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- 2021-06-30 发布
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第4讲 直线、平面平行的判定及其性质
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)
因为l∥a,
a⊂α,l⊄α,
所以l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
因为l∥α,
l⊂β,α∩β=b,
所以l∥b
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
因为a∥β,
b∥β,a∩b=P,
a⊂α,b⊂α,
所以α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
因为α∥β,
α∩γ=a,
β∩γ=b,
所以a∥b
3.线、面平行中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β;
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b;
(3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( )
(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( )
(3)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( )
(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
(5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
[教材衍化]
1.(必修2P61A组T1(1)改编)下列命题中正确的是( )
A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α
解析:选D.A错误,a可能在经过b的平面内;B错误,a与α内的直线平行或异面;C错误,两个平面可能相交;D正确,由a∥α,可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c,即a∥c,又a∥b,所以b∥c,b⊄α,c⊂α,所以b∥α.
2.(必修2P58练习T3改编)平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
解析:选D.若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.
3.(必修2P62A组T3改编)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为DD1的中点,则BD1与平面AEC的位置关系为________.
解析:连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,
在△BDD1中,E为DD1的中点,O为BD的中点,
所以EO为△BDD1的中位线,则BD1∥EO,
而BD1⊄平面ACE,EO⊂平面ACE,
所以BD1∥平面ACE.
答案:平行
[易错纠偏]
(1)对空间平行关系的转化条件理解不够致误;
(2)对面面平行判定定理的条件“平面内两相交直线”认识不清致误;
(3)对面面平行性质定理理解不深致误.
1.若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一的与a平行的直线
解析:选A.当直线a在平面β内且过B点时,不存在与a平行的直线.故选A.
2.下列条件中,能判断两个平面平行的是________.
①一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
②一个平面内的两条直线平行于另一个平面;
③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面;
④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面.
解析:由两个平面平行的判定定理可知,如果一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行,那么这两个平面平行.显然只有④符合条件.
答案:④
3.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.
解析:因为平面ABFE∥平面DCGH,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面DCGH=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.
答案:平行四边形
线面平行的判定与性质(高频考点)
平行关系是空间几何中的一种重要关系,包括线线平行、线面平行、面面平行,其中线面平行在高考试题中出现的频率很高,一般出现在解答题的某一问中.主要命题角度有:
(1)线面位置关系的判断;
(2)线面平行的证明;
(3)线面平行性质的应用.
角度一 线面位置关系的判断
设m,n表示不同直线,α,β表示不同平面,则下列结论中正确的是( )
A.若m∥α,m∥n,则n∥α
B.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β
C.若α∥β,m∥α,m∥n,则n∥β
D.若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则n∥β
【解析】 A错误,n有可能在平面α内;B错误,平面α有可能与平面β相交;C错误,n也有可能在平面β内;D正确,易知m∥β或m⊂β,若m⊂β,又n∥m,n⊄β,所以n∥β,若m∥β,过m作平面γ交平面β于直线l,则m∥l,又n∥m,所以n∥l,又n⊄β,l⊂β,所以n∥β.
【答案】 D
角度二 线面平行的证明
(2020·浙江省六市六校联盟模拟)如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,点D为AC的中点,AA1=AB=2.
(1)求证:AB1∥平面BC1D;
(2)若BC=3,求三棱锥DBC1C的体积.
【解】 (1)证明:连接B1C,设B1C与BC1相交于点O,连接OD.
因为四边形BCC1B1是平行四边形.
所以点O为B1C的中点.
因为点D为AC的中点,所以OD为△AB1C的中位线,所以OD∥AB1.
因为OD⊂平面BC1D,AB1⊄平面BC1D,
所以AB1∥平面BC1D.
(2)在三棱柱ABCA1B1C1中,
侧棱CC1∥AA1.又因为AA1⊥平面ABC,
所以侧棱CC1⊥平面ABC,
故CC1为三棱锥C1BCD的高,A1A=CC1=2,
因为S△BCD=S△ABC==,
所以VDBCC1=VC1BCD=CC1·S△BCD
=×2×=1.
角度三 线面平行性质的应用
如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,点E为线段AD上的任意一点(不包括A,D两点),平面CEC1与平面BB1D交于FG.证明:FG∥平面AA1B1B.
【证明】 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,BB1∥CC1,BB1⊂平面BB1D,CC1⊄平面BB1D,
所以CC1∥平面BB1D,
又CC1⊂平面CEC1,平面CEC1与平面BB1D交于FG,
所以CC1∥FG,因为BB1∥CC1,
所以BB1∥FG,而BB1⊂平面AA1B1B,FG⊄平面AA1B1B,所以FG∥平面AA1B1B.
证明直线与平面平行的常用方法
(1)定义法:证明直线与平面没有公共点,通常要借助于反证法来证明.
