【数学】2020届一轮复习人教A版第十五章第5课　计数原理与排列、组合学案（江苏专用） 5页

第二章　计数原理与概率 ‎____第5课__计数原理与排列、组合____‎ ‎1. 理解分类计数原理与分步计数原理，理解排列和组合的意义．‎ ‎2. 运用计数原理分析、处理问题，但不机械套用公式．同时，应避免繁琐的、技巧性过高的计数问题.‎ ‎1. 阅读：选修23第5～25页．‎ ‎2. 解悟：①分类计数原理；②分步计数原理；③分类计数原理的“类”与分步计数原理的“步”之间的关系是怎样的；④理解排列数公式A，组合数公式C.‎ ‎3. 践习：在教材空白处，完成第9页习题第5题，第17页练习第1、2题；第21页练习第7题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书．‎ ‎(1) 从中任取一本，有________种不同的取法；‎ ‎(2) 若取外语、数学、物理各一本，有________种不同的取法．‎ ‎2. 从5名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有________种．‎ ‎3. 高二(1)班有4位同学，从甲、乙、丙3门课程中选一门，则恰好有2人选修甲课程的不同选法有________种．‎ ‎4. 将3封信投入6个信箱内，不同的投法有______种．‎ ‎　范例导航　‎ 考向 直接利用分类计数、分步计数原理解决问题 ‎　　例1　已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：‎ ‎(1) P可表示平面上多少个不同的点？‎ ‎(2) P可表示平面上多少个第二象限的点？‎ ‎(3) P可表示多少个不在直线y＝x上的点？‎ 某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生代表参加学生代表大会．‎ ‎(1) 若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？‎ ‎(2) 若学校分配给该班2名代表，且男、女各一名，则有多少种不同的选法？‎ 考向 区别分类、分步问题，合理选用计数原理解题 ‎　　例2　海岛上信号站的值班员用红、黄、白三色各三面旗向附近海域出示旗语，在旗标上纵排挂，可以是一面、两面、三面，则这样的旗语有多少种？‎ 在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排一次考试，则有________种不同的方法；若不限制每天考试的次数，则有________种不同的方法．‎ 考向 综合利用两个计数原理解题 ‎　　例3　有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报 名方法(不一定六名同学都能参加)?‎ ‎(1) 每人恰好参加一项，每项人数不限；‎ ‎(2) 每项限报一人(每项均有人参加)，且每人至多参加一项；‎ ‎(3) 每项限报一人(每项均有人参加)，但每人参加的项目不限．‎ ‎　自测反馈　‎ ‎1. 某外商计划在4个候选城市中投资3个不同项目，且在同一城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．‎ ‎2. 甲有3本不同的书，乙去借阅，至少借1本的方法有________种．‎ ‎3. 将4封信投入3个信箱中，则不同的方法共有________种．‎ ‎4. 4个同学，争夺3项竞赛的冠军，冠军获得的可能情况有________种．‎ ‎1. 要分清分类和分步原理：前者针对“分类”问题，后者针对“分步”问题．‎ ‎2. 解决复杂问题时，需要灵活运用两个原理进行解题，即可先分类，在某一类中再分步，在某一步中再分类．‎ ‎3. 你还有哪些体悟，写下来：‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 第5课　计数原理与排列、组合 ‎　基础诊断　‎ ‎1. (1) 12　解析：任取一本，则外语书5种，数学书4种，物理书3种，则共有5＋4＋3＝12(种)．‎ ‎(2) 60　解析：各取一本时的共有5×4×3＝60(种)．‎ ‎2. 25　解析：从7人中任选3人共有C种方法，如果选出三人无女生，有C种方法，因此至少选1名女生的共有C－C＝25(种)方法．‎ ‎3. 24　解析：分步计数，恰有2人选修课程甲，共有C＝6种结果，因此余下的两人各有两种选法，2×2＝4种结果，因此共有6×4＝24(种)结果．‎ ‎4. 