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2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二(上)12月月考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.在空间中,设m表示直线,α,β表示不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若α∥β,m∥α,则m∥β B.若α⊥β,m⊥α,则m∥β
C.若α⊥β,m∥α,则m⊥β D.若α∥β,m⊥α,则m⊥β
2.已知焦点在y轴上的椭圆方程为,则m的范围为( )
A.(4,7) B.(5.5,7) C.(7,+∞) D.(﹣∞,4)
3.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A. B. C.2 D.6
5.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点.则当底面ABC水平放置时,液面高为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.设命题甲:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R;命题乙:0<a<1,则命题甲是命题乙成立的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
7.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
8.若3a2+3b2﹣4c2=0,则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )
A. B.1 C. D.
9.直线x+a2y+1=0与直线(a2+1)x﹣by+3=0互相垂直,a,b∈R则|ab|的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.5
10.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E为CC1的中点,那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
11.给出下列四个命题:
①命题“∀x∈R,都有x2﹣x+1≥”的否定是“∃x∈R,使x2﹣x+1<”
②命题“设向量=(4sinα,3),=(2,3cosα),若∥,则α=的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2;
③集合A={x|x2﹣x=0},B={y|y=﹣lg(sinx)},C={y|y=}则x∈A是x∈B∩C的充分不必要条件.
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
12.已知F1、F2为椭圆的左、右焦点,若M为椭圆上一点,且△MF1F2的内切圆的周长等于3π,则满足条件的点M有
( )个.
A.0 B.1 C.2 D.4
二、填空题(每小题5分,共20分.把答案填在答卷中相应横线上)
13.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的 条件.
14.若直线2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心,则+的最小值是 .
15.已知O为坐标原点,F是椭圆C: =1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 .
16.在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AB=2,AA1=2,点A、B、C、D在球O的表面上,球O与BA1的另一个交点为E,与CD1的另一个交点为F,且AE⊥BA1,则球O的表面积为 .
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知公差为正数的等差数列{an}满足a1=1,2a1,a3﹣3,a4+5成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=(﹣1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
18.设函数f(x)=cos(x+π)+2cos2,x∈R.
(1)求f(x)的值域;
(2)记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a,b,c,若f(B)=1,b=1,c=,求a的值.
19.如图,已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.
(1)求O点到面ABC的距离;
(2)求二面角E﹣AB﹣C的正弦值.
20.已知椭圆E: +=1(a>b>0)的一个焦点为F1(﹣,0),而且过点H(,).
(1)求椭圆E的方程;
(2)设椭圆E的上下顶点分别为A1,A2,P是椭圆上异于A1,A2的任一点,直线PA1,PA2分别交x轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值,并求出该定值.
21.设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;
(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二(上)12月月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.在空间中,设m表示直线,α,β表示不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若α∥β,m∥α,则m∥β B.若α⊥β,m⊥α,则m∥β
C.若α⊥β,m∥α,则m⊥β D.若α∥β,m⊥α,则m⊥β
【考点】命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系.
【分析】利用直线与平面垂直的判定定理与线面平行的判断定理,平面与平面平行的判定与性质定理,对选项逐一判断即可.
【解答】解:若α∥β,m∥α,则m∥β或m⊂β,故A错误;
若α⊥β,m⊥α,则m∥β或m⊂β,故B错误;
若α⊥β,m∥α,则m与β可能平行,可能相交,也可能线在面内,故C错误;
若α∥β,m⊥α,根据两个平行的平面与同一直线的夹角相同,可得m⊥β,故D正确
故选D
2.已知焦点在y轴上的椭圆方程为,则m的范围为( )
A.(4,7) B.(5.5,7) C.(7,+∞) D.(﹣∞,4)
【考点】椭圆的标准方程.
【分析】利用椭圆焦点在y轴上,可得不等式,从而可求m的范围.
【解答】解:由题意,m﹣4>7﹣m>0,∴5.5<m<7
∴m的范围为(5.5,7)
故选B.
3.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【考点】椭圆的简单性质;等差数列的性质.
【分析】设出椭圆的标准方程,由题意结合等差中项的定义建立关于a、b、c的等式,结合b2=a2﹣c2消去b得到关于a、c的二次方程,解之可得c、a的比值,即得此椭圆的离心率.
【解答】解:设椭圆的方程为
∵椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,
∴2×2b=2c+2a,可得b=(a+c)
∵b2=a2﹣c2,
∴[(a+c)]2=a2﹣c2,化简得5c2+2ac﹣3a2=0
等式两边都除以a2,得5e2+2e﹣3=0,解之得e=(﹣1舍去)
即椭圆的离心率为
故选:C
4.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A. B. C.2 D.6
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】通过三视图判断几何体的形状,通过三视图的数据,求出几何体的体积即可.
【解答】解:由三视图可知,几何体是底面为直角梯形,一条侧棱垂直底面的四棱锥,
底面直角梯形的底边长分别为:2,1;高为2,
棱锥的高为:2;
所以棱锥的体积为: =2.
故选C.
5.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点.则当底面ABC水平放置时,液面高为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱的结构特征.
【分析】根据题意,当底面ABC水平放置时,水的形状为四棱柱形,由已知条件求出水的体积;当底面ABC水平放置时,水的形状为三棱柱形,设水面高为h,故水的体积可以用三角形的面积直接表示出,计算即可得答案.
【解答】解:根据题意,当侧面AA1B1B水平放置时,水的形状为四棱柱形,底面是梯形,
设△ABC的面积为S,则S梯形=S,
水的体积V水=S×AA1=6S,
当底面ABC水平放置时,水的形状为三棱柱形,设水面高为h,
则有V水=Sh=6S,
故h=6;
故选:C.