(2)判定定理法:在利用判定定理时,关键是找到平面内与已知直线平行的直线,可先直观判断题中是否存在这样的直线,若不存在,则需作出直线,常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面,找其交线进行证明.
1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
解析:选A.对于选项B,如图所示,连接CD,因为AB∥CD,M,Q分别是所在棱的中点,所以MQ∥CD,所以AB∥MQ,又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C,D中均有AB∥平面MNQ.故选A.
2.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,点F是AB的中点,点E是PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)在PC上求一点G,使FG∥平面AEC,并证明你的结论.
解:(1)证明:连接BD与AC交于点O,连接EO.
因为四边形ABCD为矩形,
所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,
所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)PC的中点G即为所求的点.
证明如下:设点G为PC的中点,
连接GE、FG,
因为E为PD的中点,
所以GE綊CD.
又F为AB的中点,且四边形ABCD为矩形,
所以FA綊CD.
所以FA綊GE.
所以四边形AFGE为平行四边形,
所以FG∥AE.又FG⊄平面AEC,AE⊂平面AEC,
所以FG∥平面AEC.
面面平行的判定与性质
如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,点E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【证明】 (1)因为点G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
所以GH∥B1C1,又B1C1∥BC,
所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.
(2)在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,
所以EF∥BC,
因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,
所以EF∥平面BCHG.
又因为G,E分别为A1B1,AB的中点,
所以A1G綊EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,
所以A1E∥GB.
因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,
所以A1E∥平面BCHG.
又因为A1E∩EF=E,
所以平面EFA1∥平面BCHG.
1.(变问法)在本例条件下,若点D为BC1的中点,求证:HD∥平面A1B1BA.
证明:如图所示,连接HD,A1B,
因为D为BC1的中点,
H为A1C1的中点,
所以HD∥A1B,
又HD⊄平面A1B1BA,
A1B⊂平面A1B1BA,
所以HD∥平面A1B1BA.
2.(变问法)在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.
证明:如图所示,连接A1C交AC1于点M,
因为四边形A1ACC1是平行四边形,
所以M是A1C的中点,连接MD,
因为D为BC的中点,
所以A1B∥DM.
因为A1B⊂平面A1BD1,
DM⊄平面A1BD1,
所以DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知,D1C1綊BD,
所以四边形BDC1D1为平行四边形,
所以DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1,
BD1⊂平面A1BD1,
所以DC1∥平面A1BD1,
又因为DC1∩DM=D,
DC1,DM⊂平面AC1D,
所以平面A1BD1∥平面AC1D.
1.(2020·嘉兴调研)如图,AB∥平面α∥平面β,过A,B的直线m,n分别交α,β于点C,E和D,F,若AC=2,CE=3,BF=4,则BD的长为( )
A. B.
C. D.
解析:选C.由AB∥α∥β,易证 =.
即=,
所以BD===.
2.如图所示,四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形,点M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明:(1)如图所示,设DF与GN交于点O,连接AE,则AE必过点O,
连接MO,则MO为△ABE的中位线,
所以BE∥MO.
因为BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN.
因为DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点,
所以MN为△ABD的中位线,
所以BD∥MN.
因为BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,
所以BD∥平面MNG.
因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,
所以平面BDE∥平面MNG.
立体几何中的探索性问题
如图,四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为PB的中点.
(1)求证:CE∥平面PAD;
(2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD∥平面CEF?若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由.
【解】 (1)证明:如图所示,取PA的中点H,连接EH,DH,
因为E为PB的中点,
所以EH∥AB,EH=AB,
又AB∥CD,CD=AB.
所以EH∥CD,EH=CD,
因此四边形DCEH是平行四边形,
所以CE∥DH,
又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,
所以CE∥平面PAD.
(2)如图所示,取AB的中点F,连接CF,EF,
所以AF=AB,又CD=AB,所以AF=CD,
又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形,
所以CF∥AD,
又CF⊄平面PAD,所以CF∥平面PAD,
由(1)可知CE∥平面PAD,
又CE∩CF=C,故平面CEF∥平面PAD,
故存在AB的中点F满足要求.
解决探索性问题的策略方法
(1)根据探索性问题的设问,假设其存在并探索出结论,然后在这个假设下进行推理论证,若得到合乎情理的结论就肯定假设,若得到矛盾就否定假设.
(2)按类似于分析法的格式书写步骤:从结论出发“要使……成立”“只需使……成立”.
如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,点D,E分别为AB,BC的中点.
(1)若F为BB1的中点,判断AC1与平面DEF是否平行?若平行,请给予证明,若不平行,说明理由;
(2)试问:在侧棱BB1上是否存在点F,使三棱锥FDEB的体积与三棱柱ABCA1B1C1的体积之比为.
