湖北省鄂州市颚南高中2020届高三上学期10月月考数学（文）试题 21页

‎2019年高三年级10月联考文科数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设i为虚数单位，表示复数z的共轭复数，若，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得，然后利用复数减法、除法、乘法的运算，化简所求表达式.‎ ‎【详解】依题意，故，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数乘法、除法、减法运算，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合、，然后利用交集的定义可求出集合.‎ ‎【详解】当时，由于函数是增函数，此时，则.‎ ‎，‎ 因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查集合交集的计算，同时也考查了指数函数的值域与对数函数的定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知实数、、满足，那么“”是“”成立的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得出，由可知，然后再根据已知条件以及逻辑性关系推导出两者间的充分不必要条件关系.‎ ‎【详解】，若，则必有，由，可得出，则；‎ 另一方面，若，且，则，事实上，若，则.‎ 则.‎ 因此，“”是“”成立的充分不必要条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了不等式性质的应用，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎4.设，，，则、、的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先比较、、与的大小关系，可得出，，，然后再利用对数函数的单调性来比较和的大小关系，可得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】，对数函数为减函数，则，‎ 对数函数为增函数，则，且，‎ 因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂与对数式比较大小，一般利用中间值法，结合指数函数与对数函数单调性来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎5.函数的部分图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考查函数的定义域、在上的函数值符号，可得出正确选项.‎ ‎【详解】对于函数，，解得且，‎ 该函数的定义域为，排除B、D选项.‎ 当时，，，则，此时，，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点、函数值符号进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎6.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用题中条件推导出函数的周期，然后利用周期和奇函数的性质可求出 的值.‎ ‎【详解】函数是上的奇函数，‎ 则，，‎ 所以，函数是以为周期的周期函数，‎ 因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性、奇偶性以及对称性的应用，解题的关键就是推导出函数的周期，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎7.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角的正切公式求出的值，然后利用正切函数的周期性可求出的值.‎ ‎【详解】由二倍角正切公式可得，因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查正切值的计算，考查二倍角正切公式以及正切函数的周期的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎8.如图，在平行四边形中，、分别为、上的点，且，连接、交于点，若，则点在上的位置为（ ）‎ A. 边中点 B. 边上靠近点的三等分点 C. 边上靠近点的四等分点 D. 边上靠近点的五等分点 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，可得出，由，并将用表示，将用表示，利用、、三点共线求出的值，即可得出点在边上的位置.‎ ‎【详解】设，可得出，，.‎ ‎，‎ ‎、、三点共线，，解得，即，‎ 因此，点在边上靠近点的三等分点.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的基本定理与线性运算，解题的关键就是利用三点共线结论求出参数的值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎9.为了得到的图象，只需把函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将目标函数化为，初始函数化为，然后利用三角函数平移变换的规律可得出正确选项.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 因此，为了得到的图象，只需把函数的图象向右平移个单位长度.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在处理平移变换时，要注意以下两个问题：两个函数名称一致、平移量指的是在自变量上变化了多少，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10.函数在区间上不单调，实数的范围是（ ）‎ A. 或或 B. 或 C. D. 不存在这样的数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求出函数的极值点，由题意得出极值点在区间，从而可得出关于的不等式（组），解出即可.