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  • 2021-06-30 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版简单的三角恒等变换学案

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第六节 简单的三角恒等变换 考点一 三角函数式的化简 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考] 三角函数式的化简是三角函数的基本考点之一,一般涉及诱导公式、两角和与差的公 式、二倍角公式及三角函数的恒等变形,主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简, 属于基础题. 1.化简: sin 2α-2cos2α sin α-π 4 =________. 解析:原式=2sin αcos α-2cos2α 2 2 sin α-cos α =2 2cos α. 答案:2 2cos α 2.化简:sin2α+β sin α -2cos(α+β). 解:原式=sin2α+β-2sin αcosα+β sin α =sin[α+α+β]-2sin αcosα+β sin α =sin αcosα+β+cos αsinα+β-2sin αcosα+β sin α =cos αsinα+β-sin αcosα+β sin α =sin[α+β-α] sin α =sin β sin α. [怎样快解·准解] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂. 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角 函数式时,一般需要升次. 考点二 三角函数式的求值 题点多变型考点——追根溯源 三角函数式的求值是三角函数的基本考点,主要依据三角函数的有关公式进行适当的 化简与求值,属于基础题.,常见的命题角度有:,1给角求值;,2给值求值;,3给值求角. [题点全练] 角度(一) 给角求值 1.(2018·新疆第二次适应性检测)cos 10°1+ 3tan 10° cos 50° 的值是________. 解析:依题意得cos 10°1+ 3tan 10° cos 50° =cos 10°+ 3sin 10° cos 50° =2sin10°+30° cos 50° =2sin 40° sin 40° = 2. 答案:2 [题型技法] 三角函数给角求值问题的解题策略 一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换转化 为求特殊角的三角函数值问题,另外此类问题也常通过代数变形(比如:正负项相消、分子 分母相约等)的方式来求值. 角度(二) 给值求值 2.已知 tan α=2. (1)求 tan α+π 4 的值; (2)求 sin 2α sin2α+sin αcos α-cos 2α-1 的值. 解:(1)tan α+π 4 = tan α+tan π 4 1-tan αtan π 4 = 2+1 1-2×1 =-3. (2) sin 2α sin2α+sin αcos α-cos 2α-1 = 2sin αcos α sin2α+sin αcos α-2cos2α = 2tan α tan2α+tan α-2 = 2×2 4+2-2 =1. [题型技法] 解三角函数的给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或所给条件; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系; (3)将已知条件代入所求式子,化简求值. 角度(三) 给值求角 3.若 sin 2α= 5 5 ,sin(β-α)= 10 10 ,且α∈ π 4 ,π ,β∈ π,3π 2 ,则α+β的值是( ) A.7π 4 B.9π 4 C.5π 4 或7π 4 D.5π 4 或9π 4 解析:选 A ∵α∈ π 4 ,π ,∴2α∈ π 2 ,2π , ∵sin 2α= 5 5 ,∴2α∈ π 2 ,π . ∴α∈ π 4 ,π 2 且 cos 2α=-2 5 5 , 又∵sin(β-α)= 10 10 ,β∈ π,3π 2 , ∴β-α∈ π 2 ,5π 4 ,cos(β-α)=-3 10 10 , ∴cos(α+β)=cos[(β-α)+2α] =cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α = -3 10 10 × -2 5 5 - 10 10 × 5 5 = 2 2 , 又α+β∈ 5π 4 ,2π ,所以α+β=7π 4 . [题型技法] 三角函数给值求角问题的解题策略 对于给值求角问题,通过先求角的某个三角函数值来求角,在选取函数时,遵循以下 原则: (1)已知正切函数值,选正切函数. (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数. 