解:(1)法一:连接B1C,BC1,B1C与BC1交于点G,连接DG,FG,
则DG∥AC1,
因为DG⊂平面GDF,AC1⊄平面GDF,
则AC1∥平面GDF.
由于平面GDF∩平面DEF=DF,
故AC1与平面DEF不可能平行.
法二:连接B1C,BC1,B1C与BC1交于点G,连接DG,FG,
则DG∥AC1,
而DG⊄平面DEF,且DG与平面DEF交于点D,
故AC1与平面DEF不可能平行.
(2)假设点F存在,由
=
=×=,得=,显然,点F不存在.
[基础题组练]
1.在空间内,下列命题正确的是( )
A.平行直线的平行投影重合
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
解析:选D.对于A,平行直线的平行投影也可能互相平行,或为两个点,故A
错误;对于B,平行于同一直线的两个平面也可能相交,故B错误;对于C,垂直于同一平面的两个平面也可能相交,故C错误;而D为直线和平面垂直的性质定理,正确.
2.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选B.当m∥β时,过m的平面α与β可能平行也可能相交,因而m∥βD/⇒α∥β;当α∥β时,α内任一直线与β平行,因为m⊂α,所以m∥β.综上知,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.
3.(2020·杭州中学高三期中)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β
B.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β
D.若m∥n,m∥α,则n∥α
解析:选C.对于A,若α⊥γ,α⊥β,则γ与β平行或相交;对于B,若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α与β平行或相交;对于D,若m∥n,m∥α,则n∥α或n在平面α内.
4.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则( )
A.BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形
B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形
D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形
解析:选B.由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EF綊BD,所以EF∥平面BCD.又H,G分别为BC,CD的中点,所以HG綊BD,所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形.
5.如图,若Ω是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1FHC1G后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论不正确的是( )
A.EH∥FG B.四边形EFGH是矩形
C.Ω是棱柱 D.Ω是棱台
解析:选D.因为EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,
所以EH∥B1C1,所以EH∥平面BCGF,
又因为FG⊂平面BCGF,所以EH∥FG,故A正确;
因为B1C1⊥平面A1B1BA,EF⊂平面A1B1BA,
所以B1C1⊥EF,则EH⊥EF,
又由上面的分析知,EFGH为平行四边形,故它是矩形,故B正确;
因为EH∥B1C1∥FG,故Ω是棱柱,故C正确.
6.(2020·杭州二中期中考试)如图,在多面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则( )
A.BF∥平面ACGD
B.CF∥平面ABED
C.BC∥FG
D.平面ABED∥平面CGF
解析:选A.取DG的中点为M,连接AM,FM,如图所示.
则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形,所以DE綊FM,因为平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,所以AB∥DE,所以
AB∥FM.又AB=DE,所以AB=FM,所以四边形ABFM是平行四边形,即BF∥AM.又BF⊄平面ACGD,所以BF∥平面ACGD.故选A.
7.如图,在空间四边形ABCD中,M∈AB,N∈AD,若=,则直线MN与平面BDC的位置关系是__________.
解析:在平面ABD中,=,
所以MN∥BD.
又MN⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,
所以MN∥平面BCD.
答案:平行
8.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.
解析:因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,
所以EF∥AC,所以点F为DC的中点.
故EF=AC=.
答案:
9.(2020·宁波效实中学模拟)如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)
解析:连接HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD,所以平面FHN∥平面B1BDD1,只要M∈FH,则MN⊂平面FHN,所以MN∥平面B1BDD1.
答案:M位于线段FH上(答案不唯一)
10.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点P是A1B1的中点,过点A1作与截面PBC1平行的截面,所得截面的面积是________.
解析:如图,取AB,C1D1的中点E,F,连接A1E,A1F,EF,则平面A1EF∥平面BPC1.
在△A1EF中,
A1F=A1E=,EF=2,
S△A1EF=×2×=,
从而所得截面面积为2S△A1EF=2.
答案:2
11.如图,已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,点G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,点H是B1C1的中点.
(1)求证:E,B,F,D1四点共面;
(2)求证:平面A1GH∥平面BED1F.
证明:(1)因为AE=B1G=1,所以BG=A1E=2,
因为BG∥A1E,所以A1G∥BE.
又因为C1F綊B1G,
所以FG∥C1B1∥D1A1,所以四边形A1GFD1是平行四边形.
所以A1G∥D1F,所以D1F∥EB,
故E、B、F、D1四点共面.
(2)因为点H是B1C1的中点,所以B1H=.
又B1G=1,所以=.
又=,且∠FCB=∠GB1H=90°,
所以△B1HG∽△CBF,
所以∠B1GH=∠CFB=∠FBG,所以HG∥FB.