‎ ‎【详解】，，令，得.‎ 当或时，；当时，.‎ 所以，函数的极大值点为，极小值点为.‎ 由题意可得或，解得或.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数在区间上不单调求参数，一般转化为函数在区间上存在极值点来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎11.已知双曲线右焦点为，左顶点为，右支上存在点满足，记直线AB与渐近线在第一象限内的交点为，且，则双曲线的渐近线方程为（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意依次求出点的坐标，求出直线的方程，联立渐近线求出点的横坐标，利用向量关系即可得出关系式，进而可求出渐近线方程.‎ ‎【详解】易知，，得直线，联立渐近线，得，又，所以，得，又，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为时，渐近线方程为；‎ 当双曲线的标准方程为时，渐近线方程为.‎ ‎12.已知函数，存在、、、，使得 成立，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求出函数在区间上的最大值和最小值，由此可得出，由此可得出的最大值.‎ ‎【详解】，定义域为，则，‎ 令，得，当时，；当时，.‎ 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 故函数在处取得最小值，即，‎ 又，，且，所以，.‎ 由于存在、、、，使得成立，‎ 则，得，，则.‎ 因此，的最大值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，解题的关键就是将题意转化为函数的最值来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.曲线在处的切线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：先求导，再求切线的斜率，再写出切线的方程.‎ 详解：由题得因为切点为（1,2），‎ 所以切线方程即切线方程为.故答案为：.‎ 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是 ‎14.设函数，使得成立的的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数分析出函数在上是增函数，由可得，解出该不等式即可.‎ ‎【详解】，当时，，，则函数在上为增函数；‎ 当时，，，则函数在上为增函数.‎ 又函数在上连续，由可得，解得.‎ 因此，使得成立的的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数不等式的求解，利用导数分析函数的单调性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎15.不等式对任意的恒成立，则实数的最小值__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由参变量分离法得出，可得出，利用二次函数的性质求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由得，‎ 由题意可知，不等式对任意的恒成立，‎ 则.‎ 另一方面，且.‎ 所以，函数时取得最大值，即，.‎ 因此，实数的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用不等式恒成立求参数的取值范围，在解题时充分利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16.已知非零平面向量、不共线，且满足，记，当、的夹角取得最大值时，的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算以及基本不等式求出向量，然后利用平面向量模的坐标运算可求出的值.‎ ‎【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系，设，，设点、， ‎ 则，，则，得.‎ 设，则，则点的坐标为.‎ 则直线、的斜率分别为、，‎ 由两角差的正切公式可得，‎ 当且仅当时，即当时，等号成立，此时，.‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算以及利用基本不等式求最值，解题的关键在于求角的最大值转化为求夹角正切的最大值，考查计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题 （共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.若关于的不等式的解集为,记实数的最大值为.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若正实数满足,求的最小值.‎ ‎【答案】（1）3；（2）3‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）将问题转化为，只需求出的最小值即可．（2）结合，利用基本不等式求解即可．‎ 详解：（1）由题意得 ‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎（2）由（1）得，且，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 当且仅当且，即时等号成立．‎ ‎，‎ 即的最小值为3．‎ 点睛：绝对值三角不等式和基本不等式都是求最值的常用方法，解题时要根据题意选择合适的方法进行求解，同时也要注意这两种方法的使用条件．‎ ‎18.设的内角、、的对边分别为、、，向量，，且存在实数，使得.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得出，然后共线向量的坐标表示，结合边角互化思想以及余弦定理可求出的值，即可求得角的大小；‎ ‎（2）利用正弦定理得出，求出角的取值范围，可得出的取值范围，结合正弦函数的性质可得出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由于存在实数，使得，，‎ ‎，由正弦定理得，‎ ‎，由余弦定理得，又，；‎ ‎（2）由题意知，‎ ‎.