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- 2021-06-30 发布
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广东省五校协作体2018届高三第一次联考试卷
理科数学
命题学校:广州市真光中学 命题: 审题: 2018.1
本试卷共5页,23小题, 满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2.作答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。写在本试卷上无效。
3.第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U=N,集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中的阴影部分表示的集合为( )
A.{2} B.{4,6} C.{1,3,5} D.{2,4,6}
2.已知i是虚数单位,复数z满足(i﹣1)z=i,则z的虚部是( )
A. B. C. D.
3. 已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF=( )
A.45° B.30° C.15° D.60°
4.在区间上任选两个数x和y,则y<sinx的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知,函数y=f(x+φ)的图象关于直线x=0对称,则φ的值可以是( )
A. B. C. D.
6.一块硬质材料的三视图如图所示,正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形,将该木料切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径最接近( )
A.3cm B. 4cm C.5cm D.6cm
7.执行如图所示的程序框图,若输入x=20,则输出的y的值为( )
A.2 B.﹣1 C.﹣ D.﹣
8.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或2条
9.已知实数x,y满足,则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
10.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0),过其左焦点F作x轴的垂线,交双曲线于A,B两点,若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,) B.(1,2) C.(,+∞) D.(2,+∞)
11.关于曲线C:给出下列四个命题:
(1)曲线C有两条对称轴,一个对称中心
(2)曲线C上的点到原点距离的最小值为1
(3)曲线C的长度满足
(4)曲线C所围成图形的面积S满足
上述命题正确的个数是
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=,函数g(x)=x3+3x2+m.若对任意s∈[﹣4,﹣2),存在t∈[﹣4,﹣2),不等式f(s)﹣g(t)≥0成立,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣12] B.(﹣∞,14] C.(﹣∞,﹣8] D.(﹣∞,]
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13. 在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大,则展开式中含x2项的系数是 .
14.已知=(,),||=1,|+2|=2,则在方向上的投影为 .
15.两所学校分别有2名,3名学生获奖,这5名学生要排成一排合影,则存在同校学生排在一起的概率为 .
16.已知数列满足:为正整数,,如果=1,则
= .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题,考生根据要求做答.
(一)必考题:共60分.
17.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin A=(b-c)sin B+(c-b)sin C.
(1)求角A的大小;
(2)若a=,cos B=,D为AC的中点,求BD的长.
18.如图,在四棱锥E﹣ABCD中,△ABD是正三角形,△BCD是等腰三角形,∠BCD=120°,EC⊥BD.
(1)求证:BE=DE;
(2)若AB=2,AE=3,平面EBD⊥平面ABCD,直线AE与平面ABD所成的角为45°,求二面角B﹣AE﹣D的余弦值.
19.据某市地产数据研究院的数据显示,2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示,为抑制房价过快上涨,政府从8月份采取宏观调控措施,10月份开始房价得到很好的抑制.
(1)地产数据研究院研究发现,3月至7月的各月均价y(万元/平方米)与月份x之间具有较强的线性相关关系,试建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01),政府若不调控,依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价;
(2)地产数据研究院在2016年的12个月份中,随机抽取三个月份的数据作样本分析,若关注所抽三个月份的所属季度,记不同季度的个数为X,求X的分布列和数学期望.
参考数据: =25, =5.36, =0.64(说明:以上数据为3月至7月的数据)
回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
=, =﹣.
20.已知椭圆E: +=1(a>b>0)的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合,椭圆E的离心率为,过点M (m,0)(m>)作斜率不为0的直线l,交椭圆E于A,B两点,点P(,0),且•为定值.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求△OAB面积的最大值.
21.已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数.
(1)当a=﹣1时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为﹣3,求a的值;
(3)设g(x)=xf(x),若a>0,对于任意的两个正实数x1,x2(x1≠x2),证明:2g()<g(x1)+g(x2).
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在以原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆C的方程为ρ=6sinθ.
(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;
(2)设点P(3,4),直线l与圆C相交于A,B两点,求+的值.
23.已知函数f(x)=|x﹣2|+|2x+1|.
(1)解不等式f(x)>5;
(2)若关于x的方程=a的解集为空集,求实数a的取值范围.
广东省五校协作体2018届高三第一次联考
理科数学参考答案及评分细则
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
C
D
A
D
C
C
B
D
C
二、填空题:每题5分,满分20分.
13. 14. 15. 16.
三、解答题:满分70分.