又由(1)知A1G∥BE,且HG∩A1G=G,
FB∩BE=B,所以平面A1GH∥平面BED1F.
12.如图,斜三棱柱ABCA1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.
(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.
解:(1)如图,取D1为线段A1C1的中点,
此时=1.
连接A1B交AB1于点O,连接OD1.
由棱柱的性质,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
所以OD1∥BC1.
又因为OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,
所以BC1∥平面AB1D1.
所以=1时,BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,
且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,
平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.
因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.
所以=,=.
又因为=1,
所以=1,即=1.
[综合题组练]
1.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:
①没有水的部分始终呈棱柱形;
②水面EFGH所在四边形的面积为定值;
③棱A1D1始终与水面所在平面平行;
④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选C.由题图知,显然①是正确的,②是错的;
对于③因为A1D1∥BC,BC∥FG,
所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH,
所以A1D1∥平面EFGH(水面).
所以③是正确的;
因为水是定量的(定体积V).
所以S△BEF·BC=V,即BE·BF·BC=V.
所以BE·BF=(定值),即④是正确的,故选C.
2.(2020·杭州二中模拟)已知两个不重合的平面α,β,给定以下条件:
①α内不共线的三点到β的距离相等;
②l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β;
③l,m是两条异面直线,且l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.
其中可以判定α∥β的是( )
A.① B.②
C.①③ D.③
解析:选D.①中,α内的三点中如果一点在平面β的一侧,另两点在平面β的另一侧,也可满足这三点到β的距离相等,所以①不符合题意.②中,l与m平行时,α与β也可能相交.③中,如图所示,过直线l作一平面γ,设γ∩α=a,γ∩β=b.因为l∥α,l∥β,所以l∥a,l∥b,所以a∥b,过直线m作一平面σ,设σ∩α=c,σ∩β=d.因为m∥α,m∥β,所以m∥c,m∥d,所以c∥d,所以c∥β.因为l,m是两条异面直线,所以a,c必相交,所以α∥β,所以③符合题意.
3.在△ABC中,AB=5,AC=7,∠A=60°,G是重心,过G的平面α与BC平行,AB∩α=M,AC∩α=N,则MN=________.
解析:根据余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=39,
所以BC=.
因为BC∥α,MN=α∩平面ABC,所以MN∥BC,
又G是△ABC的重心,连接AG交BC于D,
所以==,则MN=.
答案:
4.(2020·温州中学高考模拟)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点P是棱AD上一点,且AP=,过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ,Q在直线CD上,则PQ=________.
解析:因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD,而平面B1D1P∩平面ABCD=PQ,平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥PQ.
又因为B1D1∥BD,所以BD∥PQ,
设PQ∩AB=M,因为AB∥CD,
所以△APM∽△DPQ.所以==2,即PQ=2PM.
又知△APM∽△ADB,所以==,
所以PM=BD,又BD=a,所以PQ=a.
答案:a
5.(2020·杭州学军中学高三模拟)如图,一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度).若液面恰好分别过棱AC,BC,B1C1,A1C1的中点D,E,F,G.
(1)求证:平面DEFG∥平面ABB1A1;
(2)当底面ABC水平放置时,求液面的高.
解:(1)证明:因为D,E分别为棱AC,BC的中点,所以DE是△ABC的中位线,所以DE∥AB.又DE⊄平面ABB1A1,AB⊂平面ABB1A1,所以DE∥平面ABB1A1.同理DG∥平面ABB1A1,又DE∩DG=D,所以平面DEFG∥平面ABB1A1.
(2)当直三棱柱ABCA1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时,由(1)可知,液体部分是直四棱柱,其高即为原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高,即侧棱长l,当底面ABC水平放置时,设液面的高为h,△ABC的面积为S,
则由已知条件可知,△CDE∽△CAB,且S△CDE=S,所以S四边形ABED=S.
由于两种状态下液体体积相等,
所以V液体=Sh=S四边形ABEDl=Sl,即h=l.
因此,当底面ABC水平放置时,液面的高为l.
6.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8.点E,F分别在A1B1,D1C1上,过点E、F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形EFGH.
(1)求证:A1E=D1F;
(2)判断A1D与平面α的关系.
解:(1)证明:过点E分别作EM⊥AB于点M,EN⊥D1C1于点N.
设MH=m,NF=n.
因为EFGH是正方形,所以EF=EH=HF.
又在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=8,BC=10.
所以102+n2=82+m2=[102+82+(m-n)2]
解得n=0,m=6.
所以N与F重合.所以A1E=D1N=D1F.
(2)由(1)知,A1D≠EG.又A1E∥DG.
所以四边形A1DGE是以A1D与EG为腰的梯形,
即A1D与EG相交.又EG⊂α.
所以直线A1D与平面α相交.