【数学】宁夏银川唐徕回民中学2020届高三下学期第三次模拟考试试题（文）（解析版） 18页

宁夏银川唐徕回民中学2020届高三下学期第三次模拟考试数学试题（文）‎ 一、选择题 ‎1.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，即 图中阴影部分表示的集合为：‎ 又 本题正确选项：A. ‎ ‎2.复数，则（ ）‎ A. B. ‎-2 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎，‎ 故选D．‎ ‎3.已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. -1 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，，‎ ‎∴向量在向量方向上的投影，‎ 故选：A．‎ ‎4.已知表示不超过的最大整数，执行如图所示的程序框图，若输入的值为2.4，则输出的值为（ ）‎ A. 1.2 ‎B. ‎0.6 ‎C. 0.4 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】程序运行时，变量值依次为，满足，， ，满足，，，不满足，执行，故选D．‎ ‎5.已知满足约束条件，则下列目标函数中，在点处取得最小值的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，所以直线在点处取得最大值，直线在点处取得最小值，直线在点处取得最小值，‎ 直线在点处取得最大值，选B.‎ ‎6.如图，该茎叶图表示是甲、乙两人在次综合测评中的成绩（成绩为整数），其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】记其中被污损的数字为x．‎ 依题意得甲的5 次综合测评的平均成绩为90，‎ 乙的5 次综合测评的平均成绩为（442+x），‎ 令（442+x）≥90，由此解得x≥8，‎ 即x的可能取值为8和9，‎ 由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为：，‎ 故选A．‎ ‎7.已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：‎ ‎①l⊥m；②m∥；③l⊥．‎ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，则三个命题中正确命题的个数为（ ）个.‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】若l⊥m，m∥，则l⊥，该命题为假命题，因为l⊥m，m∥，只能推出l与平面内所有与m平行的直线垂直，不满足直线与平面垂直的判定定理，所以是假命题；‎ 若l⊥m，l⊥，则m∥，该命题为真命题，因为l⊥m，l⊥，则平面内必存在一直线与外直线m平行，所以m∥，命题为真命题；‎ 若m∥，l⊥，则l⊥m，该命题为真命题，因为m∥，所以内必有一直线n与直线m平行，l⊥可得l⊥n，所以l⊥m，命题为真.‎ 综上可知正确命题的个数为2，‎ 故选：C.‎ ‎8.已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数，‎ 将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；‎ 再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.‎ 若，则且，均为函数的最大值，‎ 由，解得；‎ 其中、是三角函数最高点的横坐标，‎ 的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C．‎ ‎9.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( ) ‎ ‎ ‎ A. 3 B. ‎5 ‎C. 6 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，‎ 并且三棱锥的体积，‎ 中间棱柱的体积 ,‎ 所以该刍甍的体积是.‎ 故选：B.‎ ‎10.等差数列前项和为，若，则的值为（ ）‎ A. 9 B. ‎12 ‎C. 16 D. 17‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴得：，，故选A.‎ ‎11.设，为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上一点，若的重心和内心的连线与轴垂直，则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出图形如图所示，‎ 设的重心和内心分别为，且圆与的三边分别切于点，由切线的性质可得．‎ 不妨设点在第一象限内，‎ ‎∵是的重心，为的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴点坐标为．‎ 由双曲线的定义可得，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴为双曲线的右顶点．‎ 又是的内心，‎ ‎∴．‎ 设点的坐标为，则．‎ 由题意得轴，‎ ‎∴，故，‎ ‎∴点坐标为．‎ ‎∵点在双曲线上，‎ ‎∴，整理得，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎12.设函数，，给定下列命题： ‎ ‎①若方程有两个不同的实数根，则；‎ ‎②若方程恰好只有一个实数根，则； ‎ ‎③若，总有恒成立，则；‎ ‎④若函数有两个极值点，则实数.‎ 则正确命题的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①，的定义域，，‎ 令有即，可知在单调递减，在单调递增，‎ ‎，且当时，又，‎ 从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，‎ 所以，故①正确 对于②，易知不是该方程的根，‎ 当时，，方程有且只有一个实数根，等价于和 只有一个交点，，又且，‎ 令，即，有，知在和单减，‎ 在上单增，是一条渐近线，极小值为．‎ 由大致图像可知或，故②错 对于③ 当时，‎ 恒成立，‎ 等价于恒成立，‎ 即函数在上为增函数，‎ 即恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 令，则，‎ 令得，有，‎ 从而在上单调递增，在上单调递减，‎ 则，‎ 于是，故③正确.‎ 对于④ 有两个不同极值点，‎ 等价于有两个不同的正根，‎ 即方程有两个不同的正根，‎ 由③可知，，即，则④正确.