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  • 2021-06-30 发布

【数学】宁夏银川唐徕回民中学2020届高三下学期第三次模拟考试试题(文)(解析版)

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宁夏银川唐徕回民中学2020届高三下学期第三次模拟考试数学试题(文)‎ 一、选择题 ‎1.已知全集,,,则图中阴影部分表示的集合是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由,即 图中阴影部分表示的集合为:‎ 又 本题正确选项:A. ‎ ‎2.复数,则( )‎ A. B. ‎-2 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】,‎ ‎,‎ 故选D.‎ ‎3.已知向量,,则向量在向量方向上的投影为( )‎ A. B. C. -1 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵,,‎ ‎∴向量在向量方向上的投影,‎ 故选:A.‎ ‎4.已知表示不超过的最大整数,执行如图所示的程序框图,若输入的值为2.4,则输出的值为( )‎ A. 1.2 ‎B. ‎0.6 ‎C. 0.4 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】程序运行时,变量值依次为,满足,, ,满足,,,不满足,执行,故选D.‎ ‎5.已知满足约束条件,则下列目标函数中,在点处取得最小值的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部,其中,所以直线在点处取得最大值,直线在点处取得最小值,直线在点处取得最小值,‎ 直线在点处取得最大值,选B.‎ ‎6.如图,该茎叶图表示是甲、乙两人在次综合测评中的成绩(成绩为整数),其中一个数字被污损,则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】记其中被污损的数字为x.‎ 依题意得甲的5 次综合测评的平均成绩为90,‎ 乙的5 次综合测评的平均成绩为(442+x),‎ 令(442+x)≥90,由此解得x≥8,‎ 即x的可能取值为8和9,‎ 由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为:,‎ 故选A.‎ ‎7.已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:‎ ‎①l⊥m;②m∥;③l⊥.‎ 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,则三个命题中正确命题的个数为( )个.‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】若l⊥m,m∥,则l⊥,该命题为假命题,因为l⊥m,m∥,只能推出l与平面内所有与m平行的直线垂直,不满足直线与平面垂直的判定定理,所以是假命题;‎ 若l⊥m,l⊥,则m∥,该命题为真命题,因为l⊥m,l⊥,则平面内必存在一直线与外直线m平行,所以m∥,命题为真命题;‎ 若m∥,l⊥,则l⊥m,该命题为真命题,因为m∥,所以内必有一直线n与直线m平行,l⊥可得l⊥n,所以l⊥m,命题为真.‎ 综上可知正确命题的个数为2,‎ 故选:C.‎ ‎8.已知函数,将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标保持不变;再把所得图象向上平移个单位长度,得到函数的图象,若,则的值可能为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数,‎ 将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍,得的图象;‎ 再把所得图象向上平移个单位,得函数的图象,易知函数的值域为.‎ 若,则且,均为函数的最大值,‎ 由,解得;‎ 其中、是三角函数最高点的横坐标,‎ 的值为函数的最小正周期的整数倍,且.故选C.‎ ‎9.《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍(音meng,底面为矩形的屋脊状的几何体),下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示,则此刍甍的体积等于( ) ‎ ‎ ‎ A. 3 B. ‎5 ‎C. 6 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图换元为如图所示的几何体,该几何体分为三部分,中间一部分是直棱柱,两侧是相同的三棱锥,‎ 并且三棱锥的体积,‎ 中间棱柱的体积 ,‎ 所以该刍甍的体积是.‎ 故选:B.‎ ‎10.等差数列前项和为,若,则的值为( )‎ A. 9 B. ‎12 ‎C. 16 D. 17‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵,‎ ‎∴得:,,故选A.‎ ‎11.设,为双曲线的左、右焦点,点为双曲线上一点,若的重心和内心的连线与轴垂直,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出图形如图所示,‎ 设的重心和内心分别为,且圆与的三边分别切于点,由切线的性质可得.‎ 不妨设点在第一象限内,‎ ‎∵是的重心,为的中点,‎ ‎∴,‎ ‎∴点坐标为.‎ 由双曲线的定义可得,‎ 又,‎ ‎∴,‎ ‎∴为双曲线的右顶点.‎ 又是的内心,‎ ‎∴.‎ 设点的坐标为,则.‎ 由题意得轴,‎ ‎∴,故,‎ ‎∴点坐标为.‎ ‎∵点在双曲线上,‎ ‎∴,整理得,‎ ‎∴.‎ 故选A.‎ ‎12.设函数,,给定下列命题: ‎ ‎①若方程有两个不同的实数根,则;‎ ‎②若方程恰好只有一个实数根,则; ‎ ‎③若,总有恒成立,则;‎ ‎④若函数有两个极值点,则实数.‎ 则正确命题的个数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①,的定义域,,‎ 令有即,可知在单调递减,在单调递增,‎ ‎,且当时,又,‎ 从而要使得方程有两个不同的实根,即与有两个不同的交点,‎ 所以,故①正确 对于②,易知不是该方程的根,‎ 当时,,方程有且只有一个实数根,等价于和 只有一个交点,,又且,‎ 令,即,有,知在和单减,‎ 在上单增,是一条渐近线,极小值为.‎ 由大致图像可知或,故②错 对于③ 当时,‎ 恒成立,‎ 等价于恒成立,‎ 即函数在上为增函数,‎ 即恒成立,‎ 即在上恒成立,‎ 令,则,‎ 令得,有,‎ 从而在上单调递增,在上单调递减,‎ 则,‎ 于是,故③正确.