若角的范围是 0,π 2 ,选正弦或余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好; 若角的范围为 -π 2 ,π 2 ,选正弦函数较好. [题“根”探求] 看 个性 角度(一)“给角求值”的解题关键是两种变换:角的变换、结构变换; 角度(二)“给值求值”的解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关 系; 角度(三)“给值求角”实质上也转化为角度(一)“给值求值”,关键也是变角, 把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调性求角 找 共性 研究三角函数式的求值问题,解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的 联系,依据函数名称的变换特点,选择合适的公式求解 [冲关演练] 1. 2sin235°-1 cos 10°- 3sin 10° 的值为( ) A.1 B.-1 C.1 2 D.-1 2 解析:选 D 原式= 2sin235°-1 2 1 2cos 10°- 3 2 sin 10° =-cos 70° 2sin 20° =-1 2. 2.已知 2tan αsin α=3,α∈ -π 2 ,0 ,则 cos α-π 6 的值是( ) A.0 B. 2 2 C.1 D.1 2 解析:选 A 由 2tan αsin α=3,得2sin2α cos α =3, 即 2cos2α+3cos α-2=0, ∴cos α=1 2 或 cos α=-2(舍去). ∵-π 2 <α<0,∴sin α=- 3 2 , ∴cos α-π 6 =cos αcosπ 6 +sin αsinπ 6 =0. 3.已知锐角α,β满足 sin α= 5 5 ,cos β=3 10 10 ,则α+β等于( ) A.3π 4 B.π 4 或3π 4 C.π 4 D.2kπ+π 4(k∈Z) 解析:选 C 由 sin α= 5 5 ,cos β=3 10 10 ,且α,β为锐角,可知 cos α=2 5 5 ,sin β= 10 10 , 故 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=2 5 5 ×3 10 10 - 5 5 × 10 10 = 2 2 ,又 0<α+β<π,故α +β=π 4. 考点三 三角恒等变换的综合应用 重点保分型考点——师生共研 三角恒等变换的综合应用是高考的重点,考查时多与三角函数的图象与性质、平面向 量、解三角形等知识综合命题,难度中等. [典题领悟] (2018·长春模拟)设函数 f(x)= 3sin xcos x+cos2 x+a. (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)当 x∈ -π 6 ,π 3 时,函数 f(x)的最大值与最小值的和为3 2 ,求实数 a 的值. [思维路径] 由题给条件想到利用恒等变换把函数化为 f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式; 由第(1)问想到在ω>0 的前提下,利用周期公式 T=2π ω 即可计算出函数 f(x)的最小正周 期,再利用-π 2 +2kπ≤ωx+φ≤π 2 +2kπ(k∈Z)解出这个不等式即为函数 f(x)的单调递增区间; 由第(2)问想到由 x∈ -π 6 ,π 3 计算出 u=ωx+φ的取值范围,然后结合函数 y=sin u 的 图象确定函数 f(x)的最小值和最大值,列式求出 a 的值. 解:(1)因为 f(x)= 3sin xcos x+cos2x+a = 3 2 sin 2x+1 2(1+cos 2x)+a = 3 2 sin 2x+1 2cos 2x+a+1 2 =sin 2x+π 6 +a+1 2. 所以函数 f(x)的最小正周期 T=2π 2 =π. 