云南省昆明市第一中学2021届高中新课标高三第二次双基检测理科数学试题 10页

昆明市第一中学 2021 届高中新课标高三第二次双基检测 理科数学 一､选择题 1. 已知集合  2 3 4 0A x x x    ，集合  2 4B x Z x     ，则 A B  （ ） A.  2,1,0,1 B.  1,0,1,2,3 C.  0,1 D.  1 2. 设 1 1i x yi   （i 是虚数单位， xR ， y R ）则 x yi  （ ） A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 1 3. 我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵 横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一 种模型，它的侧视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知 1tan 2    ， cos2  （ ） A. 4 5 B. 4 5  C. 3 5 D. 3 5- 5. 在 6 21 xx     的展开式中 3x 的系数是（ ） A. 20 B. 15 C. 20 D. 30 6. 已知函数     2g x f x x  是奇函数，当 0x  时，函数  f x 的图象与函数 2logy x 的图象关于 y x 对称，则  2g   （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 过圆 2 2 4x y  上一点 P 作圆  2 2 2: 0O x y m m   的两条切线，切点分别为 A ，B ，若 3APB   ， 则实数 m  （ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 1 D. 2 8. 设样本数据 1x ， 2x ， 3x ，…， 19x ， 20x 的均值和方差分别为 2 和8 ，若 2i iy x m  ( m 为非零常数， 1,2,3, ,19,20i   )，则 1y ， 2y ， 3y ，…， 19y ， 20y 的均值和标准差为（ ） A. 2 m ，32 B. 4 m ， 4 2 C. 2 m ， 4 2 D. 4 m ，32 9. 已知 ABC 三个内角 A ， B ，C 及其对边 a ，b ， c ，其中，角 B 为锐角， 3b  且  2 2 2 tan 3a c b B ac   ， 则 ABC 面积的最大值为（ ） A. 3 3 4 B. 3 3 2 C. 3 4 D. 3 2 10. 已知球面上 A ，B ，C 三点，如果 3AB BC AC   ，且球的体积为 20 5 3  ，则球心到平面 ABC 的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 11. 设 1F ， 2F 是双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的左、右焦点，O 是坐标原点，过 2F 作C 的一条渐 近线的垂线，垂足为 P .若 1 213PF PF ，则C 的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 3 3 12. 记函数    ln 1 1f x x x    的定义域为 A ，函数   sin 1x xg x e e x    ，若不等式    22 1 2g x a g x    对 x A 恒成立，则 a 的取值范围为（ ） A.  2, B.  2, C.  2,  D.  2,  二､填空题 13. 向量  1,0a  ，  21,b m r ，若  a ma b    ，则 m  _________. 14. 已知函数  f x 的导函数为  f x ，且满足关系式    3 2 1 xf x x f x e    ，则  1f  的值等于 __________. 15. 函数 sin 2 cos 23 2y x x              取最小值时 x 的取值范围是________. 16. 已知抛物线  2: 2 0C x py p  的焦点为 F ，其准线与 y 轴交于点 D ，过点 F 作直线交抛物线C 于 A ， B 两点，若 AB AD ，且 4BF AF  ，则 p 的值为___________. 三､解答题 17. 已知 na 为等差数列， 1 1a  且公差 0d  ， 4a 是 2a 和 8a 的等比中项.（1）若数列 na 的前 m 项和 66mS  ，求 m 的值；（2）若 1a ， 2a ， 1ka ， 2ka ，…， nka 成等比数列，求数列 nk 的通项公式. 18. 学校食堂统计了最近5 天到餐厅就餐的人数 x（百人）与食堂向食材公司购买所需食材（原材料）的数 量 y （袋），得到如下统计表： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 就餐人数 x （百人） 13 9 8 10 12 原材料 y （袋） 32 23 18 24 28 （1）根据所给的 5 组数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ； （2）已知购买食材的费用C （元）与数量 y （袋）的关系为     400 20,0 36 380 , 36 y y x NC y y y N         ，投入使 用的每袋食材相应的销售单价为 700 元，多余的食材必须无偿退还食材公司，据悉下周一大约有1500 人到 食堂餐厅就餐，根据（1）中求出的线性回归方程，预测食堂应购买多少袋食材，才能获得最大利润，最大 利润是多少？