数学卷·2018届吉林省松原市乾安七中高二下学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版） 19页

‎2016-2017学年吉林省松原市乾安七中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（　　）‎ A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 ‎3．三角形的面积为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（　　）‎ A．‎ B．‎ C．（S1，S2，S3，S4分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内接球的半径）‎ D．‎ ‎4．下面四个命题 ‎（1）0比﹣i大；‎ ‎（2）两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；‎ ‎（3）x+yi=l+i的充要条件为x=y=1；‎ ‎（4）如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．‎ 其中正确的命题个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．若A+B=π，且A+B≠kπ+（k∈Z），则（1+tanA）（1+tanB）的值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎6．如图是一个程序框图的一部分，若开始输入的数字为t=10，则输出的结果是（　　）‎ A．20 B．50 C．140 D．150‎ ‎7．a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若a∥M，b∥M，则a∥b；‎ ‎②若b⊂M，a∥b，则a∥M；‎ ‎③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；‎ ‎④若a⊥M，b⊥M，则a∥b．‎ 其中正确命题的个数有（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎8．复数的共轭复数等于（　　）‎ A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i ‎9．对两个变量进行回归分析，则下列说法中不正确的是（　　）‎ A．有样本数据得到的回归方程=x+必经过样本中心（，）‎ B．残差平方和越大，模型的拟合效果越好 C．用R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好 D．若散点图中的样本呈条状分布，则变量y和x之间具有线性相关关系 ‎10．已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．3‎ ‎11．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（　　）‎ A．a，b，c，d中至少有一个正数 B．a，b，c，d全为正数 C．a，b，c，d全都大于等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数 ‎12．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第7行第4个数（从左往右数）为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．设z=1+i，则|﹣3|=　　．‎ ‎14．对于回归直线方程=4.75x+257，当x=28时，y的估计值为　　．‎ ‎15．定义运算=ad﹣bc，则符合条件=0的复数z为　　．‎ ‎16．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖　　块 ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．求证： +＜2．‎ ‎18．已知复数，若z2+az+b=1﹣i，‎ ‎（1）求z；‎ ‎（2）求实数a，b的值．‎ ‎19．如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：‎ ‎（1）直线EF∥面ACD；‎ ‎（2）平面EFC⊥面BCD．‎ ‎20．在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人，‎ ‎（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；‎ ‎（2）判断是否能有95%的把握说晕机与性别有关？‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎21．某种产品的广告费用支出x万元与销售额y万元之间有如下的对应数据：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎（1）画出上表数据的散点图；‎ ‎（2）根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎（3）据此估计广告费用为10万元时，所得的销售收入．（参考数值：，，）‎ ‎22．在数列{an}中，a1=1，an+1=．‎ ‎（Ⅰ）求a2，a3，a4‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．‎ ‎（Ⅲ）若数列bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省松原市乾安七中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．‎ ‎【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，‎ ‎∴复数z所对应的点为（﹣2，1），‎ 故选B ‎　‎ ‎2．“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（　　）‎ A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 ‎【考点】演绎推理的基本方法．‎ ‎【分析】用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，得到大前提．‎ ‎【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，‎ 大前提应该是结论成立的依据，‎ ‎∵由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，‎ ‎∴大前提一定是矩形的对角线相等，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．三角形的面积为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（　　）‎ A．‎ B．‎ C．（S1，S2，S3，S4分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内接球的半径）‎ D．‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．‎ ‎【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，‎ 根据三角形的面积的求解方法：分割法，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，‎ ‎∴，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．