宁夏六盘山高级中学2020届高三上学期期中考试（B卷）数学（理）试题 18页

宁夏六盘山高级中学 ‎2019-2020学年第一学期高三期中测试卷 学科：数学（理B）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1.已知集合,,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：先解分式不等式得集合A，再求函数值域得集合B，最后根据交集定义求结果.‎ 详解：因为，所以 因为，所以 因此，‎ 选B.‎ 点睛：集合的基本运算的关注点 ‎(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．‎ ‎(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．‎ ‎(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．‎ ‎2.给出如下四个命题：①若“且”为假命题，则均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”； ③“，则”的否定是“，则”；④在中，“”是“”的充要条件．其中正确的命题的个数是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合命题真假的判定即可判断①；根据否命题可判断②；根据含有量词的否定可判断③；根据正弦定理及充分必要条件可判断④．‎ ‎【详解】根据复合命题真假的判断，若“且”为假命题，则或至少有一个为假命题，所以①错误；‎ 根据否命题定义，命题“若，则”的否命题为“若，则”为真命题，所以②正确；‎ 根据含有量词的否定，“”的否定是“”，所以③正确；‎ 根据正弦定理，“”“”且“”“”，所以④正确．‎ 综上，正确的有②③④‎ 所以选C ‎【点睛】本题考查了复合命题真假的判断、否命题及含有量词的否定，正弦定理和充分必要条件的应用，属于基础题．‎ ‎3.角的终边经过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据三角函数定义，，，，所以，故选择D.‎ ‎4.已知向量，且，则实数=（ ）‎ A. B. ‎0 ‎C. 3 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，因为，所以 ‎，解得，故选C.‎ 考点：向量的坐标运算.‎ ‎5.已知函数，则函数的零点的个数为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得，分别作出函数和的图象，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【详解】解：由，得，分别作出函数和的图象如图，‎ 则由图象可知有个不同的交点，‎ 即函数的零点的个数为个．‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查主要考查函数零点的个数的判断，利用函数零点的定义可以直接求解，也可以利用数形结合来求解，属于基础题．‎ ‎6.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（　）‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据图象确定A的值，进而根据三角函数结果的点求出求与的值，确定函数的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果．‎ ‎【详解】由题意，函数的部分图象，‎ 可得，即，所以，‎ 再根据五点法作图，可得，求得，‎ 故．‎ 函数的图象向左平移个单位，可得 的图象，‎ 则只要将的图象向右平移个单位长度可得的图象，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎7.若，且，那么是( )‎ A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】解析：由题设可得 由题设可得，‎ 即该三角形等边三角形，应选答案B．‎ ‎8.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数在区间内存在单调递增区间，转化为在区间上有解，再转化为，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为在区间内存在单调递增区间，‎ 所以在区间上成立，‎ 即在区间上有解，‎ 因此，只需，解得.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查由导数在某区间内的单调性求参数的问题，只需对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性即可，属于常考题型.‎ ‎9.已知函数，将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于原点对称，则的一个值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象；再把所得的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象．结合所得的图象关于原点对称，可得，即，，当时，则的一个值是．‎ 故选D．‎ ‎10.函数的图象为C，如下结论中正确的是（ ）‎ ‎①图象C关于直线对称；②函数在区间内是增函数；‎ ‎③图象C关于点对称；④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C A. ①③ B. ②③ C. ①②③ D. ①②‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过三角公式将函数变形为的形式，‎ ‎①直接利用整体思想求出函数的对称轴方程，根据的取值求得结果.‎ ‎②直接利用整体思想求出函数的单调区间，根据的取值求得结果.‎ ‎③直接利用整体思想求出函数的对称中心，根据的取值求得结果. ④直接利用函数的平移变换求得结果.‎ 详解】解：‎ ‎①令：，解得：， 当时，图象关于直线对称，所以①正确.‎ ‎②令：， 解得：， 当时，函数在区间内是增函数；所以②正确.‎ ‎③令：，解得：， 当时，图象关于点对称.所以③正确. ④将的图象向右平移个单位，得到的函数解析式为，所以④错误. 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：正弦型三角函数的图象的应用，函数的对称轴，对称中心，函数的单调区间，函数的图象的平移变换，属于基础题型.‎ ‎11.已知函数满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c大小关系是(   )‎ A. a B. C. D. c ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，构造函数h（x）＝xf（x），则a＝h（20.6），b＝h（ln2），c＝（）•f（）＝h（﹣3），分析可得h（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上为减函数，进而分析可得h（x）在（0，+∞）上为减函数，分析有0＜ln2＜1＜20.6，结合函数的单调性分析可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，令h（x）＝xf（x），‎ h（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝﹣xf（x）＝﹣h（x），则h（x）为奇函数；‎ 当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＝f（x）+xf'（x）＜0，则h（x）在（﹣∞，0）上为减函数，‎ 又由函数h（x）为奇函数，则h（x）在（0，+∞）上为减函数，‎ 所以h（x）在R上为减函数，‎ a＝（20.6）•f（20.6）＝h（20.6），b＝（ln2）•f（ln2）＝h（ln2），c＝（）•f（）＝h（）＝h（﹣3），‎ 因为0＜ln2＜1＜20.6，‎ 则有；‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数h（x）＝xf（x），并分析h（x）的奇偶性与单调性．‎ ‎12.已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2−x），若函数 y=|x2−2x−3|与y=f（x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则 A. 0 B. m C. ‎2m D. ‎‎4m ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为的图像都关于对称，所以它们图像的交点也关于对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为，因此选B.