天津市和平区双菱中学2019-2020学年高二4月阶段检测数学试题 16页

2019-2020 学年天津市和平区双菱中学高二（下）4 月段考数 学试卷 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1.已知函数 ，则函数 的图象在 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：先根据导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式方程得到切线方程． 详解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴所求切线方程为 ，即 ． 故选 C． 点睛：利用导数的几何意义求切线方程时要注意“曲线在点 P 处的切线”和“曲线过点 P 的 切线”两种说法的区别．对于第一种说法可直接利用导数的几何意义求解，第二种说法则要 转化为第一种说法求解． 2.函数 在 上的最大值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】 求得函数的导数 ，得出函数的单调性，即可求解函数的最大值，得到答 ( ) 2ln 2 4f x x x x= + − ( )f x 1x = 3 0x y− + = 3 0x y+ − = 3 0x y− − = 3 0x y+ + = ( ) 2ln 2 4f x x x x= + − 1( ) 4 4f x xx ′ = + − (1) 1f ′ = (1) 2f = − ( 2) 1y x− − = − 3 0x y− − = ( ) lnf x e x x= − ( ]0 2e， 1 e− 1− e− ( ) 1e e xf x x x −′ = − = 案． 【详解】由题意，函数 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减， 所以当 ，函数 取得最大值，最大值为 ，故选 D． 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中利用导数求得函数的单调性是解 答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3.若函数 在 x＝2 处有极大值，则常数 c 为（ ） A. 2 B. 6 C. 2 或 6 D. -2 或-6 【答案】B 【解析】 【分析】 求出函数的导数，则 ，求出 c 值．然后再代回去检验函数的导数在 处左侧为 正数，右侧为负数．因为满足这个条件才能说在 处取得极大值． 【详解】∵函数 ，它的导数为 ， 由题意知，在 x＝2 处的导数值为 ，∴c＝6，或 c＝2， 又函数 在 x＝2 处有极大值，故导数值在 x＝2 处左侧为正数，右侧为负数. 当 c＝2 时， ，不满足导数值在 x＝2 处左侧 正数， 右侧为负数. 当 c＝6 时， ， 满足导数值在 x＝2 处左侧为正数，右侧为负数.故 c＝6. 故选 B. 【点睛】函数在 处取得极值的充要条件是：1） 2)导函数在 处两端异号． 所以此类题先求 ，再判断导函数在 处是否异号即可． 为 ( ) lnf x e x x= − ( ) 1e e xf x x x −′ = − = (0, )x e∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ,2 ]x e e∈ ( ) 0f x′ < ( )f x x e= ( )f x ( ) ln 0f e e e e= − = 2( ) ( )f x x x c= − ( )2 0f ′ = 2x = 2x = ( ) ( )2 3 2 22f x x x c x cx c x= − = − + ( ) 2 23 4f x x cx c= − +′ 212 8 0c c− + = ( ) ( )2f x x x c= − ( ) ( )2 23 8 4 3 23f x x x x x = − + = −′ −   ( ) ( ) ( )( )2 23 24 36 3 8 12 3 2 6f x x x x x x x= − + = − = −′ + − 0x ( )0 0f x′ = ox ( )0 0f x′ = 0x 4.已知 ，则 等于( ) A. -4 B. -2 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 首先对 f（x）求导，将 1 代入，求出 f′（1）的值，化简 f′（x），最后将 x＝3 代入即可． 【详解】因为 f′（x）＝2x+2f′（1）， 令 x＝1，可得 f′（1）＝2+2f′（1）， ∴f′（1）＝﹣2， ∴f′（x）＝2x+2f′（1）＝2x﹣4， 当 x＝3，f′（3）＝2． 故选 D 【点睛】本题考查导数的运用，求出 f′（1）是关键，是基础题． 5.平面 的一个法向量为 ，则 轴与平面 所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 取 轴 上 的 单 位 向 量 ， 则 轴 与 平 面 所 成 的 角 的 大 小 ， 由 公 式 可求解. 