2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题21 几何体与球切、接的问题（练）（解析版） 6页

专题21 几何体与球切、接的问题 ‎1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解法一：为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为，的中点，，，又，平面，∴平面，，为正方体的一部分，，‎ 即，故选D．‎ 解法二：设，分别为的中点，，且，为边长为2的等边三角形，，又，，‎ 中，由余弦定理可得，作于，，为的中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D ‎【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．‎ ‎2.【2018年全国卷Ⅲ文理】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，‎ 当平面时，三棱锥体积最大，此时，‎ ‎，,点M为三角形ABC的重心 ‎，中，有 ‎，，故选B.‎ ‎3.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取的中点，连接，所以，因为平面平面 所以平面，设， ‎ 所以，所以球的表面积为 ‎4.【2017课标3，文理】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 B ‎【解析】圆柱的轴截面如图，，，所以圆柱底面半径，那么圆柱的体积是，故选B．‎ ‎5. 【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是( )‎ ‎(A)4π (B) (C)6π (D) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．‎ ‎2.练模拟 ‎1.【2020届河北省张家口市高三上学期期末】体积为的正方体内有一个体积为的球，则的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】要使球的体积最大，则球为正方体的内切球， 正方体的体积为， 正方体的棱长为， 内切球的半径为，体积为，故选D.‎ ‎2．面积为的正六边形的六个顶点都在球的球面上，球心到正六边形所在平面的距离为 ，记球的体积为，球的表面积为，则的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 设正六边形的边长为，则，∴球的半径，‎ ‎∴，故选B．‎ ‎3.【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以 ‎ ‎4.【2017天津，文理】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设正方体边长为 ，则 ，‎ 外接球直径为.‎ ‎5.【2020届江西省赣州市高三上学期期末】中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，且平面， ，又该鳖臑的外接球的表面积为，则该鳖臑的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为外接球的表面积为，所以 ,将鳖臑补成长方体,长宽高为3,3,h，则鳖臑的外接球直径为长方体对角线,即 ‎ ‎3.练原创 ‎1．已知圆锥的高为3，它的底面半径为 ‎，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图：设球心到底面圆心的距离为，则球的半径为，由勾股定理得解得，故半径， 故选.‎ ‎2．正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱侧面面积最大值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设正三棱柱高为h，底面正三角形边长为a，则三棱柱侧面面积为 ，因 ，所以，因此三棱柱侧面面积最大值为 ，选A.‎ ‎3.三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，又，则球的表面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得：三棱锥为棱长为1的正方体内一个三棱锥，所以球为正方体的外接球，直径为正方体对角线长，因此球的表面积为 ‎4.已知三棱锥中，， 直线与底面所成角为，则此时三棱锥外接球的表面积为　 　．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】取BC的中点E,连接AE,DE，设，则，,‎ ‎,,所以，‎ 是AD与平面BCD所成的角，,，，即E为A-BCD的外接球的球心，所以外接球的表面积为.‎ ‎5.已知四面体中, ，，,平面PBC,则四面体的内切球半径与外接球半径的比( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图1，由已知及勾股定理得，为等边三角形，为等腰三角形.所以，，‎ 表面积，‎ 设内切球半径为，，所以，，；‎ 如图2，所在的小圆的直径因此大圆直径故内切球半径与外接球半径的比为，选.‎