【数学】2018届一轮复习人教A版第八章立体几何与空间向量第7讲立体几何中的向量方法（一）—证明平行与垂直学案 9页

第 7 讲　立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 最新考纲　1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面 的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 知 识 梳 理 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行或重合，则称此 向量 a 为直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量：直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的法向量. 2.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 直线 l1，l2 的方向向量分别为 n1，n2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 l∥α n⊥m⇔n·m＝0直线 l 的方向向量为 n，平面 α 的法向量为 m l⊥α n∥m⇔n＝λm α∥β n∥m⇔n＝λm 平面 α，β的法向量分别为 n，m α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.(　　) (2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.(　　) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.(　　) (4)若空间向量 a 平行于平面 α，则 a 所在直线与平面 α 平行.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.(选修 2－1P104 练习 2 改编)已知平面 α，β的法向量分别为 n1＝(2，3，5)，n2＝(－3， 1，－4)，则(　　) A.α∥β B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不对 解析　∵n1≠λn2，且 n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β不平行，也 不垂直. 答案　C 3.已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是(　　) A.(－1，1，1) B.(1，－1，1) C.(－ 3 3 ，－ 3 3 ，－ 3 3 ) D.( 3 3 ， 3 3 ，－ 3 3 ) 解析　设 n＝(x，y，z)为平面 ABC 的法向量， 则{n·AB→ ＝0， n·AC→ ＝0， 化简得{－x＋y＝0， －x＋z＝0，∴x＝y＝z. 答案　C 4.(2017·青岛月考)所图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 是底面正方 形 ABCD 的中心，M 是 D1D 的中点，N 是 A1B1 的中点，则直线 ON，AM 的位置 关系是________. 解析　以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立 空间直角坐标系，设|AD|＝2，则 A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，所以AM→ ＝(－2，0，1)，ON→ ＝(1，0，2)，因此AM→ ·ON→ ＝－2＋0＋2＝0，故 AM⊥ON. 答案　垂直 5.(2017·杭州调研)设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n＝(2，2，4)，若a＝(1， 1，2)，则直线 l 与平面 α 的位置关系为________； 若 a＝(－1，－1，1)，则直线 l 与平面 α 的位置关系为________. 解析　当 a＝(1，1，2)时，a＝ 1 2n，则 l⊥α； 当 a＝(－1，－1，1)时，a·n＝(－1，－1，1)·(2，2，4)＝0，则 l∥α 或 l⊂α. 答案　l⊥α　l∥α 或 l⊂α 6.(2017·绍兴月考)设 α，β为两个不同的平面，u＝(－2，2，5)，v＝(1，－1，x)分别为 平面 α，β 的法向量. (1)若 α⊥β，则 x＝________； (2)若 α∥β，则 x＝________. 解析　(1)由 α⊥β，得 u·v＝0，即－2－2＋5x＝0，x＝ 4 5； (2)由 α∥β，得 u∥v，即 －2 1 ＝ 2 －1＝ 5 x，x＝－ 5 2. 答案　(1) 4 5　(2)－ 5 2 考点一　利用空间向量证明平行问题 【例 1】 如图，在四面体 A－BCD 中，AD⊥平面 BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD ＝2 2，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ＝3QC. 证明：PQ∥平面 BCD. 证明　法一　如图，取 BD 的中点 O，以 O 为原点，OD，OP 所在射线分 别为 y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz. 由题意知，A(0， 2，2)，B(0，－ 2，0)，D(0， 2，0). 设点 C 的坐标为(x0，y0，0). 因为AQ→ ＝3QC→ ， 所以 Q(3 4x0， 2 4 ＋ 3 4y0， 1 2). 因为 M 为 AD 的中点，故 M(0， 2，1). 又 P 为 BM 的中点，故 P(0，0， 1 2)， 所以PQ→ ＝(3 4x0， 2 4 ＋ 3 4y0，0). 又平面 BCD 的一个法向量为 a＝(0，0，1)，故PQ→ ·a＝0. 又 PQ⊄平面 BCD，所以 PQ∥平面 BCD. 法二　在线段 CD 上取点 F，使得 DF＝3FC，连接 OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点 A， B，C 的坐标，设点 C 坐标为(x0，y0，0). ∵CF→ ＝ 1 4CD→ ，设点 F 坐标为(x，y，0)，则 (x－x0，y－y0，0)＝ 1 4(－x0， 2－y0，0)， ∴{x＝ 3 4x0， y＝ 2 4 ＋ 3 4y0， ∴OF→ ＝(3 4x0， 2 4 ＋ 3 4y0，0) 又由法一知PQ→ ＝(3 4x0， 2 4 ＋ 3 4y0，0)， ∴OF→ ＝PQ→ ，∴PQ∥OF. 