山东专用2021版高考数学一轮复习考案3第三章三角函数解三角形综合过关规范限时检测含解析 10页

‎ [考案3]第三章　综合过关规范限时检测 ‎(时间：120分钟　满分150分)‎ 一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1．(2020·安徽示范高中高三测试)角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点P(4，y)，且sin θ＝－，则tan θ＝(　C　)‎ A．－　　 B．　‎ C．－　　 D． ‎[解析]　因为角θ的终边经过点P(4，y)，sin θ＝－<0，所以θ为第四象限角，所以cos θ＝＝，所以tan θ＝＝－，故选C.‎ ‎2．(2020·合肥市高三调研)已知tan α＝3，则sin (－α)·cos (＋α)的值为(　B　)‎ A．　 B．－ C．　 D．－ ‎[解析]　因为tan α＝3，所以sin (－α)·cos(＋α)＝－cos αsin α＝＝＝－，故选B.‎ ‎3．(2020·广东省茂名市五校联考)已知sin α＝－，α是第三象限角，则tan (α－)＝(　A　)‎ A．－　 B． C．－　 D． ‎[解析]　因为sin α＝－，α是第三象限角，所以cos α＝－，即tan α＝，所以tan (α－)＝＝－.‎ ‎4．为了得到函数y＝sin 3x的图象，可以将y＝cos 3x的图象向(　A　)‎ A．右平移个单位长度　　 B．左平移个单位长度 C．右平移个单位长度　　 D．左平移个单位长度 ‎[解析]　y＝cos 3x＝sin (3x＋)＝sin 3(x＋)，将该函数的图象向右平移个单位长度得到y＝sin 3(x＋－)＝sin 3x.故选A．‎ ‎5．(2019·课标全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　B　)‎ A．　 B． C．　 D．1‎ ‎[解析]　本题主要考查三角函数的定义及三角恒等变换．‎ 由题可知tan α＝＝b－a，又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝，∴5(b－a)2＝1，得(b－a)2＝，即|b－a|＝，故选B.‎ ‎6．(2020·黑龙江双鸭山一中月考)函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别为(　A　)‎ A．2，－　 B．2，－ C．4，－　 D．4， ‎[解析]　由图可知T＝－(－)＝，‎ ‎∴T＝π，‎ ‎∴ω＝＝2，又2×＋φ＝，∴φ＝－，故选A．‎ ‎7．(2020·南开模拟)△ABC中三个内角为A，B，C，若关于x的方程x2－xcos Acos B ‎－cos2＝0有一根为1，则△ABC一定是(　B　)‎ A．直角三角形　　 B．等腰三角形 C．锐角三角形　　 D．钝角三角形 ‎[解析]　依题意，可得1－cos Acos B－cos2＝0，因为cos2＝＝＝，‎ 所以1－cos Acos B－＝0，‎ 整理得：cos (A－B)＝1，又A，B为△ABC的内角，所以A＝B，所以△ABC一定为等腰三角形．故选B.‎ ‎8．(2020·广东百校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝，a＝4，S△ABC＝2，则＝(　D　)‎ A．　 B．‎2‎ C．2　 D．2 ‎[解析]　由C＝，a＝4，S△ABC＝absin C＝×4×b×＝2，得b＝，根据余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝10，则c＝，所以＝2R＝＝2.‎ 二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)‎ ‎9．下列命题不正确的是(　ABC　)‎ A．若cosθ<0则θ是第二或第三角限角 B．若α>β则cosα0且<0‎ ‎[解析]　当θ＝2kπ＋π时，cosθ＝－1<0，此时θ不是象限角，A错；‎ 当α＝0，β＝－2π时，cosα＝cosβ，故B错；‎ 当α＝，β＝时，sinα＝sinβ，但α与β终边不相同，故C错；‎ 当α是第三象限角时， sinα<0，cosα<0，tanα>0，故D正确．因此选A、B、C.‎ ‎10．已知函数f(x)＝cosxsin(x＋)，则下列结论中错误的是(　AC　)‎ A．f(x)既是奇函数又是周期函数 B．f(x)的图象关于x＝对称 C．f(x)最大值为1‎ D．f(x)在区间[0，]上递增 ‎[解析]　f(x)＝cosxsin(x＋)＝sin(2x＋)＋，f(x)为非奇非偶函数，故A错，当x＝时，2x＋＝，图象关于x＝对称，B正确．f(x)最大值为，故C错，f(x)在[0，]上单调递增，故D正确，因此选A、C.‎ ‎11．在△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，且(a＋b)︰(a＋c)︰(b＋c)＝9︰10︰11，则下列结论正确的是(　ACD　)‎ A．sinA︰sinB︰sinC＝4︰5︰6‎ B．△ABC是钝角三角形 C．△ABC最大内角是最小内角的2倍 D．若c＝6则△ABC外接圆平径为 ‎[解析]　设解得利用正、余弦定理可知，A正确，B错误．由于cosC＝，cosA＝，cos‎2A＝＝cosC，又C、A都是锐角，所以C＝‎2A，故C正确，又sinC＝，2R＝＝，∴R＝，故D正确，因此选A、C、D.‎ ‎12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象经过点(，)，且在区间(，)上单调，则ω、φ可能的取值是(　BC　)‎ A．ω＝2，φ＝－　　 B．ω＝2，φ＝－ C．ω＝6，φ＝　　 D．ω＝6，φ＝ ‎[解析]　将ω＝2，φ＝－代入得f(x)＝sin(2x－)，显然不过点(，)，A错，同理B、C正确，D错．故选B、C.‎ 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．若函数f(x)＝(ω>0)的最小正周期为π，则f()＝　　.‎ ‎[解析]　由题设及周期公式得T＝＝π，所以ω＝1，即f(x)＝，所以f()＝＝.‎ ‎14．(2020·安徽省池州中学第二次质量检测)已知cos (α－)＝，则sin (α＋)的值是　－　.‎ ‎[解析]　sin (α＋)＝－sin (α＋)＝－sin (α－＋)＝－cos (α－)＝－.‎ ‎15．(2020·福州市期末测试)将函数y＝2sin x＋cos x的图象向右平移φ个单位长度，得到函数y＝2sin x－cos x的图象，则sin φ的值为　　.‎ ‎[解析]　因为y＝2sin x＋cos x＝sin (x＋θ)，所以y＝2sin x－cos x＝sin (x－θ)，其中cos θ＝，sin θ＝，所以φ＝2θ，所以sin φ＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝.