高中数学：第四章《圆与方程》学案（新人教A版必修2） 2页

数学必修②4.1～‎4. 2.1‎教材学习解读 ‎: ‎ 一、学习目标 ‎ 1、初步理解圆的标准方程的形式及圆的标准方程的定义,学会判定二元二次方程表示圆的条件,能用这些知识求圆的方程.‎ ‎2、掌握判断直线与圆的位置关系的方法. ‎ 二、重点、难点 重点: 圆的方程, 直线与圆的位置关系.‎ 难点：二元二次方程表示圆的条件.‎ 三、知识点全解 ‎1、确定圆方程的条件 圆的标准方程中，有三个参数，只要求出这时圆的方程就被确定．因此确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．‎ ‎ 确定圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法。定义法是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；待定系数法即列出关于的方程组，求而得到圆的一般方程，一般步骤为：‎ ‎(1)根据题意，没所求的圆的标准方程为 ‎(2)根据已知条件，建立关于的方程组；‎ ‎(3)解方程组。求出的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．‎ ‎2、点与圆的位置关系:‎ 若，则点P在圆上；若,则点P在圆外；若,则点P在圆内；‎ ‎ 3、二元二次方程是否表示圆的条件： ‎ 先将二元二次方程配方得①,(1)当时，方程①表示以为圆心，为半径的圆；(2)当时，方程①表示点；（3）当时，方程①没有实根，因此它不表示任何图形.当方程 ‎①表示圆时，我们把它叫做圆的一般方程，确定它需三个独立条件且，这就确定了求它的方程的方法——待定系数法，注意用待定系数法求圆的方程，用一般形式比用标准形式在运算上简单，前者解的是三元一次方程组，后者解的是三元二次方程组.‎ ‎ 4、直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切和相离，判定的方法有两种:‎ ‎ (1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究。若有两组不同的实数解，即△>O，则相交；若有两组相同的实数解，即△=0，则相切；若无实数解，即△<0，则相离． ‎ ‎ (2)几何法：由圆心到直线的距离与半径的大小来判断：当<时，直线与圆相交；当=时，直线与圆相切；当>时，直线与圆相离．‎ ‎ 以上两种方法比较：为避免运算量过大，一般不用代数法，而是用几何法.‎ ‎5、直线与圆相切，切线的求法 ‎ ‎(1)当点在圆上时，切线方程为；‎ ‎(2)若点在圆上，则切线方程为；(3)斜率为且与圆相切的切线方程为：；斜率为且与圆相切的切线方程的求法，可以设切线为，然后变成一般式，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求．‎ ‎ (4)点在圆外面，则设切线方程为，变成一般式后，利用圆心到直线距离等于半径，解出，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上．‎ ‎ 四、思维误区警示 ‎ 1、本章节易犯的错误是圆的性质掌握不够熟练，从而导致在求方程时，方程列不出来或列不全．因此，建议同学们复习一下初中圆的有关性质．‎ ‎ 2、本章节的题目，其方法—般不止—种，因此方法的选取尤为重要，方法得当，则思路清晰，解法简明。方法不好，计算量大，且易出错,建议同学们多注意总结. ‎