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- 2021-06-30 发布
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章末检测
一、选择题
1.如果一个函数的瞬时变化率处处为0,则这个函数的图像是( )
A.圆 B.拋物线 C.椭圆 D.直线
答案 D
解析 函数的瞬时变化率处处为0,说明函数的导数为0,即函数是一个常数函数,即y=c(c为常数),所以图像应为x轴或平行于x轴的直线.
2.若对任意x∈R,f′(x)=3x2,f(1)=2,则f(x)等于( )
A.x3-1 B.x3+1
C.x3+2 D.x3-2
答案 B
解析 f′(x)=3x2,∴f(x)=x3+c(c为常数),
又∵f(1)=2,∴c=1,∴f(x)=x3+1.
3.函数y=(a>0)在x=x0处的导数为0,则x0等于( )
A.a B.±a C.-a D.a2
答案 B
解析 y′=′==.由题意得=0,即x-a2=0,所以x0=±a.
4.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=,则质点在t=4时的速度为( )
A. B.
C. D.·
答案 B
解析 s′=.当t=4时,s′=·=.
5.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f′(x)>0的解集为( )
A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞) D.(-1,0)
答案 C
解析 由题意知x>0,且f′(x)=2x-2-,即f′(x)=>0,∴x2-x-2>0,
又∵x>0,∴x>2.
6.若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是( )
A.(e,e) B.(e,1)
C.(1,e) D.(1,1)
答案 A
解析 令f(x)=xln x,则f′(x)=ln x+1,
设P(x0,y0),则f′(x0)=ln x0+1=2,
∴x0=e,此时y0=x0 ln x0=e ln e=e,
∴点P的坐标为(e,e),故选A.
7.下列函数在点x=0处没有切线的是( )
A.y=x3+sin x B.y=x2-cos x
C.y=xsin x D.y=+cos x
答案 D
解析 A、B、C项各函数在x=0时存在导数,而D在x=0时不存在导数,所以没有切线.
8.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( )
A.不存在 B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直 D.与x轴相交但不垂直
答案 B
解析 函数在某点处的导数为0,说明相应曲线在该点处的切线的斜率为0.
9.函数y=sin x·cos x的导数是( )
A.cos2x+sin2x B.cos2x-sin2x
C.2cos x·sin x D.cos x·sin x
答案 B
解析 y′=(sin x·cos x)′=cos x·cos x+sin x(-sin x)=cos2x-sin2x.
10.若函数y=f(x)=x3,且f′(a)=3,则a等于( )
A.1 B.-1
C.±1 D.不存在
答案 C
解析 ∵f′(x)=3x2,又f′(a)=3,所以3a2=3,
所以a=±1.
二、填空题
11.下列四个命题中,正确命题的序号为________.
①若f(x)=,则f′(0)=0;②(logax)′=xln a;
③加速度是质点的位移s对时间t的导数;④曲线y=x2在点(0,0)处有切线.
答案 ④
解析 ①因为f′(x)=,当x趋近于0时平均变化率不存在极限,所以函数f(x)在x=0处不存在导数,故错误;②(logax)′=,故错误;③瞬时速度是位移s对时间t的导数,故错误;④曲线y=x2在点(0,0)处的切线方程为y=0,故正确.
12.函数f(x)=sin(4x-2),则f′(x)=________.
答案 4cos(4x-2)
解析 f′(x)=cos(4x-2)·(4x-2)′=4cos(4x-2).
13.已知函数f(x)=(ax-1)2,且f′(1)=0,则a的值为________.
答案 0或1
解析 f′(x)=(a2x2-2ax+1)′=2a2x-2a,
f′(1)=2a(a-1)=0,故a=0或a=1.
14.设f=x2-+ln x(x>0),则f′(1)=________.
答案 -5
解析 令=t,则x=.∴f(t)=2-2t+ln ,
∴f(x)=2-2x+ln ,f′(x)=-2x-3-2-,
∴f′(1)=-2-2-1=-5.
三、解答题
15.求下列函数的导数
(1)y=;
(2)y=+;
(3)y=exln(2x);
(4)y=-sin (1-2cos2).
解 (1)∵
∴.
(2)∵y=+=.
∴y′=.
(3)∵y=exln(2x),
∴y′=exln(2x)+[ln(2x)]′ex
=exln(2x)+(ln 2+ln x)′ex
=exln(2x)+ex.
(4)∵y=-sin
=sin cos =sin x,
∴y′=cos x.
16.拋物线①y=x2-2x+2与②y=-x2+ax+b的一个交点P
处的切线互相垂直,求证:拋物线②通过与a,b无关的一个定点,并求此定点的坐标.
证明 设点P的横坐标为m,则
解方程组得2(a+b)=5即b=.
∴y=-x2+ax+-a=+a(x-1).
知此拋物线恒过,所以即为定点.
17.已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,且f(2x+1)=4g(x),f′(x)=g′(x),f(5)=30,求a,b,c,d的值.
解 因为f(2x+1)=4g(x),
所以4x2+(4+2a)x+a+b+1=4x2+4cx+4d.
于是,有
由f′(x)=g′(x),
得2x+a=2x+c,即a=c.③
由①③联立解得a=c=2,
所以f(x)=x2+2x+b.
又因为f(5)=30.
即25+10+b=30,
所以b=-5,
将a=2,b=-5代入②,
得d=-.
所以a=2,b=-5,c=2,d=-.
18.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax++b(a>0).
(1)求f(x)的最小值;
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,求a,b的值.
解 由题设和均值不等式可知,f(x)=ax++b≥2+b,
其中等号成立当且仅当ax=1,
即x=时,f(x)取最小值2+b.
(2)f′(x)=a-,
由题设知,f′(1)=a-=,解得a=2或a=-(不合题意,舍去).
将a=2代入f(1)=a++b=,解得b=-1.
所以a=2,b=-1.