令-π 2 +2kπ≤2x+π 6 ≤π 2 +2kπ(k∈Z), 解得-π 3 +kπ≤x≤π 6 +kπ(k∈Z), 故函数 f(x)的单调递增区间为 -π 3 +kπ,π 6 +kπ (k∈Z). (2)因为-π 6 ≤x≤π 3 ,所以-π 6 ≤2x+π 6 ≤5π 6 , 当 2x+π 6 =-π 6 时,函数 f(x)取得最小值, 即 f(x)min=-1 2 +a+1 2 =a; 当 2x+π 6 =π 2 时,函数 f(x)取得最大值, 即 f(x)max=1+a+1 2 =a+3 2. 所以 a+a+3 2 =3 2 ,所以 a=0. [解题师说] 三角恒等变换在研究三角函数性质中的 2 个注意点 (1)三角函数的性质问题,往往都要先化成 f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式再求解.要注 意在进行此步骤之前,如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方,应根据 变换的难易程度去化简,往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式,把解析式统一化成 关于同一个角的三角函数式. (2)要正确理解三角函数的性质,关键是记住三角函数的图象,根据图象并结合整体代 入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期. [冲关演练] 已知函数 f(x)=5sin xcos x-5 3cos2x+5 3 2 (其中 x∈R),求: (1)函数 f(x)的单调区间; (2)函数 f(x)图象的对称轴和对称中心. 解:(1)因为 f(x)=5 2sin 2x-5 3 2 (1+cos 2x)+5 3 2 =5 1 2sin 2x- 3 2 cos 2x =5sin 2x-π 3 , 由 2kπ-π 2 ≤2x-π 3 ≤2kπ+π 2(k∈Z), 得 kπ- π 12 ≤x≤kπ+5π 12(k∈Z), 所以函数 f(x)的单调增区间为 kπ- π 12 ,kπ+5π 12 (k∈Z). 由 2kπ+π 2 ≤2x-π 3 ≤2kπ+3π 2 (k∈Z), 得 kπ+5π 12 ≤x≤kπ+11π 12 (k∈Z), 所以函数 f(x)的单调减区间为 kπ+5π 12 ,kπ+11π 12 (k∈Z). (2)由 2x-π 3 =kπ+π 2(k∈Z),得 x=kπ 2 +5π 12(k∈Z), 所以函数 f(x)的对称轴方程为 x=kπ 2 +5π 12(k∈Z). 由 2x-π 3 =kπ(k∈Z),得 x=kπ 2 +π 6(k∈Z), 所以函数 f(x)的对称中心为 kπ 2 +π 6 ,0 (k∈Z). (一)普通高中适用作业 A 级——基础小题练熟练快 1.(2016·全国卷Ⅲ)若 tan θ=-1 3 ,则 cos 2θ=( ) A.-4 5 B.-1 5 C.1 5 D.4 5 解析:选 D ∵cos 2θ=cos2θ-sin2θ cos2θ+sin2θ =1-tan2θ 1+tan2θ , 又∵tan θ=-1 3 ,∴cos 2θ= 1-1 9 1+1 9 =4 5. 2.化简: cos 40° cos 25° 1-sin 40° =( ) A.1 B. 3 C. 2 D.2 解析:选 C 原式= cos220°-sin220° cos 25°cos 20°-sin 20° =cos 20°+sin 20° cos 25° = 2cos 25° cos 25° = 2,故 选 C. 3.函数 f(x)=2sin2 π 4 +x - 3cos 2x 的最大值为( ) A.2 B.3 C.2+ 3 D.2- 3 解析:选 B f(x)=1-cos 2 π 4 +x - 3cos 2x=sin 2x- 3cos 2x+1=2sin 2x-π 3 +1, 可得 f(x)的最大值是 3. 4.已知 sin π 6 -α =cos π 6 +α ,则 cos 2α=( ) A.1 B.-1 C.1 2 D.0 解析:选 D ∵sin π 6 -α =cos π 6 +α , ∴1 2cos α- 3 2 sin α= 3 2 cos α-1 2sin α, 即 1 2 - 3 2 sin α=- 1 2 - 3 2 cos α, ∴tan α=sin α cos α =-1, ∴cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-sin2α sin2α+cos2α =1-tan2α tan2α+1 =0. 