又 PQ⊄平面 BCD，OF⊂平面 BCD， ∴PQ∥平面 BCD. 规律方法　(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和 垂直的关键. (2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线 的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向 向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算. 【训练 1】如图所示，平面 PAD⊥平面 ABCD，ABCD 为正方形，△PAD 是直 角三角形，且 PA＝AD＝2，E，F，G 分别是线段 PA，PD，CD 的中点.求 证：PB∥平面 EFG. 证明　∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且 ABCD 为正方形， ∴AB，AP，AD 两两垂直. 以 A 为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系 A­xyz，则 A(0，0， 0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)， F(0，1，1)，G(1，2，0). 法一　∴EF→ ＝(0，1，0)，EG→ ＝(1，2，－1)， 设平面 EFG 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则{n·EF→ ＝0， n·EG→ ＝0， 即{y＝0， x＋2y－z＝0， 令 z＝1，则 n＝(1，0，1)为平面 EFG 的一个法向量， ∵PB→ ＝(2，0，－2)，∴PB→ ·n＝0，∴n⊥PB→ ， ∵PB⊄平面 EFG，∴PB∥平面 EFG. 法二　PB→ ＝(2，0，－2)，FE→ ＝(0，－1，0)， FG→ ＝(1，1，－1).设PB→ ＝sFE→ ＋tFG→ ， 即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)， ∴{t＝2， t－s＝0， －t＝－2， 解得 s＝t＝2.∴PB→ ＝2FE→ ＋2FG→ ， 又∵FE→ 与FG→ 不共线，∴PB→ ，FE→ 与FG→ 共面. ∵PB⊄平面 EFG，∴PB∥平面 EFG. 考点二　利用空间向量证明垂直问题 【例 2】 如图所示，已知四棱锥 P－ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC＝ ∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面 PBC⊥底面 ABCD.证明： (1)PA⊥BD； (2)平面 PAD⊥平面 PAB. 证明　(1)取 BC 的中点 O，连接 PO， ∵平面 PBC⊥底面 ABCD，△PBC 为等边三角形， ∴PO⊥底面 ABCD. 以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴，OP 所在 直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设 CD＝1，则 AB＝BC＝2，PO＝ 3. ∴A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0， 3). ∴BD→ ＝(－2，－1，0)，PA→ ＝(1，－2，－ 3). ∵BD→ ·PA→ ＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－ 3)＝0， ∴PA→ ⊥BD→ ，∴PA⊥BD. (2)取 PA 的中点 M，连接 DM，则 M(1 2，－1， 3 2 ). ∵DM→ ＝(3 2，0， 3 2 )，PB→ ＝(1，0，－ 3)， ∴DM→ ·PB→ ＝ 3 2×1＋0×0＋ 3 2 ×(－ 3)＝0， ∴DM→ ⊥PB→ ，即 DM⊥PB. ∵DM→ ·PA→ ＝ 3 2×1＋0×(－2)＋ 3 2 ×(－ 3)＝0， ∴DM→ ⊥PA→ ，即 DM⊥PA.又∵PA∩PB＝P， ∴DM⊥平面 PAB.∵DM⊂平面 PAD， ∴平面 PAD⊥平面 PAB. 规律方法　(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而 将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. (2)用向量证明垂直的方法 ①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. ②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表 示. ③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 【训练 2】 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱) ABC－ A1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 的中点.求证：AB1⊥平面 A1BD. 证明　法一　设平面 A1BD 内的任意一条直线 m 的方向向量为 m.由共面向量定理，则存在实数 λ，μ，使 m＝λBA1→ ＋μBD→ . 令BB1→ ＝a，BC→ ＝b，BA→ ＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝ 2，以它们为空间的一个基底， 则BA1→ ＝a＋c，BD→ ＝ 1 2a＋b，AB1→ ＝a－c， m＝λBA1→ ＋μBD→ ＝(λ＋ 1 2μ)a＋μb＋λc， AB1→ ·m＝(a－c)·[(λ＋ 1 2μ)a＋μb＋λc] ＝4(λ＋ 1 2μ)－2μ－4λ＝0.故AB1→ ⊥m，故 AB1⊥平面 A1BD. 法二　如图所示，取 BC 的中点 O，连接 AO. 因为△ABC 为正三角形， 所以 AO⊥BC. 因为在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，平面 ABC⊥平面 BCC1B1， 所以 AO⊥平面 BCC1B1. 取 B1C1 的中点 O1，以 O 为原点，分别以OB→ ，OO1→ ，OA→ 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角 坐标系， 则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2， 3)，A(0，0， 3)， B1(1，2，0). 