【详解】解：设 轴与平面 所成的角的大小为 ， 在 轴上的单位向量 ， 平面 的一个法向量为 ， ， ( ) ( )2 2 1f x x x f ′= + ⋅ 3( )f ' α (1, 3,0)n → = − y α 6 π 3 π 4 π 5 6 π y (0,1,0)j = y α sin | cos , |j nθ = < >  y α θ  y (0,1,0)j = α (1, 3,0)n = −r 3 3sin |cos , | 21 4 j nθ −∴ = < > = = ×   ． 故选：B． 【点睛】本题考查用向量方法求线面的夹角，属于基础题. 6.直三棱柱 ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E 为 BB′的中点，异面直线 CE 与 所成角的余弦值是（ ） A. B. C. - D. 【答案】D 【解析】 【分析】 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求 出异面直线 与 所成角的余弦值． 【详解】直三棱柱 中， ， ， 为 的中点． 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 设 ，则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ， 设异面直线 与 所成角为 ， 则 ． 异面直线 与 所成角的余弦值为 ． 故选： ． 3 πθ∴ = C A′ 5 5 5 5 − 10 10 10 10 C CA x CB y CC′ z CE C A′ ABC A B C− ′ ′ ′ AC BC AA= = ′ 90ACB∠ = ° E BB′ C CA x CB y CC′ z 2AC BC AA= = ′ = (0C 0) (0E 1) (0C′ 2) (2A 0) (0CE = 1) (2C A′ = 2)− CE C A′ θ | | 2 10cos 10| | | | 5 8 CE C A CE C A θ ′= = = ′       ∴ CE C A′ 10 10 D 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7.已知函数 在 处有极值 10，则 值为（ ） A. ， B. ， 或 ， C. ， D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件函数 在 处有极值 10，则有 且 ，解出 的值，然后 再代入检验是否满足条件，得出答案 【详解】解：函数的导数为 ， 因为函数 在 处有极值 10， 所以 且 ． 即 ，解得 或 ． 当 ， ， ， 此时函数单调递增，所以此时函数没有极值，所以不满足条件． 所以经检验值当 ， 时，满足条件． 故选：A． 【点睛】本题考查函数取极值的情况，求参数的值，注意要检验，属于中档题. 的3 2 2( )f x x ax bx a= − − + 1x = a b、 4a = − 11b = 3a = 3b = − 4a = − 11b = 1a = − 5b = ( )f x 1x = 1(1) 0f = ( ) 01f ′ = a b、 2( ) 3 2f x x ax b′ = − − 3 2 2( )f x x ax bx a= − − + 1x = 1(1) 0f = ( ) 01f ′ = 2 3 2 0 1 10 a b a b a − − =  − − + = 3 3 a b =  = − 4 11 a b = −  = 3a = 3b = − 2 2( ) 3 6 3 3( 1) 0f x x x x′ = − + = −  4a = − 11b = 8.已知函数 在 R 上为增函数，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 函 数 在 R 上 为 增 函 数 , 等 价 于 对 恒成立，然后分离变量，得 ，求出 的最小值，就能确 定 m 的取值范围. 【 详 解 】 因 为 函 数 在 R 上 为 增 函 数 ， 所 以 对 恒成立，即 对 恒成立，又因 为 ，所以 ． 故选：A 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，分离变量是解决本题的关键. 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9.已知函数 ，则函数 的单调递减区间为_____． 【答案】 ， 【解析】 【分析】 求出函数的导函数 ，令 可得到答案. 【详解】解：令 ，解得： 或 ． 函数 的单调递减区间为 ， ， 故答案为： ， ， 【点睛】本题考查利用导数求函数的减区间，属于基础题. ( ) 2 1 2e ex xf x mx+ −= − − m ( ,4 e−∞  )4 e, +∞ ( ,2 e−∞  )2 e, +∞ ( ) 2 1 2e ex xf x mx+ −= − − ( ) 2 1 22e 2e 0x xf x m+ −′ = + − ≥ x∈R 2 1 22e 2ex xm + −≤ + 2 1 22e 2e+ −+x x ( ) 2 1 2e ex xf x mx+ −= − − ( ) 2 1 22e 2e 0x xf x m+ −′ = + − ≥ x∈R 2 1 22e 2ex xm + −≤ + x∈R 2 1 2 2 1 22e 2e 2 2e 2e 4 ex x x x+ − + −+ ≥ × = 4 em ≤ 21( ) 3 2ln2f x x x x= − + − ( )f x (0,1] [2, )+∞ 2( ) 3f x x x ′ = − + − ( ) 0f x′ < ( )2( ) 3 0 0f x x xx ′ = − + − > 2x ≥ 0 1x<  ∴ ( )f x (0,1] [2, )+∞ (0,1] [2, )+∞ 10.