‎ 由于存在实数，使得，，，‎ 又，，，，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想、余弦定理解三角形，同时也考查了解三角形中的参数问题，一般利用正弦定理转化为三角函数的值域问题求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19.垃圾种类可分为可回收垃圾，干垃圾，湿垃圾，有害垃圾，为调查中学生对垃圾分类的了解程度某调查小组随机抽取了某市的名高中生，请他们指出生活中若干项常见垃圾的种类，把能准确分类不少于项的称为“比较了解”少于三项的称为“不太了解”调查结果如下：‎ 项 项 项 项 项 项 项以上 男生（人）‎ 女生（人）‎ ‎（1）完成如下列联表并判断是否有的把握认为了解垃圾分类与性别有关？‎ 比较了解 不太了解 合计 男生 ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ 女生 ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ 合计 ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎（2）抽取的名高中生中按照男、女生采用分层抽样的方法抽取人的样本.‎ ‎（i）求抽取的女生和男生的人数；‎ ‎（ii）从人的样本中随机抽取两人，求两人都是女生的概率.‎ 参考数据：‎ ‎，.‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，没有；（2）（i）女生人，男生人；（ii）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中数据完善题中的列联表，并计算出 的观测值，利用临界值表得出犯错误的概率，即可对题中结论的正误进行判断；‎ ‎（2）利用分层抽样思想得出所抽取的男生人数为，女生人数为，将样本中的名女生为、、，名男生为、、、、、、，列出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率.‎ ‎【详解】（1）根据题意填得列联表如下，‎ 比较了解 不太了解 合计 男生 女生 合计 计算，‎ 所以没有的把握认为了解垃圾分类与性别有关；‎ ‎（2）（i）抽取的女生人数是（人），男生人数是（人）；‎ ‎（ii）记两人都是女生为事件，记样本中的名女生为、、，名男生为、、、、、、.‎ 从这人中随机抽取两人，基本事件分别为：‎ ‎、、、、、、、、、‎ ‎、、、、、、、、‎ ‎、、、、、、、‎ ‎、、、、、、‎ ‎、、、、、‎ ‎、、、、‎ ‎、、、、、共种；‎ 两人都是女的基本事件为、、，共种，‎ 故所求的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验基本思想的应用，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎20.如图所示，三棱柱中，侧面为菱形，在侧面上的投影恰为的中点 ．‎ ‎（1） 证明：；‎ ‎（2） 若，且三棱柱的体积为，求三棱柱的高.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明垂直所在的平面，进而可得证；‎ ‎（2）根据三棱柱的体积为，求得，由，得到三棱柱的高.‎ ‎【详解】（1）连接，因为侧面为菱形，‎ 所以，且与相交于点，‎ 因为平面，平面，‎ 所以，又，所以平面，‎ 因为平面，所以.‎ ‎（2）由且垂直平分可知是等腰直角三角形，则，‎ 又 得.‎ ‎，且等边中，，故中，‎ 又，易求得等腰中边上的高为，‎ 则，‎ 由有.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直判定定理、三棱柱高的概念，注意利用割补思想进行体积的求解运算，考查空间想象能力和运算求解能力.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，求证：.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况，分析在上的符号，可得出函数的单调区间；‎ ‎（2）由（1）得出函数的最小值为，于是问题转化为证明不等式，即证，构造函数，利用导数求出即可.‎ ‎【详解】（1），定义域为，且.‎ 若，则，所以，函数在上单调递减；‎ 若，令，得；令，得.‎ 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ ‎（2）由（1）知，，要证，‎ 只需证，即证，‎ 令，则，令，得 所以，，则当时，，所以在时单调递减；当时，，所以在上单调递增.‎ 所以，即证.‎ ‎【点睛】本题考查含参函数单调区间的求解，考查利用导数证明函数不等式，在证明时，一般转化为函数的最值来证明，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎22.如图，过点作两条直线和l分别交抛物线于A，B和C，D（其中A，C位于x轴上方，l的斜率大于0），直线AC，BD交于点Q．‎ ‎（1）求证：点Q在定直线上；‎ ‎（2）若，求最小值．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出两点的坐标和直线的方程，将直线的方程代入抛物线方程，写出根于系数关系.洗出直线的方程，化简后求得点在直线上.（2）先求得，，根据以及，求得的表达式，利用换元法和基本不等式求得的最小值.‎ ‎【详解】（1）设，，‎ 代入得，所以．‎ ‎，，‎ 消y得，故点Q在上．‎ ‎（2），，‎ 因为，所以，‎ 令，‎ 则，当时取到．‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线中点在定直线上的问题，考查直线和直线交点的求法，考查利用换元法和基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎ ‎