5.已知 sin 2α=24 25 ,0<α<π 2 ,则 2cos π 4 -α 的值为( ) A.1 5 B.-1 5 C.±1 5 D.7 5 解析:选 D 因为 sin 2α=24 25 ,所以(sin α+cos α)2=1+sin 2α=49 25.因为 0<α<π 2 ,所以 sin α+cos α=7 5. 所以 2cos π 4 -α = 2× 2 2 (cos α+sin α)=7 5. 6.若 sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β=4 5 ,且α为第二象限角,则 tan α+π 4 =( ) A.7 B.1 7 C.-7 D.-1 7 解析:选 B sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β=4 5 ,即-cos(α-β+β)=-cos α=4 5 ,即 cos α=-4 5.又α为第二象限角,∴tan α=-3 4 ,∴tan α+π 4 =1+tan α 1-tan α =1 7. 7.函数 y=sin π 6 -2x +cos 2x 的最大值为________. 解析:因为 y=sin π 6 -2x +cos 2x =1 2cos 2x- 3 2 sin 2x+cos 2x =3 2cos 2x- 3 2 sin 2x= 3cos 2x+π 6 , 故最大值为 3. 答案: 3 8.在△ABC 中,sin(C-A)=1,sin B=1 3 ,则 sin A=________. 解析:∵sin(C-A)=1,∴C-A=90°,即 C=90°+A, ∵sinB=1 3 ,∴sinB=sin(A+C)=sin(90°+2A)=cos 2A=1 3 ,即 1-2sin2A=1 3 ,∴sin A = 3 3 . 答案: 3 3 9.化简: 1 tan α 2 -tanα 2 · 1+tan α·tan α 2 =________. 解析:原式= cos2 α 2 -sin2 α 2 sinα 2cosα 2 · 1+sin α cos α· sinα 2 cosα 2 = cos2α 2 -sin2α 2 sinα 2cosα 2 · cos αcosα 2 +sin αsin α 2 cos αcos α 2 =2cos α sin α · cosα 2 cos αcosα 2 = 2 sin α. 答案: 2 sin α 10.已知方程 x2+3ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为 tan α,tan β,且α,β∈ -π 2 ,π 2 , 则α+β=________. 解析:由已知得 tan α+tan β=-3a,tan αtan β=3a+1, ∴tan(α+β)= tan α+tan β 1-tan αtan β =1. 又∵α,β∈ -π 2 ,π 2 ,tan α+tan β=-3a<0,tan αtan β=3a+1>0,∴tan α<0,tan β<0,∴α,β∈ -π 2 ,0 , ∴α+β∈(-π,0),∴α+β=-3π 4 . 答案:-3π 4 B 级——中档题目练通抓牢 1.在斜三角形 ABC 中,sin A=- 2cos Bcos C,且 tan B·tan C=1- 2,则角 A 的大小为( ) A.π 4 B.π 3 C.π 2 D.3π 4 解析:选 A 由题意知,sin A=- 2cos B cos C=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C, 在等式- 2cos B cos C=sin B cos C+cos B sin C 两边同除 以 cos B cos C 得 tan B+tan C=- 2, 所以 tan(B+C)= tan B+tan C 1-tan Btan C =-1=-tan A, 即 tan A=1,所以 A=π 4. 2.已知α∈R,sin α+2cos α= 10 2 ,则 tan 2α=( ) A.4 3 B.3 4 C.-3 4 D.-4 3 解析:选 C 因为 sin α+2cos α= 10 2 ,所以 sin2α+4cos2α+4sin αcos α=10 4 (sin2α+ cos2α),整理得 3sin2α-3cos2α-8sin αcos α=0,则-3cos 2α=4sin 2α,所以 tan 2α=-3 4. 3.(2018·合肥质检)已知函数 f(x)=sin4x+cos4x,x∈ -π 4 ,π 4 .