【数学】2020届一轮复习人教版（理）第3章第5讲简单的三角恒等变换第2课时学案 9页

第2课时　简单的三角恒等变换 题型 　三角函数式的化简与证明 ‎1．化简：(0<θ<π)．‎ 解　由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0，‎ ‎∴＝＝2cos.‎ 又(1＋sinθ＋cosθ) ‎＝ ‎＝2cos＝－2coscosθ，‎ 故原式＝＝－cosθ.‎ ‎2．证明：cosθ－cosφ＝－2sinsin.‎ 证明　因为θ＝＋，φ＝－，‎ 所以cosθ－cosφ＝cos－cos ‎＝coscos－sinsin－coscos－sin·sin＝－2sinsin.‎ ‎1．三角函数式的化简遵循的三个原则 ‎(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．‎ ‎(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．‎ ‎(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．‎ ‎2．三角恒等式的证明方法 ‎(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．‎ ‎(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．‎ ‎(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立.‎ ‎1.＋2的化简结果为________．‎ 答案　－2sin4‎ 解析　原式＝＋2 ‎＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为<4<，‎ 所以cos4<0，且sin42)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β＝________.‎ 答案　－ 解析　由根与系数的关系且a>2得，tanα＋tanβ＝－3a<0，tanαtanβ＝3a＋1>0.所以tanα<0，tanβ<0.‎ 又α，β∈，则α，β∈，于是α＋β∈(－π，0)，‎ tan(α＋β)＝＝＝1，‎ 又α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.‎ ‎2.计算：cos20°cos40°cos60°cos80°＝________.‎ 答案　 解析　原式＝cos20°cos40°cos80°‎ ‎＝＝ ‎＝＝.‎ 题型 　三角恒等变换的综合应用 角度1　研究三角函数的图象变换问题 ‎1.(2019·湖南四校联考)函数y＝sinx－cosx的图象可由函数y＝sinx＋cosx的图象至少向右平移的单位长度是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　因为y＝sinx－cosx＝2sin ‎＝2sin，‎ y＝sinx＋cosx＝2sin，‎ 所以函数y＝sinx＋cosx的图象至少向右平移个单位长度才能得到函数y＝sinx－cosx的图象.‎ 角度2　研究三角函数的性质问题 ‎2.(2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．‎ 解　(1)f(x)＝＋sin2x ‎＝sin2x－cos2x＋ ‎＝sin＋，‎ 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin＋.‎ 因为x∈，‎ 所以2x－∈.‎ 要使f(x)在区间上的最大值为，‎ 即sin在区间上的最大值为1，‎ 只需2m－≥，即m≥，‎ 所以m的最小值为.‎ 角度3　解决实际问题 ‎3．如图，在矩形OABC中，AB＝1，OA＝2，以B为圆心，BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，求四边形OMPN的周长的最小值．‎ 解　连接BP，设∠CBP＝α，其中0≤α＜，‎ 则PM＝1－sinα，PN＝2－cosα，‎ 则周长C＝6－2(sinα＋cosα)‎ ‎＝6－2sin，‎ 因为0≤α<，所以≤α＋<，‎ 故当α＋＝，即α＝时，周长C有最小值6－2.‎ ‎1.三角恒等变换在研究三角函数性质中的两个注意点 ‎(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．‎ ‎(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调区间、最值与周期．‎ ‎2．三角函数应用题的处理方法 ‎(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题．‎ ‎(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后得出结论并回答问题.‎ ‎1.(2018·静海区模拟)为了得到函数y＝sinxcosx＋cos2x的图象，只需将函数y＝sin2x的图象(　　)‎ A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 答案　A 解析　函数y＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin＝sin2.‎ 只需将函数y＝sin2x的图象向左平移个长度单位，即可得到函数y＝ sinxcosx＋cos2x的图象.‎ ‎2．如图是半径为1的半圆，且四边形PQRS是半圆的内接矩形，设∠SOP＝α，求α为何值时矩形的面积最大，并求出最大值．‎ 解　因为∠SOP＝α，所以PS＝sinα，SR＝2cosα，故S矩形PQRS＝SR·PS＝2cosαsinα＝sin2α，故当α＝时，矩形的面积有最大值1.‎ ‎3.(2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝sinx·cosx－cos.‎ ‎(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为g(x)．当x∈时，求函数g(x)的值域．‎ 解　(1)f(x)＝sinxcosx－cos＝sin2x－cos2x＝sin.‎ 令2x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋.‎ ‎∴函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.‎ ‎(2)易知g(x)＝sin.∵x∈，‎ ‎∴2x－∈，‎ ‎∴sin∈，‎ ‎∴g(x)＝sin∈，即当x∈时，函数g(x)的值域为.‎