‎ 对于④ 有两个不同极值点,‎ 等价于有两个不同的正根,‎ 即方程有两个不同的正根,‎ 由③可知,,即,则④正确.‎ 故正确命题个数为3,故选C.‎ 二、填空题 ‎13.《无字证明》就是将数学命题和简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来.请根据下图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:______.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】令,则 所以 所以 在直角三角形中,‎ 所以 故答案为:,‎ ‎14.已知直线与抛物线相交于,两点,线段的中点坐标为,则等于_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意,设,,代入抛物线的方程,可得,‎ 两式相减得,所以,‎ 故.‎ ‎15.如图,为测量出高,选择和另一座山的山顶为测量观测点,从点测得点的仰角,点的仰角以及;从点测得.已知山高,则山高__________.‎ ‎【答案】150‎ ‎【解析】在中,,,在中,‎ 由正弦定理可得即解得,在中,‎ ‎.‎ 故答案为150.‎ ‎16.阅读下列材料,回答所提问题:设函数,①的定义域为,其图像是一条连续不断的曲线;②是偶函数;③在上不是单调函数;④恰有个零点,写出符合上述①②④条件的一个函数的解析式是______;写出符合上述所有条件的一个函数的解析式是______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】由题意得:符合上述①②④条件的一个函数的解析式可以是,‎ 因为定义域为,其图像是一条连续不断的抛物线,所以函数满足①;‎ 因为,所以函数是偶函数;‎ 因为当时,,所以函数恰有两个零点:,‎ 所以函数满足条件①②④;‎ 符合上述①②③④条件的一个函数的解析式可以是,‎ 理由如下:作出函数的图象如下图所示,则函数的图像是一条连续不断的曲线,‎ 函数的图像关于y轴对称,所以函数是偶函数,‎ 又在上单调递减,在上单调递增,所以函数在上不是单调函数,‎ 且当时,,所以函数恰有两个零点:.‎ 所以函数满足条件①②③④.‎ 故答案为:;.‎ 三、解答题 ‎17.根据阅兵领导小组办公室介绍,2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团,总规模约1.5万人,是近几次阅兵中规模最大的一次.其中,徒步方队15个.为了保证阅兵式时队列保持整齐,各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制,太高或太矮都不行.徒步方队队员,男性身高普遍在‎175cm至‎185cm之间;女性身高普遍在‎163cm至‎175cm之间,这是常规标准.要求最为严格的三军仪仗队,其队员的身高一般都在‎184cm至‎190cm之间.经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人,得到她们身高的直方图,如图,记C为事件:“某一阅兵女子身高不低于‎169cm”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.5.‎ ‎(1)求直方图中a,b的值;‎ ‎(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)‎ 解:(1)由已知得,‎ 故 法一:, ‎ ‎.‎ 法二:. ‎ ‎(2)‎ 估计女子的平均身高为(cm).‎ ‎18.已知等差数列的前n项和为,等比数列的前n项和为,且,,.‎ ‎(1)求数列与的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前n项和.‎ 解:(1)设数列的公差为d,数列的公比为q,‎ 由可得,,‎ 整理得,即,‎ 故,‎ 由可得,则,即,‎ 故.‎ ‎(2)由(1)得,,,‎ 故,‎ 所以,数列的前n项和为,‎ 设①,‎ 则②,‎ ‎②①得,‎ 综上,数列的前n项和为.‎ ‎19.在底面是菱形的四棱锥中,,点在上,且,面面.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)在棱上是否存在一点,使平面?证明你的结论.‎ ‎(1)证明:∵菱形,‎ ‎∴,又面,面,‎ ‎∴面,又面,面面,‎ ‎∴,∴,∴‎ ‎(2)解:当是棱的中点时,平面.‎ 证明如下,如图取的中点,连结,由于为中点,为中点,‎ 所以①‎ 由为中点,得,知是的中点,‎ 连结、,设,因为四边形是菱形,则为的中点,‎ 由于是的中点,是的中点,所以②‎ 由①、②知,平面平面,‎ 又平面,‎ 所以平面.‎ ‎20.已知椭圆:在左、右焦点分别为,,上顶点为点,若是面积为的等边三角形.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)已知,是椭圆上的两点,且,求使的面积最大时直线的方程(为坐标原点).‎ 解:(1)由是面积为的等边三角形,得,‎ 所以,,从而,‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)由(1)知,当轴时,,则为椭圆的短轴,故有,,三点共线,不合题意.‎ 所以直线的斜率存在,设直线的方程为,点,点,联立方程组消去,得,‎ 所以有,,‎ 则 ,‎ 即,化简得.‎ 因为,所以有且.‎ 原点到直线的距离为,的面积,‎ 所以当最大时,的面积最大.‎ 因为,而,‎ 所以当时,取最大值为3,面积的最大值.‎ 把代入,得,所以有,‎ 即直线的方程为或.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)若关于的不等式在上恒成立,求的取值范围.‎ 解:(1)依题意,‎ 故,由,‎ 故所求的切线方程为,‎ 即.‎ ‎(2)根据题意,,‎ 令,‎ 故,‎ 当时,,‎ 令,则,‎ 故在上单调递增,‎ 又,,‎ 故存在,使得,‎ 即,故,‎ 当时,,此时,‎ 当时,,此时,‎ 故 ‎,‎ 令,‎ 故,‎ 故在上单调递增,所以,‎ 故.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)在极坐标系中,是曲线上的两点,若,求的最大值.‎ 解:(1)将曲线的参数方程化为普通方程为:‎ 即:‎ 根据,,可得:‎ 曲线的极坐标方程为:‎ ‎(2)设,‎ 则 当时,‎ ‎23.已知定义在上的函数.‎ ‎(1)若的最大值为3,求实数的值;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ 解:(1)由绝对值不等式得 令,得或 解得或 解得不存在,‎ 故实数的值为-1或3‎ ‎(2)‎ 由于,则,当时,‎ 由得,当时,‎ 由得,此种情况不存在,‎ 综上可得:的取值范围为