若 f(x1)x2 C.x21x22 解析:选 D f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1 4cos 4x+3 4 ,4x∈[-π, π],所以函数 f(x)是偶函数,且在 0,π 4 上单调递减,根据 f(x1)|x2|,即 x21>x22. 4.计算 cos 10°- 3cos-100° 1-sin 10° =________(用数字作答). 解 析 : cos 10°- 3cos-100° 1-sin 10° = cos 10°+ 3cos 80° 1-cos 80° = cos 10°+ 3sin 10° 2sin 40° = 2sin10°+30° 2sin 40° = 2. 答案: 2 5.已知 cos α=1 7 ,cos(α-β)=13 14 ,且 0<β<α<π 2 ,则β=________. 解析:由 cos α=1 7 ,0<α<π 2 , 得 sin α= 1-cos2α= 1- 1 7 2=4 3 7 , 由 0<β<α<π 2 ,得 0<α-β<π 2 ,又∵cos(α-β)=13 14 , ∴sin(α-β)= 1-cos2α-β= 1- 13 14 2=3 3 14 . 由β=α-(α-β),得 cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =1 7 ×13 14 +4 3 7 ×3 3 14 =1 2. ∴β=π 3. 答案:π 3 6.已知角α的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(-3, 3). (1)求 sin 2α-tan α的值; (2)若函数 f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α,求函数 g(x)= 3f π 2 -2x -2f 2(x)在区 间 0,2π 3 上的值域. 解:(1)∵角α的终边经过点 P(-3, 3), ∴sin α=1 2 ,cos α=- 3 2 ,tan α=- 3 3 . ∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=- 3 2 + 3 3 =- 3 6 . (2)∵f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=cos x, ∴g(x)= 3cos π 2 -2x -2cos2x= 3sin 2x-1-cos 2x=2sin 2x-π 6 -1. ∵0≤x≤2π 3 ,∴-π 6 ≤2x-π 6 ≤7π 6 . ∴-1 2 ≤sin 2x-π 6 ≤1,∴-2≤2sin 2x-π 6 -1≤1, 故函数 g(x)= 3f π 2 -2x -2f2(x)在区间 0,2π 3 上的值域是[-2,1]. 7.已知函数 f(x)=2cos2ωx-1+2 3sin ωxcos ωx(0<ω<1),直线 x=π 3 是函数 f(x)的图象 的一条对称轴. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)已知函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,然后 再向左平移2π 3 个单位长度得到的,若 g 2α+π 3 =6 5 ,α∈ 0,π 2 ,求 sin α的值. 解:(1)f(x)=cos 2ωx+ 3sin 2ωx=2sin 2ωx+π 6 , 由于直线 x=π 3 是函数 f(x)=2sin 2ωx+π 6 的图象的一条对称轴, 所以2π 3 ω+π 6 =kπ+π 2(k∈Z), 解得ω=3 2k+1 2(k∈Z), 又 0<ω<1,所以ω=1 2 , 所以 f(x)=2sin x+π 6 . 由 2kπ-π 2 ≤x+π 6 ≤2kπ+π 2(k∈Z), 得 2kπ-2π 3 ≤x≤2kπ+π 3(k∈Z), 所以函数 f(x)的单调递增区间为 2kπ-2π 3 ,2kπ+π 3(k∈Z). (2)由题意可得 g(x)=2sin 1 2 x+2π 3 +π 6 , 即 g(x)=2cosx 2 , 由 g 2α+π 3 =2cos 1 2 2α+π 3 =2cos α+π 6 =6 5 ,得 cos α+π 6 =3 5 , 又α∈ 0,π 2 ,故π 6<α+π 6<2π 3 ,所以 sin α+π 6 =4 5 , 所以 sin α=sin α+π 6 -π 6 =sin α+π 6 ·cosπ 6 -cos α+π 6 ·sinπ 6 =4 5 × 3 2 -3 5 ×1 2 =4 3-3 10 . C 级——重难题目自主选做 如图,现要在一块半径为 1,圆心角为π 3 的扇形铁片 AOB 上剪出一个平 行四边形 MNPQ,使点 P 在弧 AB 上,点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上, 设∠BOP=θ,平行四边形 MNPQ 的面积为 S. (1)求 S 关于θ的函数关系式; (2)求 S 的最大值及相应的θ的大小. 