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  • 2021-06-30 发布

高中数学选修2-2课时练习第二章 章末检测

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章末检测 一、选择题 ‎1.如果一个函数的瞬时变化率处处为0,则这个函数的图像是(  )‎ A.圆 B.拋物线 C.椭圆 D.直线 答案 D 解析 函数的瞬时变化率处处为0,说明函数的导数为0,即函数是一个常数函数,即y=c(c为常数),所以图像应为x轴或平行于x轴的直线.‎ ‎2.若对任意x∈R,f′(x)=3x2,f(1)=2,则f(x)等于(  )‎ A.x3-1 B.x3+1‎ C.x3+2 D.x3-2‎ 答案 B 解析 f′(x)=3x2,∴f(x)=x3+c(c为常数),‎ 又∵f(1)=2,∴c=1,∴f(x)=x3+1.‎ ‎3.函数y=(a>0)在x=x0处的导数为0,则x0等于(  )‎ A.a B.±a C.-a D.a2‎ 答案 B 解析 y′=′==.由题意得=0,即x-a2=0,所以x0=±a.‎ ‎4.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=,则质点在t=4时的速度为(  )‎ A. B. C. D.· 答案 B 解析 s′=.当t=4时,s′=·=.‎ ‎5.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f′(x)>0的解集为(  )‎ A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞)‎ C.(2,+∞) D.(-1,0)‎ 答案 C 解析 由题意知x>0,且f′(x)=2x-2-,即f′(x)=>0,∴x2-x-2>0,‎ 又∵x>0,∴x>2.‎ ‎6.若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是(  )‎ A.(e,e) B.(e,1)‎ C.(1,e) D.(1,1)‎ 答案 A 解析 令f(x)=xln x,则f′(x)=ln x+1,‎ 设P(x0,y0),则f′(x0)=ln x0+1=2,‎ ‎∴x0=e,此时y0=x0 ln x0=e ln e=e,‎ ‎∴点P的坐标为(e,e),故选A.‎ ‎7.下列函数在点x=0处没有切线的是(  )‎ A.y=x3+sin x B.y=x2-cos x C.y=xsin x D.y=+cos x 答案 D 解析 A、B、C项各函数在x=0时存在导数,而D在x=0时不存在导数,所以没有切线.‎ ‎8.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线(  )‎ A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴相交但不垂直 答案 B 解析 函数在某点处的导数为0,说明相应曲线在该点处的切线的斜率为0.‎ ‎9.函数y=sin x·cos x的导数是(  )‎ A.cos2x+sin2x B.cos2x-sin2x C.2cos x·sin x D.cos x·sin x 答案 B 解析 y′=(sin x·cos x)′=cos x·cos x+sin x(-sin x)=cos2x-sin2x.‎ ‎10.若函数y=f(x)=x3,且f′(a)=3,则a等于(  )‎ A.1 B.-1 ‎ C.±1 D.不存在 答案 C 解析 ∵f′(x)=3x2,又f′(a)=3,所以‎3a2=3,‎ 所以a=±1.‎ 二、填空题 ‎11.下列四个命题中,正确命题的序号为________.‎ ‎①若f(x)=,则f′(0)=0;②(logax)′=xln a;‎ ‎③加速度是质点的位移s对时间t的导数;④曲线y=x2在点(0,0)处有切线.‎ 答案 ④‎ 解析 ①因为f′(x)=,当x趋近于0时平均变化率不存在极限,所以函数f(x)在x=0处不存在导数,故错误;②(logax)′=,故错误;③瞬时速度是位移s对时间t的导数,故错误;④曲线y=x2在点(0,0)处的切线方程为y=0,故正确.‎ ‎12.函数f(x)=sin(4x-2),则f′(x)=________.‎ 答案 4cos(4x-2)‎ 解析 f′(x)=cos(4x-2)·(4x-2)′=4cos(4x-2).‎ ‎13.已知函数f(x)=(ax-1)2,且f′(1)=0,则a的值为________.‎ 答案 0或1‎ 解析 f′(x)=(a2x2-2ax+1)′=‎2a2x-‎2a,‎ f′(1)=‎2a(a-1)=0,故a=0或a=1.‎ ‎14.设f=x2-+ln x(x>0),则f′(1)=________.‎ 答案 -5‎ 解析 令=t,则x=.∴f(t)=2-2t+ln ,‎ ‎∴f(x)=2-2x+ln ,f′(x)=-2x-3-2-,‎ ‎∴f′(1)=-2-2-1=-5.‎ 三、解答题 ‎15.求下列函数的导数 ‎(1)y=;‎ ‎(2)y=+;‎ ‎(3)y=exln(2x);‎ ‎(4)y=-sin (1-2cos2).‎ 解 (1)∵‎ ‎∴.‎ ‎(2)∵y=+=.‎ ‎∴y′=.‎ ‎(3)∵y=exln(2x),‎ ‎∴y′=exln(2x)+[ln(2x)]′ex ‎=exln(2x)+(ln 2+ln x)′ex ‎=exln(2x)+ex.‎ ‎(4)∵y=-sin ‎=sin cos =sin x,‎ ‎∴y′=cos x.‎ ‎16.拋物线①y=x2-2x+2与②y=-x2+ax+b的一个交点P 处的切线互相垂直,求证:拋物线②通过与a,b无关的一个定点,并求此定点的坐标.‎ 证明 设点P的横坐标为m,则 解方程组得2(a+b)=5即b=.‎ ‎∴y=-x2+ax+-a=+a(x-1).‎ 知此拋物线恒过,所以即为定点.‎ ‎17.已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,且f(2x+1)=‎4g(x),f′(x)=g′(x),f(5)=30,求a,b,c,d的值.‎ 解 因为f(2x+1)=‎4g(x),‎ 所以4x2+(4+‎2a)x+a+b+1=4x2+4cx+4d.‎ 于是,有  由f′(x)=g′(x),‎ 得2x+a=2x+c,即a=c.③‎ 由①③联立解得a=c=2,‎ 所以f(x)=x2+2x+b.‎ 又因为f(5)=30.‎ 即25+10+b=30,‎ 所以b=-5,‎ 将a=2,b=-5代入②,‎ 得d=-.‎ 所以a=2,b=-5,c=2,d=-.‎ ‎18.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax++b(a>0).‎ ‎(1)求f(x)的最小值;‎ ‎(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,求a,b的值.‎ 解 由题设和均值不等式可知,f(x)=ax++b≥2+b,‎ 其中等号成立当且仅当ax=1,‎ 即x=时,f(x)取最小值2+b.‎ ‎(2)f′(x)=a-,‎ 由题设知,f′(1)=a-=,解得a=2或a=-(不合题意,舍去).‎ 将a=2代入f(1)=a++b=,解得b=-1.‎ 所以a=2,b=-1.‎

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