【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题29利用导数求函数的单调性学案 26页

专题二十九 利用导数求函数的单调性 ‎【利用导数研究函数的单调性】‎ ‎【导数和函数的单调性的关系】‎ ‎（1）若f′（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；  （2）若f′（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。‎ ‎【利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤】‎ ‎①确定f（x）的定义域；  ②计算导数f′（x）；  ③求出f′（x）=0的根；  ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）>0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）<0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。‎ ‎【函数的导数和函数的单调性关系特别提醒】‎ 若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）>0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。 ‎ ‎【利用导数研究函数的最值】‎ 函数的最大值和最小值：‎ 在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。‎ ‎【利用导数求函数的最值步骤】‎ ‎（1）求f（x）在（a，b）内的极值；  （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。‎ ‎ 用导数的方法求最值特别提醒：‎ ‎①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值； ②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值； ③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。 ‎ ‎【2017年高考全国Ⅲ卷，文21】‎ 已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当a﹤0时，证明．‎ ‎【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）详见解析 试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+），.‎ 若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.‎ 若a＜0，则当x∈时，；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）由（1）知，当a＜0时， f（x）在取得最大值，最大值为 .‎ 所以等价于，即.‎ 设g（x）=lnx-x+1，则.‎ 当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时， .所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.‎ ‎【考点】利用导数求函数单调性，利用导数证明不等式 ‎【点拨】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略： （1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.‎ ‎（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ 答题思路 ‎【命题意图】 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，一直是近几年高考的热点．‎ ‎【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有三种：一种 是利用导数求函数的单调性；在解题的过程注意定义域问题和分类讨论；一种是利用函数的单调性求函数的最值；一种是已知函数的单调性求参数的取值范围。重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，这是备考中应该注意的方面.‎ ‎【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下两步：‎ 第一步 计算函数的定义域 f（x）的定义域为（0，+），.‎ 第二步 求出函数的导函数 ‎ 第三步 若，则为增函数；若，则为减函数. 若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.若a＜0，则当x∈时，；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.‎ ‎【方法总结】‎ 1. 求函数的单调区间方法一：‎ ‎①确定函数的定义域；‎ ‎②求导数；‎ ‎③解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎④解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ 2. 求函数的单调区间方法二：‎ ‎①确定函数的定义域；‎ ‎②求导数，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；‎ ‎③把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；‎ ‎④确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．‎ 3. 讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的标准 4. 易错点 ‎（1）注意函数定义域的确定．‎ ‎（2）解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x ‎)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．‎ ‎1.【2017年高考全国卷Ⅰ卷，文21】‎ 已知函数=ex(ex−a)−a2x．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；（2）．‎ ‎（2）①若，则，所以．‎ ‎②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时，．‎ ‎③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎【考点】导数应用 ‎【点拨】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值．‎ ‎2.