解:(1)分别过 P,Q 作 PD⊥OB 于点 D,QE⊥OB 于点 E, 则四边形 QEDP 为矩形. 由扇形半径为 1,得|PD|=sin θ, |OD|=cos θ. 又|OE|= 3 3 |QE|= 3 3 |PD|, ∴|MN|=|QP|=|DE|=|OD|-|OE|=cos θ- 3 3 sin θ, ∴S=|MN|·|PD|= cos θ- 3 3 sin θ ·sin θ =sin θcos θ- 3 3 sin2θ,θ∈ 0,π 3 . (2)由(1)知 S=1 2sin 2θ- 3 6 (1-cos 2θ) =1 2sin 2θ+ 3 6 cos 2θ- 3 6 = 3 3 sin 2θ+π 6 - 3 6 , 因为θ∈ 0,π 3 , 所以 2θ+π 6 ∈ π 6 ,5π 6 ,所以 sin 2θ+π 6 ∈ 1 2 ,1 . 当θ=π 6 时,S 取最大值,且 Smax= 3 6 . (二)重点高中适用作业 A 级——保分题目巧做快做 1.若 tan θ= 3,则 sin 2θ 1+cos 2θ =( ) A. 3 B.- 3 C. 3 3 D.- 3 3 解析:选 A sin 2θ 1+cos 2θ =2sin θcos θ 2cos2θ =tan θ= 3. 2.化简: cos 40° cos 25° 1-sin 40° =( ) A.1 B. 3 C. 2 D.2 解析:选 C 原式= cos220°-sin220° cos 25°cos 20°-sin 20° =cos 20°+sin 20° cos 25° = 2cos 25° cos 25° = 2,故 选 C. 3.函数 f(x)=2sin2 π 4 +x - 3cos 2x 的最大值为( ) A.2 B.3 C.2+ 3 D.2- 3 解析:选 B f(x)=1-cos 2 π 4 +x - 3cos 2x=sin 2x- 3cos 2x+1=2sin 2x-π 3 +1, 可得 f(x)的最大值是 3. 4.已知 sin 2α=24 25 ,0<α<π 2 ,则 2cos π 4 -α 的值为( ) A.1 5 B.-1 5 C.±1 5 D.7 5 解析:选 D 因为 sin 2α=24 25 ,所以(sin α+cos α)2=1+sin 2α=49 25.因为 0<α<π 2 ,所以 sin α+cos α=7 5. 所以 2cos π 4 -α = 2× 2 2 (cos α+sin α)=7 5. 5.在△ABC 中,若 3(tanB+tan C)=tanB·tan C-1,则 sin 2A=( ) A.-1 2 B.1 2 C.- 3 2 D. 3 2 解析:选 D 由两角和的正切公式知 tan(B+C)= tan B+tan C 1-tan B·tan C = tan B+tan C - 3tan B+tan C =- 3 3 ,所以 tan A= 3 3 ,又 A∈(0,π),所以 A=π 6 ,所以 sin 2A= 3 2 . 6.在△ABC 中,sin(C-A)=1,sin B=1 3 ,则 sin A=________. 解析:∵sin(C-A)=1,∴C-A=90°,即 C=90°+A, ∵sinB=1 3 ,∴sinB=sin(A+C)=sin(90°+2A)=cos 2A=1 3 ,即 1-2sin2A=1 3 ,∴sin A = 3 3 . 答案: 3 3 7.函数 y=sin π 6 -2x +cos 2x 的单调递增区间为________,最大值为________. 解析:因为 y=sin π 6 -2x +cos 2x =1 2cos 2x- 3 2 sin 2x+cos 2x =3 2cos 2x- 3 2 sin 2x= 3cos 2x+π 6 , 由 2kπ-π≤2x+π 6 ≤2kπ,k∈Z, 得 kπ-7π 12 ≤x≤kπ- π 12 ,k∈Z, 故单调递增区间为 kπ-7π 12 ,kπ- π 12 (k∈Z),最大值为 3. 