如图，在正四棱柱 中，底面边长为 2，直线 与平面 所成角的 正弦值为 ，则正四棱柱的高为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系, 设 ，求出平面 的一个法向量 ，则 ，则可以得到答案. 【详解】解：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所 示的空间直角坐标系， 设 ，则 ， ， ，故 ， ， ， 设平面 一个法向量为 ，则 ，可取 ， 故 ， 又直线 与平面 所成角的正弦值为 ， ，解得 ． 故答案为：4． 的 1 1 1 1ABCD A B C D− 1CC 1ACD 1 3 D 1, ,DA DC DD x y z 1DD a= 1ACD n 1 1cos , 3n CC< >=  D 1, ,DA DC DD x y z 1DD a= (2,0,0)A (0,2,0)C 1(0,0, )D a ( 2,2,0)= −AC 1 ( 2,0, )AD a= − 1 (0,0, )CC a= 1ACD ( , , )n x y z= 1 2 2 0 2 0 n AC x y n AD x az  ⋅ = − + =  ⋅ = − + =   21,1,n a  =     1 1 2 1 2 2 2cos , | || | 4 2 42 n CCn CC n CC aa a ⋅< >= = = +⋅ +      1CC 1ACD 1 3 2 2 1 32 4a ∴ = + 4a = 【点睛】本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题. 11.如图是 的导函数的图像，现有四种说法： ① 在 上是增函数； ② 是 极小值点； ③ 在 上是减函数，在 上是增函数； ④ 是 的极小值点； 以上正确的序号为________． 【答案】② 【解析】 【详解】试题分析：由 的图像可知， 当 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，所以 是函数 的极小值点，故①错误， ②正确；从图中可以看到 在 有一个零点，设为 ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递增，所以， 是函数 有极大值点，故③错误，④错误；综上可知，②正 确. 考点：1.函数的单调性与导数；2.函数的极值与导数. 的 '( )y f x= ( )f x ( 3,1)− 1x = − ( )f x ( )f x (2,4) ( 1,2)− 2x = ( )f x ( )f x′ ( 3, 1)x∈ − − ( ) 0f x′ < ( )f x 1 2x− < < ( ) 0f x′ > ( )f x 1x = − ( )f x ( ) 0f x′ = (3,4) 0x 02 x x< < ( ) 0f x′ < ( )f x 0 4x x< < ( ) 0f x′ > ( )f x 1 2x− < < ( ) 0f x′ > ( )f x 2x = ( )f x 12.已知函数 ，函数 ，若对任意的 ，存在 ，使得 ，则实数 的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意即等价于 ，求出 ，得出函数 的单调区间， 得出 最小值，从而得出答案. 【详解】解：对任意的 ，存在 ， 使得 ，等价于 ， 令 ，解得 ，且当 时， ， 则 在 上单调递增，所以 ， 又 在 上单调递减，所以 ， 则 ，解得 ， 故答案为 ． 【点睛】本题考查两函数构成的不等式中的任意和存在性问题求参数，属于中档题. 13.正三棱锥 P﹣ABC 高为 2，侧棱与底面所成角为 45°，则二面角 P﹣AB﹣C 的正切值是 _____，点 A 到侧面 PBC 的距离是_____． 【答案】 (1). 2 (2). 【解析】 【分析】 作 底面 ，交面 于点 ，连接 并延长交 于点 ，取 中点 ，连 2 1( ) 2 1f x x x = + + 1( ) 2 x g x m = −   1 [1,2]x ∈ 2 [ 1,1]x ∈ − ( ) ( )1 2f x g x m 7 ,2  − +∞  ( )min ( )minf x g x 3 2( ) 2f x x ′ = − ( )f x ( )f x 1 [1,2]x ∈ 2 [ 1,1]x ∈ − ( ) ( )1 2f x g x ( )min ( )minf x g x 3 2( ) 2 0f x x ′ = − = 1x = 1x > ( ) 0f x′ > ( )f x [ ]1,2 ( )min (1) 2 1 1 4f x f= = + + = ( )g x [ 1,1]− min 1( ) (1) 2g x g m= = − 14 2 m− 7 2m − 7 ,2  − +∞  6 5 5 PO ⊥ ABC ABC O BO AC D AB E 结 ，则点 在 上， 是二面角 的平面角， 根 据 棱 锥 的 高 、 结 合 侧 棱 与 底 面 成 的 角 ， 可 得 ； 求 得 ，利用 ，可得点 到面 的距离． 