【2017年高考全国Ⅱ卷，文21】‎ 设函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）在和单调递减，在单调递增；（2）．‎ 试题解析：（1）．‎ 令得．‎ 当时，；当时，；当时，．‎ 所以在和单调递减，在单调递增．‎ ‎（2）．‎ 当a≥1时，设函数h(x)=（1−x）ex，h′(x)= −xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，‎ 故h(x)≤1，所以f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1．‎ 当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex−x−1，g′（x）=ex−1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1．‎ 当0＜x＜1时，，，取，‎ 则．‎ 当时，取则．‎ 综上，a的取值范围是[1，+∞）．‎ ‎【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立 ‎【点拨】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎3.【2017年高考山东卷，文10】若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是 A . B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由A,令,,则在R上单调递增,具有M性质,故选A.‎ ‎【考点】导数的应用 ‎【点拨】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解．‎ ‎4．【2017息县一中第七次适应性考试】若定义在上的函数满足，其导函数，则下列结论中一定错误的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】令 ，则 ，因此 ，故选C.‎ ‎5．【2017西北师范大学附属中学第四次诊断】若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎6．【2017西安铁一中五模】已知函数，其中常数.‎ ‎（Ⅰ）讨论在上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，若曲线上总存在相异两点，使曲线在两点处的切线互相平行，试求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导数，对分类讨论，利用导数的正负，即可得到在区间上的单调性；‎ ‎（2）利用过两点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求解的取值范围。‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知得， 的定义域为，且 ‎，‎ ‎①当时， ，且，‎ 所以时， ； 时， .‎ 所以，函数在上是减函数，在上是增函数；‎ ‎（Ⅱ）由题意，可得， 且 即，化简得， ‎ 由，得 即对恒成立，‎ 令，则对恒成立 ‎∴在上单调递增，则，所以，‎ 所以，‎ 故取值范围为.‎ ‎【点拨】本题考查导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值及其应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中第2问题中转化为对在恒成立是解答的关键。‎ ‎7．【2017衡水中学三模】已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对任意及，恒有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1），‎ 当时， ，令，得或，‎ 令，得；‎ 当时，得，令，得或，‎ 令，得；‎ 当时， ，‎ 综上所述，当时，函数的递减区间为和，递增区间；当时，函数在上单调递减；当时，函数的递减区间为和，递增区间为．‎ ‎（2）由（1）可知，当时，函数在区间上单调递减，‎ 当时，函数取最大值；当时，函数取最小值．‎ ‎．‎ ‎∵，整理得．‎ ‎∵， ∴恒成立，‎ ‎∵， ∴， ∴．‎ ‎【点拨】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解 ‎8．【2017唐山三模】已知函数， .‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数在区间有唯一零点，证明： .‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.‎ 若，即，则有两个零点， ，‎ 由， 得，‎ 当时， ， ， 单调递增；‎ 当时， ， ， 单调递减；‎ 当时， ， ， 单调递增.‎ 综上所述，‎ 当时， 在上单调递增；‎ 当时， 在和上单调递增，‎ 在上单调递减. ‎ ‎（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求.‎ 此时， 就是函数在区间的唯一零点.‎ 所以，从而有，‎ 又因为，所以，‎ 令，则，‎ 设，则，‎ 再由（1）知： ， ， 单调递减，‎ 又因为， ，‎ 所以，即 ‎【点拨】本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.‎ ‎9．【2017衡阳第二次联考】已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）如果对于任意的， 恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设函数， ，过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列，求数列的所有项之和的值.‎ ‎【答案】（1）增区间为；减区间为.（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）求单调区间则根据导数解不等式即可（2）令 要使恒成立，只需当时， 分析函数单调性求出最小值解不等式即可（2） 设切点坐标为，则切线斜率为从而切线方程为 代入M，令， ，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现根据此规律即可分析得解 ‎⑵令 ‎ 要使恒成立，只需当时， ‎ 令，则对恒成立 在上是增函数，则 ‎①当时， 恒成立， 在上为增函数 ‎， 满足题意；‎ ‎②当时， 在上有实根, 在上是增函数 则当时， ， 不符合题意；‎ ‎⑶ ‎ ‎ ‎ 设切点坐标为，则切线斜率为 从而切线方程为 ‎ ‎ ‎ 令， ，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，又在共有1008对，每对和为.‎ ‎.