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  • 2021-06-30 发布

内蒙古赤峰市2020届高三上学期期末考试文科数学试题

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‎2020年赤峰市高三期末考试试卷 文科数学 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生先将自己的姓名,准考证号码填写清楚,将条形码粘贴在条形码区域内.‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚.‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效.‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须黑色字迹的签字笔描黑.‎ ‎5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的 ‎1.设集合,,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由题得=={0,1,2},所以A∩B={0,1,2}.故选B.‎ ‎2.设复数满足,为虚数单位,则下列说法正确的是( ).‎ A. B. 的虚部是 C. 在复平面内所对应的点为 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简,然后逐一核对四个选项得答案.‎ ‎【详解】复数满足,‎ 则,‎ ‎,故选项A错误;‎ 的虚部是1,故选项B错误;‎ 在复平面内所对应的点为,故选项C正确;‎ ‎,故选项D错误;‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的相关概念、几何性质、乘除运算,属于基础题.‎ ‎3.设函数,则下列结论正确的是( ).‎ A. 的最小正周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 一个零点为 D. 在,上单调递减 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用公式将函数化简,根据正弦函数图象和性质逐一判断即可.‎ ‎【详解】函数,‎ 最小正周期为,故A不正确;‎ ‎,所以的图像不关于直线对称,故B不正确;‎ ‎,,所以的一个零点为,故C正确;‎ 当时,,而在单调递增,所以D不正确.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的图象和相关性质,考查计算求解与数形结合能力,属于基础题.‎ ‎4.函数的图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 确定函数在定义域内的单调性,计算时的函数值可排除三个选项.‎ ‎【详解】时,函数为减函数,排除B,时,函数也是减函数,排除D,又时,,排除C,只有A可满足.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象,可通过解析式研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性等等排除,可通过特殊的函数值,函数值的正负,函数值的变化趋势排除,最后剩下的一个即为正确选项.‎ ‎5.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,…,599,600从中抽取60个样本,如下提供随机数表的第4行到第6行:‎ ‎32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42‎ ‎84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04‎ ‎32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 54 78 32 45 77 89 23 45‎ 若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据,则得到的第6个样本编号( ).‎ A. 478 B. ‎324 ‎C. 535 D. 522‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可.‎ ‎【详解】第6行第6列的数开始的数为808,不合适,436,‎ ‎789不合适,535,577,348,994不合适,837不合适,‎ ‎522,535重复不合适,478合适,‎ 则满足条件的6个编号为436,535,577,348,522,478,‎ 则第6个编号为478,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查简单随机抽样,随机数表法抽样的具体操作步骤,属于基础题.‎ ‎6.对于直线和平面,能得出的一组条件是( )‎ A. ,, B. ,,‎ C. ,, D. ,,‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间直线与平面,平面与平面的关系对四个选项分别进行判断,得到答案.‎ ‎【详解】A选项中,根据,,,得到或,所以A错误;‎ B选项中,,,,不一定得到,所以B错误;‎ C选项中,因为,,所以.‎ 又,从而得到,所以C正确;‎ D选项中,根据,,所以,而,所以得到,所以D错误.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查空间中线面关系有关命题的判断,面面关系有关命题的判断,属于简单题.‎ ‎7.已知π为圆周率,e为自然对数的底数,则 A. < B. π<3 C. > D. π>3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可得出.‎ ‎【详解】对于A:函数y=xe是(0,+∞)上的增函数,A错;‎ 对于B:π3e﹣2<3πe﹣2⇔3e﹣3<πe﹣3,而函数y=xe﹣3是(0,+∞)上的减函数,B错;‎ 对于C:,而函数y=logex是(0,+∞)上的 增函数,C错,‎ 对于D:,D正确;‎ 故答案为:D.‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎8.已知三点,,,则的外接圆的圆心到原点的距离为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用外接圆的性质,求出圆心坐标,再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论.