
解得a
∴
故选B.
【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法,其中对于已经知道函数类型求解析式的问题,要使用待定系数法,属于基础题.
3.函数恒过定点( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
根据对数函数必过定点,即可求出结果.
【详解】由对数函数的性质可知,当时,函数恒过定点.故选:A.
【点睛】本题主要考查了对数函数的性质,熟练掌握对数函数必过定点是解决本题的关键.
4.函数与的图象( )
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称
【答案】C
【解析】
【分析】
令,则,由与图象关于原点对称即可得解.
【详解】解:令,则
与的图象关于原点对称,
与的图象关于原点对称.
故选:
【点睛】本题考查指数函数的性质,属于基础题.
5.已知是锐角,那么是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 小于的正角 D. 不大于直角的正角
【答案】C
【解析】
【分析】
根据是锐角,得出的取值范围是,再判定的终边位置即可.
【详解】∵是锐角,即,∴.
所以是小于的正角.故选:C.
【点睛】本题考查象限角的概念及判定,任意角的概念.得出的取值范围是关键.
6.已知,则的值为( )
A. 2 B. C. -2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,对分子和分母同时除以,利用,可将原式化简成,由此即可求出结果.
【详解】由题意可知,,故选:B.
【点睛】本题主要考查了同角的基本关系的应用,熟练掌握和应用是解题关键,属于基础题.
7.已知,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对数的两个重要公式,可知,据此即可求出结果.
【详解】因为,,
所以,,,所以.故选:A.
【点睛】本题主要考查了对数大小比较以及对数函数单调性的应用,属于基础题.
8.为了得到函数的图象,只需将函数图象上所有的点( )
A. 向左平行移动个单位 B. 向右平行移动个单位
C. 向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件根据函数的图象变换规律,可得结论.
【详解】因为,故要得到的图象, 只需将函数的图象向左平移个单位长度即可;故选:C.
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律,属于基础题.
9.在中,,则角等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由两角和公式可得 以及诱导公式可知 ,可得,据此即可求出结果.
【详解】由两角和公式可得
由诱导公式可知 ,所以,可知,又,所以,又,所以.故选:B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的正切公式以及诱导公式的应用,属于基础题.
二、填空题
10.求值:______.
【答案】0
【解析】
【分析】
利用对数的两个重要公式,即可求出结果.
【详解】.
故答案为: 0.
【点睛】本题主要考查了对数的两个重要公式的应用,属于基础题.
11.求值:______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数的诱导公式,即可求出结果.
【详解】.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的用法,属于基础题.
12.求值:______.
【答案】1
【解析】
【分析】
利用两角和的正弦公式,即可求出结果.
【详解】.
故答案为:1.
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式,属于基础题.
13.函数,,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数的诱导公式,可得,再根据,即可求出结果.
【详解】因为, ,所以,又,所以.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式以及同角的基本关系,属于基础题.
14.,则f(f(2))的值为____________.
【答案】2
【解析】
【分析】
先求f(2),再根据f(2)值所在区间求f(f(2)).
【详解】由题意,f(2)=log3(22–1)=1,故f(f(2))=f(1)=2×e1–1=2,故答案为2.
【点睛】本题考查分段函数求值,考查对应性以及基本求解能力.
15.已知函数的定义域和值域都是,则 .
【答案】
【解析】
若,则在上为增函数,所以,此方程组无解;
若,则在上为减函数,所以,解得,所以.
考点:指数函数的性质.
【此处有视频,请去附件查看】
三、解答题
16.已知,且是第二象限角.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
分析】
(1)根据题意以及同角基本关系可知,再利用二倍角公式即可求出结果;
(2)根据(1)的结果利用两角和余弦公式,即可求出结果.
【详解】(1)∵,是第二象限角,∴,
∴.
(2)∴.
【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系和两角和的余弦公式,属于基础题.
17.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数取得最大值时的集合.
【答案】(1),(2)
【解析】
【分析】
(1)由条件利用正弦函数的单调性,求得函数的单调区间.
(2)利用正弦函数的定义域和值域,求得函数取得最大值,以及此时的自变量的值.
【详解】(1)在上的增区间满足:,,
∴,解得:,,
所以单调递增区间为,,
单调递增区间为,.
(2),
令:,,解得:,,
函数取得最大值的集合为:.
【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域,属于基础题.
18.已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论.
【答案】(1)(2)是奇函数,证明见解析
【解析】
【分析】
(1)根据对数函数的性质进行求解即可;
(2)根据函数奇偶性的定义进行判断.
【详解】(1)由,解得,∴,∴函数的定义域.
(2)函数是奇函数.
证明:由(1)知定义域关于原点对称.因为函数.
∵,
所以函数是奇函数.
【点睛】本题主要考查函数定义域,奇偶性的判断,利用定义法是解决本题的关键.
19.已知函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数在区间上的最小值和最大值.
【答案】(1)(2)最小值-1,最大值
【解析】
【分析】
(1)利用三角函数的同角基本关系、二倍角公式和辅角公式,对解析式化简,可得,根据周期公式即可求出结果;
(2)根据.利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最小值和最大值.
【详解】(1)
,∴的最小正周期;
(2)在闭区间上,,故当时,函数取得最大值为,当时,函数取得最小值为-1.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性,正弦函数的定义域和值域,属于基础题.