答案: kπ-7π 12 ,kπ- π 12 (k∈Z) 3 8.定义运算|a b c d|=ad-bc.若 cos α=1 7 ,|sin α sin β cos α cos β|=3 3 14 , 0<β<α<π 2 ,则β=________. 解析:依题意有 sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=3 3 14 . 又 0<β<α<π 2 ,∴0<α-β<π 2 , 故 cos(α-β)= 1-sin2α-β=13 14 , ∵cos α=1 7 , ∴sin α=4 3 7 , 于是 sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =4 3 7 ×13 14 -1 7 ×3 3 14 = 3 2 ,故β=π 3. 答案:π 3 9.化简:(1) 3tan 12°-3 sin 12°4cos212°-2 ;(2) cos2α 1 tan α 2 -tan α 2 . 解:(1)原式= 3sin 12° cos 12° -3 22cos212°-1sin 12° = 3sin 12°-3cos 12° 2sin 12°cos 12°cos 24° =2 3sin 12°cos 60°-cos 12°sin 60° sin 24°cos 24° =4 3sin12°-60° sin 48° =-4 3. (2)法一:原式= cos2α cosα 2 sinα 2 - sinα 2 cosα 2 = cos2 α cos2 α 2 -sin2 α 2 sinα 2cosα 2 = cos2αsinα 2cosα 2 cos2 α 2 -sin2 α 2 =cos2αsinα 2cosα 2 cos α =sinα 2cosα 2cos α=1 2sin αcos α=1 4sin 2α. 法二:原式= cos2αtanα 2 1-tan2 α 2 =1 2cos2α· 2tanα 2 1-tan2 α 2 =1 2cos2α·tan α=1 2cos αsin α=1 4sin 2α. 10.已知函数 f(x)=sin x- 3cos x+2,记函数 f(x)的最小正周期为β,向量 a=(2,cos α), b= 1,tan α+β 2 ,0<α<π 4 ,且 a·b=7 3. (1)求 f(x)在区间 2π 3 ,4π 3 上的最值; (2)求2cos2α-sin [2α+β] cos α-sin α 的值. 解:(1)f(x)=sin x- 3cos x+2=2sin x-π 3 +2, ∵x∈ 2π 3 ,4π 3 ,∴x-π 3 ∈ π 3 ,π , ∴f(x)的最大值是 4,最小值是 2. (2)由题意知β=2π, ∴a·b=2+cos αtan(α+π)=2+sin α=7 3 , ∴sin α=1 3 , ∴2cos2α-sin[2α+β] cos α-sin α =2cos2α-sin 2α cos α-sin α =2cos α=2 1-sin2α=4 2 3 . B 级——拔高题目稳做准做 1.(2018·安徽六安一中综合训练)已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sin ωxsin ωx+π 2 (ω>0)的最 小正周期为π,则 f(x)在区间 0,2π 3 上的值域为( ) A. 0,3 2 B. -1 2 ,3 2 C. -1 2 ,1 D. -3 2 ,1 2 解析:选 A f(x)=sin2ωx+ 3sin ωxsin ωx+π 2 =sin2ωx+ 3sin ωxcos ωx= 3 2 sin 2ωx -1 2cos 2ωx+1 2 =sin 2ωx-π 6 +1 2 , 因为 T=2π 2ω =π ω =π,所以ω=1,即 f(x)=sin 2x-π 6 +1 2 ,当 x∈ 0,2π 3 时,2x-π 6 ∈ -π 6 ,7π 6 ,所以 sin 2x-π 6 ∈ -1 2 ,1 ,故所求值域为 0,3 2 ,故选 A. 2.