‎ ‎16．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为　20(－)　海里/小时．‎ ‎[解析]　根据题意可知∠NMS＝45°，‎ ‎∠MNS＝180°－(45°＋30°)＝105°，‎ ‎∴∠S＝30°，∴＝ ‎＝＝，‎ ‎∴|MN|＝＝10(－)，‎ ‎∴v＝＝20(－)海里/小时．‎ 四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)(2020·吉林市调研)已知0<α<<β<π，且sin (α＋β)＝，tan ＝.‎ ‎(1)求cos α的值；‎ ‎(2)证明：sin β>.‎ ‎[解析]　(1)因为tan ＝，所以tan α＝＝，所以，α∈(0，)，解得cos α＝.‎ 另解：cos α＝cos2－sin2＝ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)由已知得<α＋β<，又sin (α＋β)＝，‎ 所以cos (α＋β)＝－＝－，‎ 又sin α＝＝，‎ sin β＝sin [(α＋β)－α]‎ ‎＝sin (α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ‎＝×－(－)×＝>.‎ ‎18．(本小题满分12分)(2020·辽宁重点中学协作体阶段测试)设函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)当x∈[－，π]时，求f(x)的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)由图象知A＝3，＝－＝π，即T＝4π，又＝4π，所以ω＝，‎ 因此f(x)＝3sin (x＋φ)，又因为f()＝－3，‎ 所以＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)，‎ 即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，‎ 又|φ|<π，所以φ＝－，即f(x)＝3sin (x－)．‎ ‎(2)当x∈[－，π]时，x－∈[－，－]，‎ 所以－1≤sin (x－)≤－，‎ 从而有－3≤f(x)≤－.‎ ‎19．(本小题满分12分)(2020·湖南重点高中联考)已知函数f(x)＝cos (πx＋)cos (πx－)．‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若f(x)在区间[，a]上的值域为[－，－]，求a的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝(cos πx－sin πx)(cos πx＋sin πx)＝cos2πx－sin2πx＝×－×＝cos 2πx－，令π＋2kπ≤2πx≤2π＋2kπ，k∈Z，解得＋k≤x≤1＋k，k∈Z，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为[k＋，k＋1]，k∈Z.‎ ‎(2)∵f(x)的值域为[－，－]，‎ ‎∴－1≤cos 2πx≤－.∵x∈[，a]，‎ ‎∴≤2πx≤2πa，结合余弦函数图象可知π≤2πa≤，解得≤a≤，∴a的取值范围是[，]．‎ ‎20．(本小题满分12分)(2020·蓉城名校高三第一次联考)已知函数f(x)＝2cos2x＋(sin x＋cos x)2－2.‎ ‎(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的集合；‎ ‎(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1，若AC边上的高等于b，求cos C的值．‎ ‎[解析]　(1)由题意知f(x)＝2cos2x＋1＋2sin xcos x－2＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)．‎ ‎∴f(x)max＝，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴x＝kπ＋，k∈Z.‎ ‎∴f(x)取得最大值时x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．‎ ‎(2)∵f(A)＝sin (‎2A＋)＝1，‎ ‎∴sin (‎2A＋)＝，‎ 又A∈(0，π)，‎ ‎∴‎2A＋∈(，)，‎ ‎∴‎2A＋＝，解得A＝.‎ 设AC边上的高为BD，则BD＝b.‎ ‎∵A＝，∴BD＝AD＝b，CD＝b，‎ ‎∴AB＝b，BC＝b，∴cos C＝＝.‎ ‎21．(本小题满分12分)(2020·广东六校第一次联考)在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A．‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若△ABC的面积S△ABC＝，且a＝5，求sin B＋sin C.‎ ‎[解析]　(1)∵b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A，‎ ‎∴2bccos A＝accos C＋c2cos A，‎ ‎∵c>0，∴2bcos A＝acos C＋ccos A，‎ 由正弦定理得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，‎ 即2sin Bcos A＝sin (A＋C)．‎ ‎∵sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，‎ ‎∴2sin Bcos A＝sin B，即sin B(2cos A－1)＝0，‎ ‎∵00,0<φ<π)为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.‎ ‎(1)当x∈(－，)时，求f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[－，]时．‎ 若方程g(x)－m＝0有两个不等实根，求实数m的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)由题意可知：f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)＝2sin (ωx＋φ－)，‎ 因为相邻两对称轴间的距离为，所以T＝π，ω＝2，‎ 因为函数为奇函数，所以φ－＝kπ，φ＝kπ＋，k∈Z，‎ 因为0<φ<π，所以φ＝，函数f(x)＝2sin 2x，‎ ‎∵x∈(－，)，∴2x∈(－π，)，‎ 要使f(x)单调减，需满足－π<2x≤－，‎ 即－