‎ ‎【点拨】（1）求出导数，然后根据导数大于零和小于零求出对应的单调区间，（2）构造辅助函数，将问题转化为求此函数的最小值问题，然后根据k的取值进行讨论，（3）把解析式代入，求出其导数，设出切点，求出切点的坐标，写出切线方程，得到关于切点横坐标的三角方程，利用函数图像分析得到切点的横坐标的对称性，最后结合给出的范围得到S的值 ‎ ‎10．【2017辽宁实验中学六模】已知函数， ，其中 ‎（1）若，讨论的单调区间；‎ ‎（2）已知函数的曲线与函数的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为，证明： .‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得， ‎ 当时， ，；‎ 当时， ．‎ 故若， 在上单调递增，在上单调递减；‎ 故若， 在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎11．【2017省息一中第七次适应性考】已知函数（），且的导数为.‎ ‎（Ⅰ）若是定义域内的增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为 ，所以.‎ 由，得，即 对于一切实数都成立.‎ 再令，则，由，得.‎ 而当时， ，当时， ，所以当时， 取得极小值也是最小值，即，所以的取值范围是.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 所以方程 ，即 ，‎ 整理，得.‎ 令，则 ，‎ 令，解得或.‎ 列表得：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 增 极大值 减 极小值 增 由表可知当时， 取得极大值；‎ 当时， 取得极小值.‎ 又当时， ， ，此时.‎ 因此当时， ；当时， ；当时， ，因此实数的取值范围是.‎ ‎12．【2017江西师范大学附属中学三模】已知函数 是自然对数的底数).‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)若,当时,求函数的最大值;‎ ‎(3)若且,求证: .‎ ‎【答案】（1）在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎（2）（3）见解析 试题解析: (1) 的定义域为,且,‎ 令, ‎ 在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(2) ,‎ ‎,‎ 当时, ,,‎ 当时, ,‎ 在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎.‎ ‎(3) , 即.‎ 由(1)知 在上单调递增,在上单调递减,且,‎ 则 要证,即证,即证,即证,‎ 即证,由于,即证.‎ 令 ‎ 恒成立 在递增, 在恒成立,‎ 原不等式成立.‎ ‎【点拨】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.‎ ‎13．【2017兰州一中冲刺模拟】设函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）已知函数有极值m，求证： ．（已知）‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时， 在上单调递增.当时， 在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，当时， 恒成立，所以在上单调递增，当时， 得增区间， 得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，研究的单调性，利用零点定理可得结果.‎ 试题解析：（I）‎ ‎ ‎ 当时， 恒成立，所以在上单调递增.‎ 当时，解得解得 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 综上，当时， 在上单调递增.‎ 当时， 在上单调递减，在上单调递增. ‎ ‎14.【2016年高考全国Ⅰ卷，文21】已知函数．‎ ‎ (I)讨论的单调性；‎ ‎(II)若有两个零点,求的取值范围.‎ ‎【答案】见解析(II) ‎ 当时,,所以在单调递增,在单调递减.‎ ‎③若,则,故当时,,当时,,所以在单调递增,在单调递减.‎ ‎(II)(i)设,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.‎ 又,取b满足b<0且,‎ 则,所以有两个零点.‎ ‎(ii)设a=0,则所以有一个零点.‎ ‎(iii)设a<0,若,则由(I)知,在单调递增.‎ 又当时,<0,故不存在两个零点；若,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.又当时<0,故不存在两个零点.‎ 综上,a的取值范围为.‎ ‎【考点】函数单调性,导数应用 ‎【点拨 ‎】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.‎ ‎15.【2016年高考全国Ⅱ卷，文20】已知函数．‎ ‎(Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)若当时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎（II）当时，等价于 设，则 ‎，‎ ‎（i）当，时， ，故在上单调递增，因此；‎ ‎（ii）当时，令得 ‎．‎ 由和得，故当时，，在单调递减，因此．‎ 综上，的取值范围是 ‎【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性 ‎【点拨】求函数的单调区间的方法：‎ ‎(1)确定函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎(2)求导数y′＝f′(x)；‎ ‎(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎15.【2016年高考全国Ⅲ卷，文21】设函数．‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）证明当时，；‎ ‎（III）设，证明当时，.‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．‎ ‎【解析】‎ 故当时，，，即. ‎ ‎（Ⅲ）由题设，设，则，令，‎ 解得.‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减. ……………9分 由（II）知，，故，又，故当时，‎ ‎.‎ 所以当时，.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性、不等式的证明与解法 ‎【点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．‎ ‎16．【2016年高考四川卷，文6】已知a为函数f(x)=x3–12x的极小值点，则a=‎ ‎(A)–4 (B)–2 (C)4 (D)2‎ ‎【答案】D ‎【考点】函数的导数与极值点 ‎【点拨】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点.‎