【详解】 作 底面 ，交面 于点 ，连接 并延长并 于点 ， 取 中点 ，连结 ，则点 在 上， 是二面角 的平面角， ∵正三棱锥 的高为 2，侧棱与底面所成的角为 ， ， ， ∴二面角 的正切值 ， 又 ， 设 ，则 ， 由勾股定理得 ，解得 ， ， ， ，设点 到面 的距离为 ， ，解得 ， ,PE CE O CE , ,PE AB CE AB PEO⊥ ⊥ ∠ P AB C- - tan 2POPEO EO ∠ = = 1 2 3 5 152PACS∆ = × × = P ABC A PBCV V− −= A PBC PO ⊥ ABC ABC O BO AC D AB E ,PE CE O CE , ,PE AB CE AB PEO⊥ ⊥ ∴∠ P AB C- - P ABC− 45 2, 45 , 90PO PBO POB∴ = ∠ = ∠ =  2, 1BO CO EO∴ = = = P AB C- - tan 2POPEO EO ∠ = = 3, 4 4 2 2BD PB= = + = CD x= 2BC x= 2 24 9x x− = 3x = 12 3, 2 3 3 3 32ABCBC S∆∴ = ∴ = × × = 11 4 5, 2 3 5 152PACPD S∆= + = ∴ = × × = P ABC A PBCV V− −= A PBC h 1 13 3 2 153 3 h∴ × × = × × 6 5 5h = ∴点 到面 的距离为 ．故答案为 ． 【点睛】本题考查二面角的正切值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查线面角的定义、 棱锥的体积公式，考查空间想象能力，是中档题．求二面角的大小既能考查线线垂直关系， 又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方 法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确， 但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角. 14.已知函数 在 上的最大值为 3，则实数 _______． 【答案】 【解析】 【分析】 由 ，分 和 讨论函数的单调区间，从而得出函数的最值，得出 答案. 【详解】解： ， 令 ， ， ①当 时， ， ， ， 在 上单调递增， ，即 （舍去）， ②当 时， ， ， ， 时， ， ． 故 在 上单调递增，在 上单调递减， ， ，即 ，即 ， A PBC 6 5 5 6 52, 5 1( ) ( 1)ln 1f x ax a xx = − − + + (0,1] a = e 2 ( 1)( 1)( ) ax xf x x − −′ = 1a 1a > 2 2 1 1 ( 1)( 1)( ) a ax xf x a x x x + − −′ = + − = ( ) ( 1)( 1)g x ax x= − − (0,1)x∈ 1a 1 1 0ax x− − < ( ) 0g x∴ > ( ) 0f x′ > ( )f x∴ (0,1] max( ) (1)f x f a∴ = = 3a = 1a > 10,x a  ∈   ( ) 0>g x ( ) 0f x′ > 1 ,1x a  ∈   ( ) 0 1( ) ln 0h x x x ′ = − − < ( )h x∴ (1, )+∞ ( ) 0h e = a e= e 21( ) ln 12 af x a x x += + + 1 2a = − ( )f x 1 ,ee      ( )f x 1 0a− < < ( )( ) 1 ln2 af x a> + − a 5 4 21 2 4 e+ 1 ,ee      a 1 0a− < < ( )f x ( )min 1 af x f a  −=   +  1 0a− < < ( )1 ln1 2 a af aa  − > + −  +  a 1 2a = − ( ) 21 ln 1,( 0)2 4 xf x x x= − + + > ∴ ． ∴当 时， 单调递减；当 时， 单调递 增． ∴当 时，函数取得极小值，也为最小值，且最小值为 ． 又 ， ， ∴ ． 所以函数在区间 上的最小值为 ，最大值为 ． （2）由题意得 ， ． ①当 ，即 时， 恒成立， ∴ 在 上单调递减． ②当 时， 恒成立， ∴ 在 上单调递增． ③当 时， ， 由 得 ，或 （舍去）， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增． 综上可得，当 ， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 单调递增； 当 时， 在 上单调递减． ( ) ( )( )2 1 11 1 2 2 2 2 x xx xf x x x x + −− =′ = − + = ( )0,1x∈ ( ) ( )0,f x f x′ < ( )1,x∈ +∞ ( ) ( )0,f x f x′ > 1x = ( ) 51 4f = 2 1 3 1 2 4f e e   = +   ( ) 21 2 4 ef e = + ( ) 2 max 1 2 4 ef x = + 1 ,ee      5 4 21 2 4 e+ ( ) ( ) 21' a x af x x + += ( )0,x∈ +∞ 1 0a + ≤ 1a ≤ − ( )' 0f x < ( )f x ( )0, ∞+ 0a ≥ ( )' 0f x > ( )f x ( )0, ∞+ 1 0a− < < 0 1 1a< + < ( )' 0f x = 1 ax a −= + 1 ax a −= − + ( )f x 0, 1 a a  −  +  ,1 a a  − + ∞  +  0a ≥ ( )f x ( )0, ∞+ 1 0a− < < ( )f x 0, 1 a a  −  +  ,1 a a  − + ∞  +  1a ≤ − ( )f x ( )0, ∞+ （3）由（2）可得，当 时， ， 若不等式 恒成立，则只需 ， 即 ， 整理得 ， 解得 ， ∴ ， 又 ， ∴ ． ∴实数 的取值范围为 ． 