‎ ‎【详解】因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上,即直线x=2上,‎ 可设圆心P(2,p),由PA=PB得 ‎|p|=,‎ 得p=‎ 圆心坐标为P(2,),‎ 所以圆心到原点的距离|OP|=,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查三角形外接圆性质,已知坐标求圆心坐标可设未知数,建立方程解出未知数即可,考查计算能力,属于简单题.‎ ‎9.已知双曲线与双曲线有公共的渐近线,且经过点,则双曲线的离心率为( ).‎ A. B. C. 4 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线与双曲线有公共的渐近线,设双曲线C的方程,其中λ≠0,又因为点在双曲线上,再代入点P的坐标即可得到双曲线C的方程,然后求解焦距即可.‎ ‎【详解】双曲线与双曲线有公共的渐近线,‎ 设双曲线C的方程,其中λ≠0,‎ ‎∵点在双曲线上,‎ ‎∴,解之得,‎ 因此双曲线方程为,‎ 故离心率为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的性质及离心率,根据题意列出未知数,解出a,b,c即可求得离心率,属于中等题.‎ ‎10.在中,,,为的中点,,则等于( ).‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,可求面积,根据面积公式可得,再利用余弦定理可求.‎ ‎【详解】在中,,,‎ 为的中点,,‎ ‎∴,‎ 又,‎ 可得,‎ 由余弦定理可得:‎ ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形问题,根据题目的边角关系代入正弦或者余弦定理即可,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎11.已知向量,满足,,则的取值范围是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量三角不等式,可得,从而得取值范围.‎ ‎【详解】根据向量三角不等式,‎ ‎∴,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的性质与向量三角不等式,属于基础题.‎ ‎12.如图,棱长为1的正方体中,是线段上的动点,则下列结论正确的是( ).‎ ‎①异面直线与所成的角为 ‎②‎ ‎③三棱锥的体积为定值 ‎④的最小值为2.‎ A. ①②③ B. ①②④ C. ③④ D. ②③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据异面直线所成的角的定义即可判断;‎ ‎②由线面垂直的性质即可判断;‎ ‎③先求得M到平面DCC1D1的距离再利用锥体体积公式求解;‎ ‎④将问题转化为平面图形中线段AD1的长度,利用余弦定理解三角形解得即可判断.‎ ‎【详解】①∵∥BC,‎ ‎∴异面直线与所成的角即为BC与所成的角,‎ 可得夹角为,故①正确;‎ ‎②连接,‎ ‎∵平面A1BCD1,‎ 平面A1BCD1,‎ ‎∴,‎ 故②正确;‎ ‎③∵∥平面DCC1D1,‎ ‎∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1,‎ 又△DCC1的面积为定值,‎ 因此三棱锥M−DCC1的体积为定值,‎ 故③正确;‎ ‎④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形,线段AD1即为AP+PD1的最小值,‎ 在△D‎1A1A中,∠D‎1A1A=135°,‎ 利用余弦定理解三角形得,‎ 故④不正确.‎ 因此只有①②③正确.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,涉及空间位置关系及数量关系,综合性强,考查空间推理能力,属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13.如图所示,在边长为2的正方形中随机撒1500粒豆子,有300粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概型的概率意义,即可得到结论.‎ ‎【详解】正方形的面积S=4,设阴影部分的面积为,‎ ‎∵随机撒1500粒豆子,有300粒落到阴影部分,‎ ‎∴几何概型的概率公式进行估计得,‎ 即,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型的应用,求几何概型关键是找出几何度量之间的关系,常见几何度量有:长度、面积、体积等,属于基础题.‎ ‎14.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆窖周五丈四尺,深一丈八尺,问受粟几何?”其意思为:“有圆柱形容器,底面圆周长五丈四尺,高一丈八尺,求此容器能放多少斛米”(古制1丈=10尺,1斛=1.62立方尺,圆周率),则该圆柱形容器能放米______斛.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎,圆柱形容器体积为 ,所以此容器能装斛米. ‎ ‎15.现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目,有人称它为“世界第一运动”.早在2000多年前的春秋战国时代,就有了一种球类游戏“蹴鞠”,后来经过阿拉伯人传到欧洲,发展成现代足球.‎1863年10月26日,英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织——‎ 英国足球协会,并统一了足球规则.人们称这一天是现代足球的诞生日.如图所示,足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的,我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面,任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱.已知足球表面中的正六边形的面为20个,则该足球表面中的正五边形的面为______个,该足球表面的棱为______条.‎ ‎【答案】 (1). 12 (2). 90‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题目分析,可设这个足球有正五边形皮子x块,则根据题意可得等量关系式:正六边形的块数×3=正五边形的块数×5,由此可以解出正五边形个数,根据两条边组成一条棱,因此可求棱的条数.‎ ‎【详解】足球每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起;‎ 每块白色皮子的6条边中,有3条边与黑色皮子的边缝在一起,‎ 另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起.‎ 所以设这个足球有x块正五边形,一共有5x条边,其中白皮三条边和黑皮相连,‎ 又足球表面中的正六边形的面为20个,‎ 根据题意可得方程:,‎ 解得,‎ 该足球表面中的正五边形的面为12个;‎ 因为任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱,‎ 所以每条棱由两条边组成,‎ 该足球表面的棱为:条.‎ 故答案为:12;90.‎ ‎【点睛】本题考查列方程解含有未知数的应用题,考查想象能力与转化能力,属于中等题.‎ ‎16.已知函数的图像上存在两点关于轴对称,则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设对称两点坐标为,,代入则有,两边各构造函数,将此方程有解,转化为令,,两函数有交点,求导,利用数形结合即可解答.‎ ‎【详解】由已知函数的图像上存在两点关于轴对称,‎ 设对称两点坐标为,,‎ 则有,此方程有解,‎ 即,‎ 令,,‎ 即需满足时与有交点,‎ ‎,‎ 则恒成立,‎ 处单调递增,‎ ‎,‎ 只需即可,‎ 即,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的综合应用,根据条件求参数的取值范围,一般根据条件运用转化思想,转化为方程有解或者函数图像有交点问题,再利用数形结合求交点即可,属于较难题.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22~23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题 ‎17.如图,在四棱锥中,平面,是平行四边形,,、交于点,是上一点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)已知,若为的中点,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)要证,根据条件只需先证明平面,又平面,得证;‎ ‎(2)由(1)知平面,所以转化为求解即可.‎ ‎【详解】(1)∵平面,平面,‎ ‎∴.‎ 又∵为菱形,∴.‎ 又,‎ ‎∴平面,平面,‎ ‎∴.‎ ‎(2)由(1)知平面,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明、棱锥体积的计算,需熟悉垂直判定定理及棱锥体积公式,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于简单题.‎ ‎18.已知数列满足,.‎ ‎(1)求证:为等比数列,并求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列是首项为1,公差为3的等差数列,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)见解析,(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知构造等比数列,可得,化简即为的通项.‎ ‎(2)由已知得,代入,可得,所以数列的前项和分别利用等差数列和等比数列求和公式即可求得.‎ ‎【详解】(1)由,得,‎ 即,‎ 又,‎ ‎∴是以为首项,公比为的等比数列.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(2)由已知得,‎ ‎∵,∴.‎ 所以数列的前项和为:‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的定义、等差、等比数列的求和公式以及已知数列的递推公式求通项,属于综合题.由数列的递推公式求通项常用的方法有:(1)等差数列、等比数列(先根据条件判定出数列是等差、等比数列);(2)累加法,相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式;(3)累乘法,相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项;(4)构造法,形如的递推数列求通项往往用构造法,利用待定系数法构造成的形式,再根据等比数例求出的通项,进而得出的通项公式.属于中等题.‎ ‎19.‎2017年3月18日,国务院办公厅发布了《生活垃圾分类制度实施方案》,我市环保部门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台参与,但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样,得到参与网络问卷调查的100人的得分(满分按100分计)数据,统计结果如下表.‎ 组别 女 ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎15‎ ‎21‎ ‎9‎ 男 ‎1‎ ‎4‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎(1)环保部门规定:问卷得分不低于70分的市民被称为“环保关注者”.请列出列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下,认为是否为“环保关注者”与性别有关?‎ ‎(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”.现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答,再从这5名市民中抽取2人参与座谈会,求抽取的2名市民中,既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率.‎ 附表及公式:,.‎ ‎【答案】(1)见解析,在犯错误的概率不超过的前提下,可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有关的.(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题目所给的数据可求2×2列联表即可;计算K的观测值K2,对照题目中的表格,得出统计结论;‎ ‎(2)利用列举法求得所有情况,根据古典概型可计算.