‎ ‎【考点】 函数图像的对称性 ‎【名师点睛】如果函数，，满足，恒有 ‎，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用诱导公式变成同角，再利用两角差的正弦公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式及两角差的正弦公式的应用，是基础题.‎ ‎14.已知复数满足（是虚数单位），则 ．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．‎ ‎【详解】由（1+i）z=1﹣7i，‎ 得，‎ 则|z|=．‎ 故答案为5．‎ ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．‎ ‎15.若 ，则 __________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用同角三角函数的基本关系把1换成，， 分子分母同时除以，最后把的值代入即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 即答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．‎ ‎16.如图，菱形的边长为，，为的中点，则的值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由于菱形的边长为，，为的中点，先以点A位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出 ‎，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可。‎ ‎【详解】解：以点A位坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）‎ 所以，所以，故答案为4.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题。‎ 三、解答题（本大题共7小题，共70分.）‎ ‎17.已知.‎ ‎（1）求的最小正周期及单调递减区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和相应的x值.‎ ‎【答案】（1），单调递减区间为；（2）答案见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，根据向量的数量积的运用可得的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间； （2）上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出的最大值和最小值.‎ ‎【详解】解：， 由 （1）∴的最小正周期. ‎ 由. 得： ∴的单调递减区间为； （2）上时， 可得：， 当，即时，函数取得最小值为. 当，即时，函数取得最大值为. 故得函数在区间上的最大值3，最小值0.‎ ‎【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.属于基础题.‎ ‎18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA． （1）求角A的值； （2）若,，求△ABC的面积S．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知利用正弦定理，两角和的正弦公式、诱导公式化简可得 ，结合 ，可求 ，进而可求 的值；（2）由已知及余弦定理，平方和公式可求 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解.‎ 试题解析：（1）在△ABC中，∵acosC+ccosA=2bcosA， ∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA， ∴sin（A+C）=sinB=2sinBcosA， ∵sinB≠0， ∴，可得： （2）∵，，∴b2+c2=bc+4，可得：（b+c）‎ ‎2=3bc+4=10，可得：bc=2．∴．‎ ‎19.已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据最高顶点间的距离求出周期得，根据对称轴求出；‎ ‎（2）根据题意求出，结合诱导公式及和差公式求解.‎ ‎【详解】解：（1）因的图象上相邻两个最高点的距离为，‎ ‎∴的最小正周期，从而.‎ 又因的图象关于直线对称，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，此时.‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，‎ 由得，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】此题考查根据三角函数图像性质求参数的值，结合诱导公式和差公式处理三角求值的问题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）若函数图像上点处的切线方程为，求实数的值；‎ ‎（2）若在处取得极值，求函数在区间上的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）借助题设条件建立方程组求解；（2）先求出参数的值,再借助导数求最大值.‎ 试题解析：（1）因为的定义域为，函数图像上点处的切线方程为，所以：，‎ 当时，，，又点在直线上，所以 所以：‎ ‎（2）因为的定义域为．因为在处取得极小值，所以，即．当时，，‎ 当时，，当时，‎ 又 所以：函数在区间上的最大值为．‎ 考点：导数在研究函数的单调性及最值中的运用．‎ ‎【易错点晴】本题考查的是导数的几何意义和导数在研究函数的单调性和最值中的应用.对于导数的几何意义的问题求解时一定要搞清导函数在切点处的导函数值就是切线的斜率这一几何意义,当然也还要借助切点既在在切线上也在曲线上这一事实.关于函数在闭区间上的最值问题,一定要先求出函数在这个区间上的极值,再求出其最大最小值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论单调性；‎ ‎（2）当时，证明.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证.‎ 试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+），.‎ 若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.‎ 若a＜0，则当x∈时，；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为 ‎.‎ 所以等价于，即.‎ 设g（x）=lnx-x+1，则.‎ 当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.‎ ‎【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.‎ ‎（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎22.已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）：，：（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，即可得出答案．（2）分别计算出点M到 射线的距离和点P,Q的极坐标，结合三角形面积计算公式，即可得出答案．‎ ‎【详解】（1）曲线，把公式代入可得：‎ 曲线的极坐标方程为.‎ 设，则，则有.‎ 所以，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）到射线的距离为，‎ 射线与曲线交点，‎ 射线与曲线交点 ‎∴ ‎ ‎ 故 ‎【点睛】本道题目考查了普通方程和极坐标方程的转化，以及在极坐标方程下面积的计算方法，方程转化记住，极坐标长度用纵坐标相减．‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）m≤﹣或m≥1．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(Ⅰ)零点分段可得不等式的解集为{x|-}；‎ ‎(Ⅱ)由题意得到关于实数m不等式，求解不等式可得实数m的取值范围是m≤﹣或m≥1.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8，‎ 可化为①或②或③，…‎ 解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜，‎ 综合得原不等式的解集为{x|-}．‎ ‎（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，‎ 当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，…‎ 又不等式f（x）≤|‎3m+1|有解，则|‎3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1．‎