下面四个命题 ‎（1）0比﹣i大；‎ ‎（2）两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；‎ ‎（3）x+yi=l+i的充要条件为x=y=1；‎ ‎（4）如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．‎ 其中正确的命题个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】复数的基本概念．‎ ‎【分析】‎ 虚数不能比较大小，（1）不正确；两个复数的和为实数不一定是共轭复数，（2）不正确；‎ x、y不一定是实数，（3）不正确；当 a=0时，没有纯虚数和它对应（4）不正确．‎ ‎【解答】解：（1）0比﹣i大，实数与虚数不能比较大小；‎ ‎（2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；‎ ‎（3）x+yi=1+i的充要条件为 x=y=1是错误的，因为没有表明 x，y是否是实数；‎ ‎（4）当 a=0时，没有纯虚数和它对应．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．若A+B=π，且A+B≠kπ+（k∈Z），则（1+tanA）（1+tanB）的值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】由条件利用两角和的正切公式可得 tan（A+B）==1，即tanA+tanB=1﹣tanA•tanB，代入要求的式子化简可得结果．‎ ‎【解答】解：∵A+B=π，∴tan（A+B）==1，∴tanA+tanB=1﹣tanA•tanB．‎ 则（1+tanA）（1+tanB）=1+tanA+tanB+tanA•tanB=1+（1﹣tanA•tanB ）+tanA•tanB=2，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．如图是一个程序框图的一部分，若开始输入的数字为t=10，则输出的结果是（　　）‎ A．20 B．50 C．140 D．150‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x的值，并输出．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．‎ ‎【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：‎ t a 是否继续循环 循环前 10 20‎ 第一圈 20 50 是 第二圈 50 140 否 故最后输出的a值为140．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若a∥M，b∥M，则a∥b；‎ ‎②若b⊂M，a∥b，则a∥M；‎ ‎③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；‎ ‎④若a⊥M，b⊥M，则a∥b．‎ 其中正确命题的个数有（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】对于四个命题：①，由空间两直线的判定定理可得；④，由线面垂直的性质定理可得；‎ ‎②，可由线面平行的判定定理判定；③，可由空间两条直线的位置关系及线 ‎ 线平行的判定判断．‎ ‎【解答】解：对于①，可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；‎ ‎ 对于④，可以翻译为：垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理，正确；‎ ‎ 对于③，可以翻译为：垂直于同一直线的两直线平行，在平面内成立，在空间还有相交、异面两种情况，错误；‎ ‎ 对于②，若b⊂M，a∥b，若a⊂M，则a∥M不成立，故错误．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．复数的共轭复数等于（　　）‎ A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．‎ ‎【解答】解： =，‎ ‎∴复数的共轭复数等于2﹣i．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．对两个变量进行回归分析，则下列说法中不正确的是（　　）‎ A．有样本数据得到的回归方程=x+必经过样本中心（，）‎ B．残差平方和越大，模型的拟合效果越好 C．用R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好 D．若散点图中的样本呈条状分布，则变量y和x之间具有线性相关关系 ‎【考点】回归分析．‎ ‎【分析】线性回归方程一定过样本中心点，在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强．‎ ‎【解答】解：样本中心点在直线上，故A正确，‎ 残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B不正确，‎ R2越大拟合效果越好，故C不正确，‎ 当散点图中的样本呈条状分布，表示两个变量具有线性相关关系，正确，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．3‎ ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离．‎ ‎【解答】解：∵|z|=2，则复数z对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，‎ 而|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，‎ ‎∴其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离，‎ 最大的距离为3．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（　　）‎ A．a，b，c，d中至少有一个正数 B．a，b，c，d全为正数 C．a，b，c，d全都大于等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数 ‎【考点】反证法．‎ ‎【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．‎ ‎【解答】解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，‎ 由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥‎ ‎2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第7行第4个数（从左往右数）为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】根据每个数是它下一行左右相邻两数的和，先求出第5，6，7三行的第2个数，再求出6，7两行的第3个数，求出第7行的第4个数．‎ ‎【解答】解：设第n行第m个数为a（n，m），‎ 由题意知a（6，1）=，，‎ ‎∴a（7，2）=a（6，1）﹣a（7，1）=﹣=，‎ a（6，2）=a（5，1）﹣a（6，1）==，‎ a（7，3）=a（6，2）﹣a（7，2）==，‎ a（6，3）=a（5，2）﹣a（6，2）==，‎ ‎∴a（7，4）=a（6，3）﹣a（7，3）==．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．设z=1+i，则|﹣3|=　　．‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：|﹣3|=|1﹣i﹣3|=|2+i|==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．对于回归直线方程=4.75x+257，当x=28时，y的估计值为　390　．‎ ‎【考点】回归分析的初步应用．