‎ ‎【详解】(1)列联表如下:‎ 非“环保关注者”‎ ‎“环保关注者”‎ 合计 女 ‎10‎ ‎45‎ ‎55‎ 男 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算,得的观测值 ‎,‎ 所以在犯错误的概率不超过的前提下,可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有关的.‎ ‎(2)由题意可知,利用分层抽样的方法可得女“环保达人”3人,男“环保达人”2人.‎ 设女“环保达人”3人分别为,,;男“环保达人”2人为,.‎ 从中抽取两人的所有情况为:,,,,,,,,,,共l0种情况.‎ 既有女“环保达人”又有男“环保达人”的情况有,,,,,,共6种情况.‎ 故所求概率为.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验,相互独立事件的概率计算,考查计算能力,属于简单题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)求函数的极值;‎ ‎(2)若,证明:.‎ ‎【答案】(1) ,无极大值.(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数的求导,得,令导函数得0,可求极值点及极值;‎ ‎(2)由知,则1为极小值点,则, ,代入求出的最小值即可.‎ ‎【详解】(1)函数的定义域为,‎ 由,得,‎ 由得在上为增函数,‎ 由得在上为减函数,‎ 所以,,无极大值.‎ ‎(2)由知,则1为极小值点,‎ 由(1)知,则,∴,‎ 令,‎ 则,‎ ‎∵的图象在图象的上方,‎ ‎∴,‎ ‎∴,可得,‎ ‎,,‎ ‎∴在为减函数,在为增函数,‎ ‎∴,即.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用、利用导数证明不等式,通常需要对函数求导,研究其单调性和极值等,属于常考题型;利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数,根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,求解函数最值.属于中等题.‎ ‎21.已知为椭圆上的动点,轴于,为的中点,设点的轨迹为.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)若点,直线与曲线交于,两点,与椭圆交于,两点,问是否存在与无关实数,使得成立,若存在求出的值;若不存在请说明理由(,,,分别表示直线,,,的斜率).‎ ‎【答案】(1)(2)存在,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,,由题意得,又在椭圆上,代入得椭圆S方程即可得到曲线的方程.‎ ‎(2)根据题意,要使成立,只要成立即可,将及 表示出来,利用点在椭圆上,化简可得,,可得.‎ ‎【详解】(1)设,,由题意得,‎ 又在椭圆上,代入得,故曲线的方程为.‎ ‎(2)要使成立,只要成立即可,‎ 设,,,,‎ 又已知点,得,‎ ‎,‎ ‎∵在椭圆上,∴,‎ ‎∵在椭圆上,∴,‎ ‎,,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ 故存在与无关的实数,使得成立.‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程问题、直线与圆锥曲线综合问题,求轨迹方程,一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可,解决直线与椭圆的存在性综合问题时,一般设存在,代入等量关系求解,如果能出现定值则存在,考查综合分析及计算能力,属于难题.‎ ‎(二)选考题 ‎22.在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,以极点为原点,以极轴所在直线为轴建立直角坐标系,曲线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点,,为直线上任意一点,点在射线上运动,且.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)求点轨迹围成的面积.‎ ‎【答案】(1)(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据极坐标与平面直角坐标之间的关系即可求解.‎ ‎(2)由(1)知,,则可求直线的极坐标方程为,在极坐标系中,设,,则,点在直线上,代入与Q点关系即可得到Q的轨迹方程,化简并转化为直角坐标方程可得轨迹为圆,求圆面积即可.‎ ‎【详解】(1)∵,∴.‎ 由得,‎ ‎∴曲线的直角坐标方程.‎ ‎(2)由(1)知,,‎ 则直线的直角坐标方程为,‎ 极坐标方程为.‎ 在极坐标系中,设,,则.‎ ‎∵点在直线上,∴,‎ ‎∴,‎ 即,即.‎ ‎∴点轨迹的直角坐标方程为,‎ 即,‎ ‎∴点的轨迹为半径为的圆,圆的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程,求轨迹方程问题,考察转化与化归思想,属于中等题.‎ ‎23.设函数,,存在实数,使得成立.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若,,且满足,求证:.‎ ‎【答案】(1)(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先根据题意解出,再把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.‎ ‎(2)由条件和(1)求出,再把不等式的左边利用极值定理解出极小值,不等式得证.‎ ‎【详解】(1)由已知得,‎ 又∵,∴,‎ ‎∴等价于 或或,‎ 解得或或,‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎(2)由(1)知,‎ ‎∵,,∴,即,‎ ‎∴.‎ 所以当且仅当时等号成立,即,时等号成立.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法:(1)数形结合:利用绝对值不等式的几何意义[即(x,0)到(a,0)与(b,0)的距离之和]求解.(2)分类讨论:利用“零点分段法”求解.(3)构造函数:利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.本题属于中等题.‎