（注：利润 L =销售收入-原材料费用） 参考公式：      1 1 2 22 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx                 ， a y bx $ $ 参考数据： 5 1 1343i i i x y   ， 5 2 1 558i i x   ， 5 2 1 3237i i y   19. 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，四边形 1 1AAC C 是边长为 3 的正方形， 1CC BC ， 1BC  ， 2AB  . （1）证明：平面 1A BC  平面 1ABC ； （2）在线段 1A B 上是否存在点 M ，使得 1CM BC ，若存在，求 1 BM BA 的值；若不存在，请说明理由 20. 已知曲线 2 2 : 15 2 x yC m m    表示焦点在 x 轴上的椭圆. （1）求 m 的取值范围； （2）设 3m  ，过点  0,2P 的直线l 交椭圆于不同的两点 A ，B（ B 在 A ，P 之间），且满足 PB PA  ， 求  的取值范围. 21. 已知函数   lnf x x x . （1）求曲线  y f x 在点   ,e f e 处的切线方程； （2）若当 1x  时，    1f x x k x   恒成立，求正整数 k 的最大值. 22. 已知平面直角坐标系 xOy 中，将曲线 1 2 2cos ,: 2sin xC y       （ 为参数）绕原点逆时针旋转 2  得到曲线 2C ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 2C 的极坐标方程； （2）射线 6   分别与曲线 1C ， 2C 交于异于点O 的 A ， B 两点，求 AB . 23. 已知函数   1 2f x x x    . （1）求不等式   4f x  的解集； （2）若   4f x m m   对任意 xR 恒成立，求实数 m 的取值范围. 昆明市第一中学 2021 届高中新课标高三第二次双基检测 理科数学 一､选择题 1. 已知集合  2 3 4 0A x x x    ，集合  2 4B x Z x     ，则 A B  （ ） A.  2,1,0,1 B.  1,0,1,2,3 C.  0,1 D.  1 【答案】A 2. 设 1 1i x yi   （i 是虚数单位， xR ， y R ）则 x yi  （ ） A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 1 【答案】B 3. 我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵 横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一 种模型，它的侧视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4. 已知 1tan 2    ， cos2  （ ） A. 4 5 B. 4 5  C. 3 5 D. 3 5- 【答案】C 5. 在 6 21 xx     的展开式中 3x 的系数是（ ） A. 20 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】A 6. 已知函数     2g x f x x  是奇函数，当 0x  时，函数  f x 的图象与函数 2logy x 的图象关于 y x 对称，则  2g   （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 7. 过圆 2 2 4x y  上一点 P 作圆  2 2 2: 0O x y m m   的两条切线，切点分别为 A ，B ，若 3APB   ， 则实数 m  （ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 1 D. 2 【答案】C 8. 设样本数据 1x ， 2x ， 3x ，…， 19x ， 20x 的均值和方差分别为 2 和8 ，若 2i iy x m  ( m 为非零常数， 1,2,3, ,19,20i   )，则 1y ， 2y ， 3y ，…， 19y ， 20y 的均值和标准差为（ ） A. 2 m ，32 B. 4 m ， 4 2 C. 2 m ， 4 2 D. 4 m ，32 【答案】B 9. 已知 ABC 三个内角 A ， B ，C 及其对边 a ，b ， c ，其中，角 B 为锐角， 3b  且  2 2 2 tan 3a c b B ac   ， 则 ABC 面积的最大值为（ ） A. 3 3 4 B. 3 3 2 C. 3 4 D. 3 2 【答案】A 10. 已知球面上 A ，B ，C 三点，如果 3AB BC AC   ，且球的体积为 20 5 3  ，则球心到平面 ABC 的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】D 11. 设 1F ， 2F 是双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的左、右焦点，O 是坐标原点，过 2F 作C 的一条渐 近线的垂线，垂足为 P .