216　解析：每一封信都有6种投法，则共有6×6×6＝216(种)投法．‎ ‎　范例导航　‎ 例1　解析：(1) 确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：‎ 第一步确定a的值，共有6种确定方法；‎ 第二步确定b的值，也有6种确定方法．‎ 根据分步计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36(个)．‎ ‎(2) 确定第二象限的点，可分两步完成：‎ 第一步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；‎ 第二步确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．‎ 由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6(个)．‎ ‎(3) 点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.‎ 因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．‎ 由(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．　‎ 解析：(1) 选出1名代表有2类方式：第1类从男生中选1名，有28种选法；第2类从女生中选1名，有20种选法．根据分类计数原理，共有28＋20＝48(种)不同的选法．‎ ‎(2) 可分两个步骤完成：‎ 第一步：选出1名男生代表，共有28种不同的选法；第二步：选出1名女生代表，共有20种不同的选法．‎ 根据分步计数原理，共有28×20＝560(种)不同的选法．‎ 例2　解析：悬挂一面旗共有3种旗语；悬挂两面旗共有3×3＝9(种)旗语；悬挂三面旗共有3×3×3＝27(种)旗语．由分类计数原理，共有3＋9＋27＝39(种)旗语．‎ ‎60　125　解析：若每天至多安排一次考试，先安排第一场考试，有5种方法；再安排第二场考试，有4种方法；最后安排第三场考试，有3种方法，共有5×4×3＝60(种)方法．若不限制每天考试的次数，先安排第一场考试，有5种方法；再安排第二场考试，有5种方法；最后安排第三场考试，有5种方法，共有5×5×5＝125(种)方法．‎ 例3　解析：(1) 每人都可以从这三项比赛项目中选报一项，各有3种办法，由分步计数原理，知共有报名方法36＝729(种)．‎ ‎(2) 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，由分步计数原理，共有报名方法6×5×4＝120(种)．‎ ‎(3) 由于每人参加的项目不限，因此每个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步计数原理，得共有不同报名方法63＝216(种)．‎ ‎【变式题】某校艺术节期间欲举办一台大型文艺演出，需在2名老师，6名男生和8名女生中挑选节目主持人．‎ ‎(1) 若只需1人主持，有多少种不同的选法？‎ ‎(2) 若需老师、男生、女生各一人共同主持，有多少种不同的选法？‎ ‎(3) 若需师、生各一人主持，有多少种不同选法？‎ 解析：(1) 若只需一人主持，有2＋6＋8＝16(种)不同的选法．‎ ‎(2) 若需老师、男生、女生各一人共同主持，有2×6×8＝96(种)不同的选法．‎ ‎(3) 若需师、生各1人主持，有2×(6＋8)＝28(种)不同的选法．‎ ‎　自测反馈　‎ ‎1. 60　解析：投资方案可分为两类情况，一是在一个城市投资两个项目，在另一个城市投资1个项目，将项目分成2个与1个，有3种；项目在4个城市选两个有4×3＝12(种)，则这种情况有3×12＝36(种)；二是在三个城市各投资一个项目，获得投资的城市有C＝4(种)，安排项目与城市对应，有3×2×1＝6(种)，则这种情况有4×6＝24(种)．由分类计数原理共有36＋24＝60(种)方案．‎ ‎2. 7　解析：借书方法可分为3类，第1类只借1本，有3种不同方法；第2类借2本，有C＝3(种)不同方法；第3类将3本书全部借走，有1种方法．根据分类计数原理可知有3＋3＋1＝7(种)不同的借书方法．‎ ‎3. 81　解析：由于每封信都有3种不同的投法，故由分步计数原理可得，4封信共有34＝81(种)投法．‎ ‎4. 64　解析：由于每项竞赛的冠军都有4种情况，故由分步计数原理可得，3项竞赛共有43＝64(种)冠军获得的情况．‎