‎ ‎【分析】根据所给的线性回归方程，把x的值代入线性回归方程，得到对应的y的值，这里所得的y的值是一个估计值．‎ ‎【解答】解：∵回归方程．‎ ‎∴当x=28时，y的估计值是4.75×28+257=390‎ 故答案为：390‎ ‎　‎ ‎15．定义运算=ad﹣bc，则符合条件=0的复数z为　2﹣i　．‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】由=0，转化为z（1+i）﹣（1﹣i）（1+2i）=0，再利用复数的运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解：∵=0，‎ ‎∴z（1+i）﹣（1﹣i）（1+2i）=0，‎ ‎∴z（1+i）（1﹣i）﹣（1﹣i）（1﹣i）（1+2i）=0，‎ 化为：2z=4﹣2i，‎ ‎∴z=2﹣i．‎ 故答案为：2﹣i．‎ ‎　‎ ‎16．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖　4n+2　块 ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．‎ ‎【解答】解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…‎ 设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{an}表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…‎ 可知数列{an}是以6为首项，4为公差的等差数列，∴an=6+4（n﹣1）=4n+2．‎ 故答案为4n+2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．求证： +＜2．‎ ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】直接法不易求证，可用分析法进行证明．‎ ‎【解答】证：∵和都是正数，‎ 若证 只需证： ‎ 整理得：‎ 即证：21＜25‎ ‎∵21＜25当然成立 ‎∴原不等式成立 ‎　‎ ‎18．已知复数，若z2+az+b=1﹣i，‎ ‎（1）求z；‎ ‎（2）求实数a，b的值．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．‎ ‎【分析】（1）（1﹣i）2=1﹣2i+i2=﹣2i，再由复数除法知识，分子分母同乘以2+i，化简整理即可．‎ ‎（2）把Z=1+i代入z2+az+b=1﹣i，整理成x+yi形式，由复数相等知识实部、虚部分别相等，列方程组求解．‎ ‎【解答】解：（1），‎ ‎（2）把Z=1+i代入z2+az+b=1﹣i，即（1+i）2+a（1+i）+b=1﹣i，‎ 得a+b+（2+a）i=1﹣i．‎ 所以 解得a=﹣3；b=4‎ 所以实数a，b的值分别为﹣3，4‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：‎ ‎（1）直线EF∥面ACD；‎ ‎（2）平面EFC⊥面BCD．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；‎ ‎（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．‎ ‎【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．‎ ‎∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，‎ ‎∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；‎ ‎（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，‎ ‎∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD 又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，‎ ‎∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD ‎　‎ ‎20．在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人，‎ ‎（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；‎ ‎（2）判断是否能有95%的把握说晕机与性别有关？‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【考点】独立性检验的应用；线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）根据题意，填写列联表即可；‎ ‎（2）计算临界值，对照观测值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）填写2×2列联表如下：‎ 晕机 不晕机 合计 男乘客 ‎28‎ ‎28‎ ‎56‎ 女乘客 ‎28‎ ‎56‎ ‎84‎ 合计 ‎56‎ ‎84‎ ‎140‎ ‎…‎ ‎（2）假设是否晕机与性别无关，‎ 则k2的观测值，…‎ 所以，有95%的把握认为是否晕机与性别有关；…‎ ‎　‎ ‎21．某种产品的广告费用支出x万元与销售额y万元之间有如下的对应数据：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎（1）画出上表数据的散点图；‎ ‎（2）根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎（3）据此估计广告费用为10万元时，所得的销售收入．（参考数值：，，）‎ ‎【考点】回归分析的初步应用；线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）根据表中所给的三个点的坐标，在坐标系中描出点，得到散点图．‎ ‎（2）先做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的数据，写出线性回归方程的系数，求出a的值，写出线性回归方程．‎ ‎（3）把广告费用的值代入线性回归方程，预报出函数的值，求出的值是一个估计值，不是发生一定会出现的值．‎ ‎【解答】解：（1）根据表中所给的三个点的坐标，在坐标系中描出点，得到散点图．‎ ‎（2），‎ 因此回归直线方程为；‎ ‎（3）当x=10时，‎ 预报y的值为y=8.5×10+1.5=86.5．‎ 故广告费用为10万元时，所得的销售收入大约为86.5万元 ‎　‎ ‎22．在数列{an}中，a1=1，an+1=．‎ ‎（Ⅰ）求a2，a3，a4‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．‎ ‎（Ⅲ）若数列bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由递推式，运用代入法，计算可得所求值；‎ ‎（Ⅱ）an+1=，取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知：bn===2[﹣]，运用裂项相消求和公式，化简整理即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，an+1=，‎ ‎∴a2==，a3==，a4==．‎ ‎（Ⅱ）an+1=，取倒数可得=+，‎ 可得{}为首项为1，公差为的等差数列，‎ 即有=1+（n﹣1）=，‎ 即为an=；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知：bn===2[﹣]，‎ 从而sn=b1+b2+…+bn ‎=2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2[1﹣]=‎