【点睛】（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内 的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论． （2）解决关于恒成立问题时，一般转化为求函数最值的问题处理．对于含有多个变量的恒成 立问题，则可采取逐步消去变量的方法求解，此时需要分清谁是主变量谁是次变量，一般情 况下，知道谁的范围谁就是主变量，求谁的范围谁就是参数． 16.如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，侧棱 底面 ， 垂 直于 和 ， ， ． 是棱 的中点． （1）求证： 面 ； （2）求二面角 的正弦值； （3）在线段 上是否存在一点 使得 与平面 所成角的正弦值为 若存在，请 1 0a− < < ( )min 1 af x f a  −=   +  ( ) ( )1 ln2 af x a> + − ( )1 ln 11 2 a af aa  − > + −  +  ( )1ln 1 1 ln1 2 1 2 a a a aa aa a − + −+ + > + −+ + ( )ln 1 1a + > − 11a e + > 1 1a e > − 1 0a− < < 1 1 0ae − < < a 1 1,0e  −   S ABCD− ABCD SA ⊥ ABCD AB AD BC 2SA AB BC= = = 1AD = M SB / /AM SCD S CD M− − DC N MN SAB 35 7 求出 的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2) ； (3)答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）通过建立空间直角坐标系，利用平面 的法向量 即可证明 平面 ； （2）分别求出平面 与平面 的法向量，利用法向量的夹角即可得出； （3）假设存在，利用线面角的夹角公式即可得出表达式，解方程即可。 【详解】解：（1）以点 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ． 则 ， ， ． 设平面 的法向量是 ，则 ，即 令 ，则 ， ．于是 ． ， ． 又 平面 ， 平面 ． （2）设平面 的法向量为 ．则 ， 即 据此可得平面 的一个法向量 , 设二面角 的平面角大小为 ，易知： DN DC 105 21 SCD 0n AM⋅ = / /AM SCD SCD CDM A ( )0,0,0A ( )0,2,0B ( )1,0,0D ( )0,0,2S ( )0,1,1M (0,1,1)AM = (1,0, 2)SD = − ( 1, 2,0)CD = − − SCD ( , , )n x y z= · 0 · 0 SD n CD n  =  =     2 0 2 0 x z x y − = − − = 1z = 2x = 1y = − (2, 1,1)n = −  0 1 1 1 1 0n AM⋅ = − × + × =  ∴ AM n⊥  AM ⊂/ SCD //AM∴ SCD CDM 11 1 1( , , )n x y z= ( )1, 2,0CD = − − ( )1,1,1DM = − 1 1 · 0 · 0 n CD n DM  = =     1 1 1 1 1 2 0 0 x y x y z − − = − + + = CDM 1 (2, 1,3)n = − S CD M− − θ 则 ，即 ． 二面角 的正弦值为 ． （3）假设存在满足题意的点 ，且： ， 设点 N 的坐标为 ，据此可得： ， 由对应坐标相等可得 ， 故 ，由于平面 的一个法向量 ， 由题意可得： 解得： ， 据此可得存在满足题意的点 ，且 的值为 . 【点睛】熟练掌握建立空间直角坐标系利用平面 的法向量 即可证明 平 面 、平面 与平面 的法向量的夹角求出二面角、线面角的夹角公式是解题的关 键，属于中档题。 1 1 cos 2 4 1 n n n n θ ⋅= =     2 1sin 1 cos 105 2 θ θ= − = ∴ S CD M− − 105 21 N ( )0 1DN DCλ λ= ≤ ≤  ( , , )N x y z ( -1, , )= (1,2,0)x y z λ ( )1,2 ,0N λ λ+ ( )1,2 1, 1MN λ λ= + − − SAB ( )1,0,0AD = ( ) ( )2 2 1 35 71 2 1 1 MN AD MN AD λ λ λ ⋅ += = ⋅ + + − +     2 3 λ = N DN DC 2 3 SCD 0n AM⋅ = / /AM SCD SCD CDM