若 1 213PF PF ，则C 的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 3 3 【答案】D 12. 记函数    ln 1 1f x x x    的定义域为 A ，函数   sin 1x xg x e e x    ，若不等式    22 1 2g x a g x    对 x A 恒成立，则 a 的取值范围为（ ） A.  2, B.  2, C.  2,  D.  2,  【答案】A 二､填空题 13. 向量  1,0a  ，  21,b m r ，若  a ma b    ，则 m  _________. 【答案】1 14. 已知函数  f x 的导函数为  f x ，且满足关系式    3 2 1 xf x x f x e    ，则  1f  的值等于 __________. 【答案】3 e 15. 函数 sin 2 cos 23 2y x x              取最小值时 x 的取值范围是________. 【答案】 5 , Z12x x k k       16. 已知抛物线  2: 2 0C x py p  的焦点为 F ，其准线与 y 轴交于点 D ，过点 F 作直线交抛物线C 于 A ， B 两点，若 AB AD ，且 4BF AF  ，则 p 的值为___________. 【答案】 2 三､解答题 17. 已知 na 为等差数列， 1 1a  且公差 0d  ， 4a 是 2a 和 8a 的等比中项. （1）若数列 na 的前 m 项和 66mS  ，求 m 的值； （2）若 1a ， 2a ， 1ka ， 2ka ，…， nka 成等比数列，求数列 nk 的通项公式. 【答案】（1） 11m  ；（2） 12n nk  . 18. 学校食堂统计了最近5 天到餐厅就餐的人数 x（百人）与食堂向食材公司购买所需食材（原材料）的数 量 y （袋），得到如下统计表： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 就餐人数 x （百人） 13 9 8 10 12 原材料 y （袋） 32 23 18 24 28 （1）根据所给的 5 组数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ； （2）已知购买食材的费用C （元）与数量 y （袋）的关系为     400 20,0 36 380 , 36 y y x NC y y y N         ，投入使 用的每袋食材相应的销售单价为 700 元，多余的食材必须无偿退还食材公司，据悉下周一大约有1500 人到 食堂餐厅就餐，根据（1）中求出的线性回归方程，预测食堂应购买多少袋食材，才能获得最大利润，最大 利润是多少？（注：利润 L =销售收入-原材料费用） 参考公式：      1 1 2 22 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx                 ， a y bx $ $ 参考数据： 5 1 1343i i i x y   ， 5 2 1 558i i x   ， 5 2 1 3237i i y   【答案】（1）  2.5 1y x  ；（2）食堂购买 36袋食，能获得最大利润，最大利润为11520元. 19. 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，四边形 1 1AAC C 是边长为 3 的正方形， 1CC BC ， 1BC  ， 2AB  . （1）证明：平面 1A BC  平面 1ABC ； （2）在线段 1A B 上是否存在点 M ，使得 1CM BC ，若存在，求 1 BM BA 的值；若不存在，请说明理由 【答案】（1）证明见解析；（2） 1 4 . 20. 已知曲线 2 2 : 15 2 x yC m m    表示焦点在 x 轴上的椭圆. （1）求 m 的取值范围； （2）设 3m  ，过点  0,2P 的直线l 交椭圆于不同的两点 A ，B（ B 在 A ，P 之间），且满足 PB PA  ， 求  的取值范围. 【答案】（1） 72, 2      ；（2） 1 ,13     . 21. 已知函数   lnf x x x . （1）求曲线  y f x 在点   ,e f e 处的切线方程； （2）若当 1x  时，    1f x x k x   恒成立，求正整数 k 的最大值. 【答案】（1） 2 0x y e   ；（2）3 . 22. 已知平面直角坐标系 xOy 中，将曲线 1 2 2cos ,: 2sin xC y       （ 为参数）绕原点逆时针旋转 2  得到曲线 2C ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 2C 的极坐标方程； （2）射线 6   分别与曲线 1C ， 2C 交于异于点O 的 A ， B 两点，求 AB . 【答案】（1） 4sin  ；（2） 2 3 2 ． 23. 已知函数   1 2f x x x    . （1）求不等式   4f x  的解集； （2）若   4f x m m   对任意 xR 恒成立，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1） 5 3, ,2 2            ；（2）   , 1 0,4   .