(2018·江西赣中南五校模拟)已知 f(x)=sin2 019x+π 6 +cos 2 019x-π 3 的最大值为 A, 若存在实数 x1,x2 使得对任意实数 x 总有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则 A|x1-x2|的最小值为 ( ) A. π 2 019 B. 2π 2 019 C. 4π 2 019 D. π 4 038 解析:选 B ∵f(x)=sin 2 019x+π 6 +cos 2 019x-π 3 =sin 2 019xcos π 6 +cos 2 019xsin π 6 +cos 2 019xcos π 3 +sin 2 019xsin π 3 = 3 2 sin 2 019x+1 2cos 2 019x+1 2cos 2 019x+ 3 2 sin 2 019x= 3sin 2 019x+cos 2 019x=2sin 2 019x+π 6 ,∴f(x)的最大值为 A=2; 由题意,得|x1-x2|的最小值为T 2 = π 2 019 , ∴A|x1-x2|的最小值为 2π 2 019.故选 B. 3.计算 cos 10°- 3cos-100° 1-sin 10° =________(用数字作答). 解 析 : cos 10°- 3cos-100° 1-sin 10° = cos 10°+ 3cos 80° 1-cos 80° = cos 10°+ 3sin 10° 2sin 40° = 2sin10°+30° 2sin 40° = 2. 答案: 2 4.已知α,β∈ 0,π 2 ,tan(α+β)=9tan β,则 tan α的最大值为________. 解析:∵α,β∈ 0,π 2 ,∴tan α>0,tan β>0, ∴tan α=tan(α+β-β)= tanα+β-tan β 1+tanα+β·tan β = 8tan β 1+9tan2β = 8 1 tan β +9tan β ≤ 8 2×3 =4 3 当且 仅当 1 tan β =9tan β时等号成立,∴tan α的最大值为4 3. 答案:4 3 5.已知角α的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(-3, 3). (1)求 sin 2α-tan α的值; (2)若函数 f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α,求函数 g(x)= 3f π 2 -2x -2f 2(x)在区 间 0,2π 3 上的值域. 解:(1)∵角α的终边经过点 P(-3, 3), ∴sin α=1 2 ,cos α=- 3 2 ,tan α=- 3 3 . ∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=- 3 2 + 3 3 =- 3 6 . (2)∵f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=cos x, ∴g(x)= 3cos π 2 -2x -2cos2x= 3sin 2x-1-cos 2x=2sin 2x-π 6 -1. ∵0≤x≤2π 3 ,∴-π 6 ≤2x-π 6 ≤7π 6 . ∴-1 2 ≤sin 2x-π 6 ≤1,∴-2≤2sin 2x-π 6 -1≤1, 故函数 g(x)= 3f π 2 -2x -2f2(x)在区间 0,2π 3 上的值域是[-2,1]. 6.(2018·湛江一模) 已知函数 f(x)=Acos ωx-π 3 (A>0,ω>0)图象相邻两条对称轴的距离 为π 2 ,且 f(0)=1. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设α,β∈ 0,π 4 ,f α-π 3 =-10 13 ,f β+π 6 =6 5 ,求 tan(2α-2β)的值. 解:(1)∵函数 f(x)=Acos ωx-π 3 (A>0,ω>0)图象相邻两条对称轴的距离为π 2 , ∴T 2 =π ω =π 2 ,∴ω=2, 又 f(0)=1,∴1 2A=1,∴A=2, ∴f(x)=2cos 2x-π 3 . (2)∵α∈ 0,π 4 , f α-π 3 =2cos 2 α-π 3 -π 3 =2cos(2α-π) =-2cos 2α=-10 13 , ∴cos 2α= 5 13 ,sin 2α= 1-cos22α=12 13 , 则 tan 2α=sin 2α cos 2α =12 5 . ∵β∈ 0,π 4 , f β+π 6 =2cos 2 β+π 6 -π 3 =2cos 2β=6 5 , ∴cos 2β=3 5 ,sin 2β= 1-cos22β=4 5 , 则 tan 2β=sin 2β cos 2β =4 3. ∴tan(2α-2β)= tan 2α-tan 2β 1+tan 2α·tan 2β = 12 5 -4 3 1+12 5 ×4 3 =16 63.

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