高中数学北师大版新教材必修一同步课件：2-4-2　简单幂函数的图象和性质 42页

4.2 　简单幂函数的图象和性质 必备知识 · 自主学习 导思 1. 除了一次函数、二次函数、反比例函数外还有哪些常见函数 ? 2. 幂函数有哪些特征 ? 1. 幂函数的概念 一般地 , 形如 _______________ 的函数 , 即底数是自变量、指数是常数的函数称 为幂函数 . y=x α (α 为常数 ) 2. 常见幂函数的图象与性质 解析式 y=x y=x 2 y=x 3 y= 图象 定义域 R R R _________ ________ 值域 R ________ R _________ ________ 奇偶性 ___ 函数 ___ 函数 ___ 函数 ___ 函数 _________ 函数 增区间 __ ________ __ 无 ________ 减区间 无 ________ 无 _________ ________ 无 定点 ______ {x|x≠0} [0,+∞) [0,+∞) {y|y≠0} [0,+∞) 奇 偶 奇 奇 非奇非偶 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0) (-∞,0), (0,+∞) (1,1) 　 (1) 本质 : 幂函数的图象是函数的图形表示 , 幂函数的性质是根据函数图象总结得到的 . (2) 应用 :① 求定义域 ;② 求值域 ;③ 比较大小 ;④ 求单调区间 . 　 【 思考 】 在区间 (0,+∞) 上 , 幂函数有怎样的单调性 ? 提示 : 幂函数在区间 (0,+∞) 上 , 当 α>0 时 ,y=x α 是增函数 ; 当 α<0 时 ,y=x α 是减函数 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 幂函数的图象必过点 (0,0) 和 (1,1). ( 　　 ) (2) 幂函数的图象都不过第二、四象限 . ( 　　 ) (3)y= 与 y= 定义域相同 . ( 　　 ) 提示 : (1) × , 幂函数 y= 不过点 (0,0). (2) × , 幂函数 y=x 2 过第二象限 . (3) × ,y= 的定义域为 [0,+ ∞ ), 而 y= 的定义域为 R. 2. 下列函数中不是幂函数的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y= B.y=x 3 C.y=3x D.y=x -1 【 解析 】 选 C. 只有 y=3x 不符合幂函数 y=x α 的形式 . 3. 已知幂函数 y=f(x) 的图象经过点 (4,2), 则这个函数的解析式是 ( 　　 ) A.y=x 2 B.y= C.y= D.y=2 x 【 解析 】 选 C. 设幂函数 f(x)=x α , 图象过点 (4,2), 则 4 α =2, 解得 α= , 所以 f(x) = . 关键能力 · 合作学习 类型一　幂函数的概念 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 在函数 y= ,y=3x 2 ,y=x 2 +2x,y=1 中 , 幂函数的个数为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2020· 吉林高一检测 ) 函数 f(x)=(2m-3) 是幂函数 , 则 m 的值为 ( 　　 ) A.2 B.-1 C.0 D.1 3. 已知幂函数 f(x)=x α 的图象过点 , 则 f(4)= 　　　　 .  　 【 解析 】 1. 选 B. 函数 y= =x -4 为幂函数 ; 函数 y=3x 2 中 x 2 的系数不是 1, 所以它不是幂函数 ; 函数 y=x 2 +2x 不是 y=x α ( α 是常数 ) 的形式 , 所以它不是幂函数 ; 函数 y=1 与 y=x 0 =1(x≠0) 不相等 , 所以 y=1 不是幂函数 . 2. 选 A. 由于函数 f(x)=(2m-3) 是幂函数 , 故 2m-3=1, 所以 m=2. 3. 由 f(2)= 可知 2 α = , 即 α = , 所以 f(4)= 答案 : 【 解题策略 】 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y=x α (α 为常数 ) 的形式 , 即函数的解析式为一个幂的形式 , 且需满足 :(1) 指数为常数 ;(2) 底数为自变量 ;(3) 系数为 1. 【 补偿训练 】 　 　下列函数中是幂函数的是 ( 　　 ) ①y= ;②y=ax m (a,m 为非零常数 , 且 a≠1); ③y= +x 4 ;④y=x n ;⑤y=(x-6) 3 ;⑥y=8x 2 ;⑦y=x 2 +x. 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.①②③ B.①④ C.③④⑤⑥ D.②④⑦ 【 解析 】 选 B. 由幂函数的定义 : 形如 y=x α (α∈R) 的函数才是幂函数 , 则 y= =x -3 , y=x n 是幂函数 . 类型二　幂函数图象的应用 ( 数学抽象、直观想象 ) 【 题组训练 】 1. 函数 y= 的图象是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 因为函数 y= 是幂函数 , 幂函数在第一象限内恒过点 (1,1), 排除 A, D. 当 x>1,0<α<1 时 ,y=x α 在直线 y=x 下方 , 排除 C. 2. 若四个幂函数 y=x a ,y=x b ,y=x c ,y=x d 在同一坐标系中的图象如图 , 则 a,b,c,d 的大小关系是 ( 　　 ) A.d>c>b>a B.d>c>a>b C.a>b>c>d D.a>b>d>c 【 解析 】 选 C. 在第一象限内 ,x=1 的右侧部分的图象 , 图象由下至上 , 幂指数增大 , 所以 a>b>c>d. 3. 