设平面 A1BD 的法向量为 n＝(x，y，z)，BA1→ ＝(－1，2， 3)，BD→ ＝(－2，1，0). 因为 n⊥BA1→ ，n⊥BD→ ， 故{n·BA1→ ＝0， n·BD→ ＝0， ⇒{－x＋2y＋ 3z＝0， －2x＋y＝0， 令 x＝1，则 y＝2，z＝－ 3， 故 n＝(1，2，－ 3)为平面 A1BD 的一个法向量， 而AB1→ ＝(1，2，－ 3)，所以AB1→ ＝n，所以AB1→ ∥n， 故 AB1⊥平面 A1BD. 考点三　利用空间向量解决探索性问题 【例 3】 (2017·湖州调研)如图，棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的所有棱长都等 于 2，∠ABC 和∠A1AC 均为 60°，平面 AA1C1C⊥平面 ABCD. (1)求证：BD⊥AA1； (2)在直线 CC1 上是否存在点 P，使 BP∥平面 DA1C1？若存在，求出点 P 的位置；若不存在，请说明理由. (1)证明　设 BD 与 AC 交于点 O，则 BD⊥AC，连接 A1O，在△AA1O 中，AA1 ＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°， ∴A1O2＝AA21＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3， ∴AO2＋A1O2＝AA21，∴A1O⊥AO. 由于平面 AA1C1C⊥平面 ABCD， 平面 AA1C1C∩平面 ABCD＝AC， A1O⊂平面 AA1C1C， ∴A1O⊥平面 ABCD，以 OB，OC，OA1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系，则 A(0，－1，0)，B( 3，0，0)，C(0，1，0)，D(－ 3，0，0)，A1(0，0， 3)， C1(0，2， 3). 由于BD→ ＝(－2 3，0，0)，AA1→ ＝(0，1， 3)， AA1→ ·BD→ ＝0×(－2 3)＋1×0＋ 3×0＝0， ∴BD→ ⊥AA1→ ，即 BD⊥AA1. (2)解　假设在直线 CC1 上存在点 P，使 BP∥平面 DA1C1，设CP→ ＝λCC1→ ，P(x，y，z)，则(x，y －1，z)＝λ(0，1， 3). 从而有 P(0，1＋λ， 3λ)，BP→ ＝(－ 3，1＋λ， 3λ). 设 n3⊥平面 DA1C1，则{n3 ⊥ A1C1→ ， n3 ⊥ DA1→ ， 又A1C1→ ＝(0，2，0)，DA1→ ＝( 3，0， 3)， 设 n3＝(x3，y3，z3)，{2y3＝0， 3x3＋ 3z3＝0， 取 n3＝(1，0，－1)，因为 BP∥平面 DA1C1， 则 n3⊥BP→ ，即 n3·BP→ ＝－ 3－ 3λ＝0，得 λ＝－1， 即点 P 在 C1C 的延长线上，且 C1C＝CP. 规律方法　向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题 (1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来， 然后再加以证明，得出结论. (2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系， 构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在. 【训练 3】 在四棱锥 P－ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PD＝DC，E，F 分别 是 AB，PB 的中点. (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面 PAD 内是否存在一点 G，使 GF⊥平面 PCB？若存在，求出点 G 坐标；若不存在，试 说明理由. (1)证明　由题意知，DA，DC，DP 两两垂直. 如图，以 DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐 标系，设 AD＝a， 则 D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(a， a 2，0)， P(0，0，a)， F(a 2， a 2， a 2).EF→ ＝(－ a 2，0， a 2)，DC→ ＝(0，a，0). ∵EF→ ·DC→ ＝0，∴EF→ ⊥DC→ ，从而得 EF⊥CD. (2)解　假设存在满足条件的点 G， 设 G(x，0，z)，则FG→ ＝(x－ a 2，－ a 2，z－ a 2)， 若使 GF⊥平面 PCB，则由 FG→ ·CB→ ＝(x－ a 2，－ a 2，z－ a 2)·(a，0，0)＝a(x－ a 2 )＝0，得 x＝ a 2； 由FG→ ·CP→ ＝(x－ a 2，－ a 2，z－ a 2)·(0，－a，a) ＝ a2 2 ＋a(z－ a 2 )＝0，得 z＝0. ∴G 点坐标为(a 2，0，0)， 即存在满足条件的点 G，且点 G 为 AD 的中点. [思想方法] 1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方 法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的 难度，体现了由“形”转“数”的转化思想. 2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运 算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的 联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问 题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解 释相关问题. 3.用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：(1) 有三条两两垂直的直线；(2)有线面垂直；(3)有两面垂直. [易错防范] 1.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要 证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明 直线 a∥b，只需证明向量 a＝λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证 明线面平行，仍需强调直线在平面外. 2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等 来确定点的坐标.