‎ 故正确命题个数为3，故选C.‎ 二、填空题 ‎13.《无字证明》就是将数学命题和简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来.请根据下图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：______.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】令，则 所以 所以 在直角三角形中，‎ 所以 故答案为：，‎ ‎14.已知直线与抛物线相交于，两点，线段的中点坐标为，则等于_______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意，设，，代入抛物线的方程，可得，‎ 两式相减得，所以，‎ 故.‎ ‎15.如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．‎ ‎【答案】150‎ ‎【解析】在中，,，在中，‎ 由正弦定理可得即解得,在中，‎ ‎．‎ 故答案为150．‎ ‎16.阅读下列材料，回答所提问题：设函数，①的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③在上不是单调函数；④恰有个零点，写出符合上述①②④条件的一个函数的解析式是______；写出符合上述所有条件的一个函数的解析式是______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】由题意得：符合上述①②④条件的一个函数的解析式可以是，‎ 因为定义域为，其图像是一条连续不断的抛物线，所以函数满足①；‎ 因为，所以函数是偶函数；‎ 因为当时，，所以函数恰有两个零点：，‎ 所以函数满足条件①②④；‎ 符合上述①②③④条件的一个函数的解析式可以是，‎ 理由如下：作出函数的图象如下图所示，则函数的图像是一条连续不断的曲线，‎ 函数的图像关于y轴对称，所以函数是偶函数，‎ 又在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上不是单调函数，‎ 且当时，，所以函数恰有两个零点：.‎ 所以函数满足条件①②③④.‎ 故答案为：；.‎ 三、解答题 ‎17.根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1．5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在‎175cm至‎185cm之间；女性身高普遍在‎163cm至‎175cm之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在‎184cm至‎190cm之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C为事件：“某一阅兵女子身高不低于‎169cm”，根据直方图得到P(C)的估计值为0．5．‎ ‎(1)求直方图中a，b的值；‎ ‎(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)‎ 解：(1)由已知得，‎ 故 法一：， ‎ ‎．‎ 法二：． ‎ ‎(2)‎ 估计女子的平均身高为(cm)．‎ ‎18.已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，.‎ ‎（1）求数列与的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ 解：（1）设数列的公差为d，数列的公比为q，‎ 由可得，，‎ 整理得，即，‎ 故，‎ 由可得，则，即，‎ 故.‎ ‎（2）由（1）得，，，‎ 故，‎ 所以，数列的前n项和为，‎ 设①，‎ 则②，‎ ‎②①得，‎ 综上，数列的前n项和为.‎ ‎19.在底面是菱形的四棱锥中，，点在上，且，面面．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．‎ ‎（1）证明：∵菱形，‎ ‎∴，又面，面，‎ ‎∴面，又面，面面，‎ ‎∴，∴，∴‎ ‎（2）解：当是棱的中点时，平面．‎ 证明如下，如图取的中点，连结，由于为中点，为中点，‎ 所以①‎ 由为中点，得，知是的中点，‎ 连结、，设，因为四边形是菱形，则为的中点，‎ 由于是的中点，是的中点，所以②‎ 由①、②知，平面平面，‎ 又平面，‎ 所以平面．‎ ‎20.已知椭圆：在左、右焦点分别为，，上顶点为点，若是面积为的等边三角形.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知，是椭圆上的两点，且，求使的面积最大时直线的方程（为坐标原点）.‎ 解：（1）由是面积为的等边三角形，得，‎ 所以，，从而，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由（1）知，当轴时，，则为椭圆的短轴，故有，，三点共线，不合题意.‎ 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点，点，联立方程组消去，得，‎ 所以有，，‎ 则 ，‎ 即，化简得.‎ 因为，所以有且.‎ 原点到直线的距离为，的面积，‎ 所以当最大时，的面积最大.‎ 因为，而，‎ 所以当时，取最大值为3，面积的最大值.‎ 把代入，得，所以有，‎ 即直线的方程为或.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.‎ 解：（1）依题意，‎ 故，由，‎ 故所求的切线方程为，‎ 即.‎ ‎（2）根据题意，，‎ 令，‎ 故，‎ 当时，，‎ 令，则，‎ 故在上单调递增，‎ 又，，‎ 故存在，使得，‎ 即，故，‎ 当时，，此时，‎ 当时，，此时，‎ 故 ‎，‎ 令，‎ 故，‎ 故在上单调递增，所以，‎ 故.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）在极坐标系中，是曲线上的两点，若，求的最大值.‎ 解：（1）将曲线的参数方程化为普通方程为：‎ 即：‎ 根据，，可得：‎ 曲线的极坐标方程为：‎ ‎（2）设，‎ 则 当时，‎ ‎23.已知定义在上的函数.‎ ‎（1）若的最大值为3，求实数的值；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ 解：（1）由绝对值不等式得 令，得或 解得或 解得不存在，‎ 故实数的值为-1或3‎ ‎（2）‎ 由于，则，当时，‎ 由得，当时，‎ 由得，此种情况不存在，‎ 综上可得：的取值范围为