17.(1)因为asin A=(b-c)sin B+(c-b)·sin C,
由正弦定理得a2=(b-c)b+(c-b)c, ………(1分)
整理得a2=b2+c2-2bc, ……………(2分)
由余弦定理得cos A===, ……………(4分)
因为A∈(0,π),所以A=. ……………(5分)
(2)由cos B=,得sin B===, ……………(6分)
所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-=-,……8分
由正弦定理得b===2, ………(9分)
所以CD=AC=1, ………………………(10分)
在△BCD中,由余弦定理得BD2=()2+12-2×1××=13,…(11分)
所以BD=. ………(12分)
18.证明:(Ⅰ)取BD中点O,连结CO,EO,
∵△BCD是等腰三角形,∠BCD=120°,∴CB=CD,∴CO⊥BD,………………………(2分)
又∵EC⊥BD,EC∩CO=C,∴BD⊥平面EOC,∴EO⊥BD, ………………………(4分)
在△BDE中,∵O为BD的中点,∴BE=DE. ………(5分)
(Ⅱ)∵平面EBD⊥平面ABCD,平面EBD∩平面ABCD=BD,
EO⊥BD,∴EO⊥平面ABCD, ……… (6分)
又∵CO⊥BD,AO⊥BD,
∴A,O,C三点共线,AC⊥BD,
以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系,
在正△ABCD中,AB=2,∴AO=3,BO=DO=, ………(7分)
∵直线AE与平面ABD所成角为45°,∴EO=AO=3, ………(8分)
A(3,0,0),B(0,,0),D(0,﹣,0),E(0,0,3),
=(﹣3,,0),=(﹣3,﹣,0),=(﹣3,0,3), ………(9分)
设平面ABE的法向量=(a,b,c),
则,取a=1,得=(1,,1), ………(10分)
设平面ADE的法向量=(x,y,z),
则,取x=1,得=(1,﹣,1), ………(11分)
设二面角B﹣AE﹣D为θ,
则cosθ===.
∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值为. ………(12分)
19.解:(Ⅰ)由题意
月份x
3
4
5
6
7
均价y
0.95
0.98
1.11
1.12
1.20
=5, =1.072, ………(1分)
=10, ………(2分)
∴==0.064, ………(3分)
=﹣=0.752,………(4分)
∴从3月到6月,y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75,………(5分)
x=12时,y=1.47.即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米;(6分)
(Ⅱ)X的取值为1,2,3, ………(7分)
P(X=1)==,P(X=3)==,P(X=2)=1﹣P(X=1)﹣P(X=3)=, ………(10分)
X的分布列为
X
1
2
3
P
………(11分)
E(X)=1×+2×+3×=.………(12分)
20.解:(Ⅰ)设F1(﹣c,0),
∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为(﹣1,0),且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合,∴c=1, ………(1分)
又椭圆E的离心率为,得a=, ………(2分)
于是有b2=a2﹣c2=1.
故椭圆Γ的标准方程为:. ………(3分)
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为:x=ty+m,
由整理得(t2+2)y2+2tmy+m2﹣2=0 ………(4分)
, ………(5分)
,
=
=(t2+1)y1y2+(tm﹣t)(y1+y2)+m2﹣
=. ………(7分)
要使•为定值,则,解得m=1或m=(舍)………(8分)
当m=1时,|AB|=|y1﹣y2|=, ………(9分)
点O到直线AB的距离d=, ………(10分)
△OAB面积s==.………(11分)
∴当t=0,△OAB面积的最大值为,………(12分)
21.解:(1)易知f(x)定义域为(0,+∞),
当a=﹣1时,f(x)=﹣x+lnx,,………(1分)
令f′(x)=0,得x=1.
当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0,
∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.………(2分)
f(x)max=f(1)=﹣1.
∴函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为﹣1,………(3分)
(2)∵.………(4分)
①若,则f′(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上是增函数,
∴f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合题意,………(5分)
②若,则由,即
由,即,
从而f(x)在(0,﹣)上增函数,在(﹣,e]为减函数………(6分)
∴
令,则,
∴a=﹣e2, ………(7分)
(3)证明:∵g(x)=xf(x)=ax2+xlnx,x>0
∴,………(8分)
∴g′(x)为增函数,不妨令x2>x1
令,………(9分)
∴,
∵,
∴………(10分)
而h(x1)=0,知x>x1时,h(x)>0
故h(x2)>0,
即………(12分)
[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]
22.解:(Ⅰ)由直线l的参数方程为(t为参数),得直线l的普通方程为x+y﹣7=0.(2分)
又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+(y﹣3)2=9;……… (5分)
(Ⅱ)把直线l的参数方程(t为参数),代入圆C的直角坐标方程,
得,设t1、t2是上述方程的两实数根,……… (7分)
所以t1+t2=2,t1t2=1,……… (8分)
∴t1>0,t2>0,所以+ = . ……… (10分)
[选修4-5:不等式选讲]
23.解:(Ⅰ)解不等式|x﹣2|+|2x+1|>5,………(1分)
x≥2时,x﹣2+2x+1>5,解得:x>2;………(2分)
﹣<x<2时,2﹣x+2x+1>5,无解,………(3分)
x≤﹣时,2﹣x﹣2x﹣1>5,解得:x<﹣,………(4分)
故不等式的解集是(﹣∞,﹣)∪(2,+∞);………(5分)
(Ⅱ)f(x)=|x﹣2|+|2x+1|=,………(7分)
故f(x)的最小值是,所以函数f(x)的值域为[,+∞),………(8分)
从而f(x)﹣4的取值范围是[﹣,+∞),
进而的取值范围是(﹣∞,﹣]∪(0,+∞).………(9分)
根据已知关于x的方程=a的解集为空集,
所以实数a的取值范围是(﹣,0]. ………(10分)