已知幂函数 f(x)=(m 2 -2m+1) 的图象不过原点 , 则 m 的值为 ( 　　 ) A.0 B.-1 C.2 D.0 或 2 【 解析 】 选 A. 由幂函数定义可知 m 2 -2m+1=1, 所以 m=0 或 m=2; 当 m=0 时 ,f(x)=x -2 , 定义域为 (- ∞ ,0)∪(0,+ ∞ ); 当 m=2 时 ,f(x)=x 4 定义域为 R; 又因为 f(x)=(m 2 -2m+1) 的图象不过原点 ; 所以 m 2 +m-2<0, 所以 m=0. 【 解题策略 】 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1) 依据图象高低判断幂指数大小 , 相关结论为 : 在 (0,1) 上 , 指数越大 , 幂函数图 象越靠近 x 轴 ( 简记为指大图低 ); 在 (1,+∞) 上 , 指数越大 , 幂函数图象越远离 x 轴 ( 简记为指大图高 ). (2) 依据图象确定幂指数 α 与 0,1 的大小关系 , 即根据幂函数在第一象限内的图象 ( 类似于 y=x -1 或 y= 或 y=x 3 ) 来判断 . 　 【 补偿训练 】 　 　在同一坐标系内 , 函数 y=x a (a≠0) 和 y=ax- 的图象可能是 ( 　　 ) 　 【 解析 】 选 C. 选项 A 中 , 幂函数的指数 a<0, 则直线 y=ax- 应为减函数 ,A 错误 ; 选项 B 中 , 幂函数的指数 a>1, 则直线 y=ax- 应为增函数 ,B 错误 ; 选项 D 中 , 幂函数的指数 a<0, 则 - >0, 直线 y=ax- 在 y 轴上的截距为正 ,D 错误 . 类型三　幂函数性质的综合应用 ( 数学抽象、逻辑推理 ) 　角度 1 　比较大小  【 典例 】 比较下列各组中幂值的大小 : (1)0.21 3 ,0.23 3 ;(2) 【 思路导引 】 构造幂函数 , 借助其单调性求解 . 【 解析 】 (1) 因为函数 y=x 3 是增函数 , 且 0.21<0.23, 所以 0.21 3 <0.23 3 . (2) 因为 1.2> >1.1, 且 y= 在 [0,+ ∞ ) 上单调递增 , 所以 　 　 【 变式探究 】 把本例的各组数据更换如下 , 再比较其大小关系 : (1) 【 解析 】 (1) 因为幂函数 y=x 0.5 在 [0,+ ∞ ) 上是单调递增的 , 又 , 所以 . (2) 因为幂函数 y=x -1 在 (- ∞ ,0) 上是单调递减的 , 又 , 所以 　角度 2 　幂函数性质的综合应用  【 典例 】 已知幂函数 y=x 3m-9 (m∈N * ) 的图象关于 y 轴对称且在 (0,+∞) 上单调递减 , 求满足 的 a 的取值范围 . 【 思路导引 】 根据函数的图象关于 y 轴对称且在 (0,+∞) 上单调递减及 m∈N * 求出 m 的值 , 代入不等式解不等式即可 , 解不等式时注意幂函数的定义域 . 【 解析 】 因为函数在 (0,+ ∞ ) 上单调递减 , 所以 3m-9<0, 解得 m<3. 又因为 m∈N * , 所以 m=1,2. 因为函数的图象关于 y 轴对称 , 所以 3m-9 为偶数 , 故 m=1. 则原不等式可化为 因为 y= 在 (- ∞ ,0),(0,+ ∞ ) 上单调递减 , 所以 a+1>3-2a>0 或 3-2a0 时 ,y=x α 是增函数 ; 当 α<0 时 ,y=x α 是减函数 . 【 题组训练 】 1. 比较大小 : 【 解析 】 因为 y= 为 (0,+∞) 上的减函数 , 且 所以 答案 : > 2. 函数 f(x)=x 2 (x<0) 的奇偶性为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 【 解析 】 选 D. 因为函数 f(x)=x 2 (x<0) 的定义域为 (-∞,0), 不关于原点对称 , 所以函数 f(x)=x 2 (x<0) 为非奇非偶函数 . 3. 已知幂函数 f(x)=(m 2 -3m+3)x m+1 为偶函数 , 则 m= ( 　　 ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.3 【 解析 】 选 A. 因为幂函数 f(x)=(m 2 -3m+3)x m+1 为偶函数 , 所以 m 2 -3m+3=1, 即 m 2 -3m+2=0, 解得 m=1 或 m=2. 当 m=1 时 , 幂函数 f(x)=x 2 为偶函数 , 满足条件 . 当 m=2 时 , 幂函数 f(x)=x 3 为奇函数 , 不满足条件 . 【 补偿训练 】 　 　已知幂函数 f(x)= (m∈Z) 的图象与 x 轴 ,y 轴都无交点 , 且关于原点对称 , 则函数 f(x) 的解析式是 　　　　 .  【 解析 】 因为函数的图象与 x 轴 ,y 轴都无交点 , 所以 m 2 -1<0, 解得 -1” 或“ <”)  【 解析 】 因为 y= 为 [0,+ ∞ ) 上的增函数 , 且 2.3<2.4, 所以 < . 答案 : < 5. 已知函数 f(x)=(m 2 -m-1)x -5m-3 ,m 为何值时 ,f(x):(1) 是幂函数 ?(2) 是正比例函数 ?(3) 是反比例函数 ?(4) 是二次函数 ? 【 解析 】 (1) 因为 f(x) 是幂函数 , 故 m 2 -m-1=1, 即 m 2 -m-2=0, 解得 m=2 或 m=-1. (2) 若 f(x) 是正比例函数 , 则 -5m-3=1, 解得 m= . 此时 m 2 -m-1≠0, 故 m= . (3) 若 f(x) 是反比例函数 , 则 -5m-3=-1, 则 m= , 此时 m 2 -m-1≠0, 故 m= . (4) 若 f(x) 是二次函数 , 则 -5m-3=2, 即 m=-1, 此时 m 2 -m-1≠0, 故 m=-1.