6.设命题甲:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R;命题乙:0<a<1,则命题甲是命题乙成立的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法.
【分析】利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系,注意不等式恒成立问题的处理方法.
【解答】解:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R
①a=0,则1>0恒成立
②a≠0,则,故0<a<1
由①②得0≤a<1.即命题甲⇔0≤a<1.因此甲推不出乙,而乙⇒甲,因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件.
故选B.
7.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
【考点】圆锥曲线的轨迹问题.
【分析】根据线段中垂线的性质可得,|MA|=|MQ|,又|MQ|+|MC|=半径5,故有|MC|+|MA|=5>|AC|
,根据椭圆的定义判断轨迹椭圆,求出a、b值,即得椭圆的标准方程.
【解答】解:由圆的方程可知,圆心C(﹣1,0),半径等于5,设点M的坐标为(x,y ),∵AQ的垂直平分线交CQ于M,
∴|MA|=|MQ|. 又|MQ|+|MC|=半径5,∴|MC|+|MA|=5>|AC|.依据椭圆的定义可得,
点M的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆,且 2a=5,c=1,∴b=,
故椭圆方程为 =1,即 .
故选D.
8.若3a2+3b2﹣4c2=0,则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )
A. B.1 C. D.
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】由已知中3a2+3b2﹣4c2=0,可以求出圆x2+y2=1的圆心(原点)到直线ax+by+c=0的距离,然后根据圆半径、弦心距、半弦长构造直角三角形,满足勾股定理,即可求出弦长.
【解答】解:∵3a2+3b2﹣4c2=0
∴a2+b2=c2
则圆x2+y2=1的圆心到直线ax+by+c=0的距离d==;
则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长l=2=1;
故选B.
9.直线x+a2y+1=0与直线(a2+1)x﹣by+3=0互相垂直,a,b∈R则|ab|
的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.5
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】由直线与直线互相垂直的性质得a2+1﹣a2b=0,从而|b|=||,进而|ab|=|a•|=|a+|,由此能求出|ab|的最小值.
【解答】解:∵直线x+a2y+1=0与直线(a2+1)x﹣by+3=0互相垂直,a,b∈R,
∴a2+1﹣a2b=0
∴|b|=||,
∴|ab|=|a•|=|a+|≥2
∴|ab|的最小值是2.
故选:B.
10.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E为CC1的中点,那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】由正方体的结构特征,我们取BC的中点F,连接EF,OF,BC1,可证得∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角,解△OEF即可得到答案.
【解答】解:取BC的中点F,连接EF,OF,BC1,如图所示:
∵E为CC1的中点,EF∥BC1∥AD1,
故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,
则在△OEF中,EF=,OE=
故cos∠OEF==
故选D
11.给出下列四个命题:
①命题“∀x∈R,都有x2﹣x+1≥”的否定是“∃x∈R,使x2﹣x+1<”
②命题“设向量=(4sinα,3),=(2,3cosα),若∥,则α=的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2;
③集合A={x|x2﹣x=0},B={y|y=﹣lg(sinx)},C={y|y=}则x∈A是x∈B∩C的充分不必要条件.
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】写出原命题的否定,可判断①;根据互为逆否的两个命题真假性相同,可判断②;根据充要条件的定义,可判断③.
【解答】解:①命题“∀x∈R,都有x2﹣x+1≥”的否定是“∃x∈R,使x2﹣x+1<”,故①正确;
②命题“设向量=(4sinα,3),=(2,3cosα),
若∥,则6sin2α﹣6=0,即sin2α=1,
故原命题若∥,则α=为假命题,其逆否命题假命题,
其逆命题、否命题为真命题,
故②正确;
③集合A={x|x2﹣x=0}={0,1},
B={y|y=﹣lg(sinx)}=[0,+∞),
C={y|y=}=[0,1],
故B∩C=[0,1],
则x∈A是x∈B∩C的充分不必要条件. 故③正确;
故选:D.
12.已知F1、F2为椭圆的左、右焦点,若M为椭圆上一点,且△MF1F2的内切圆的周长等于3π,则满足条件的点M有
( )个.
A.0 B.1 C.2 D.4
【考点】直线与圆锥曲线的关系.
【分析】设△MF1F2的内切圆的半径等于r,根据2πr=3π,求得 r 的值,由椭圆的定义可得 MF1 +MF2=2a,故△MF1F2的面积等于 ( MF1 +MF2+2c )r=8r,又△MF1F2的面积等于 2c yM=12,求出yM的值,可得答案.
【解答】解:设△MF1F2的内切圆的半径等于r,则由题意可得 2πr=3π,∴r=.
由椭圆的定义可得 MF1 +MF2=2a=10,又 2c=6,
∴△MF1F2的面积等于 ( MF1 +MF2+2c )r=8r=12.
又△MF1F2的面积等于 •2c•|yM|=12,∴|yM|=4,
故 M是椭圆的短轴顶点,故满足条件的点M有2个,
故选:C.
二、填空题(每小题5分,共20分.把答案填在答卷中相应横线上)
13.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的 充分不必要 条件.
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可.
【解答】解:若直线l1:ax+2y=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行,
则a(a+1)=2,即a2+a﹣2=0,解得:a=1或a=﹣2,
故“a=1”是“直线l1:ax+2y=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行“的充分不必要条件,
故答案为:充分不必要.
14.若直线2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心,则+的最小值是 4 .
【考点】基本不等式在最值问题中的应用;直线与圆的位置关系.
【分析】求出圆的圆心坐标,代入直线方程,得到ab关系式,然后通过”1“的代换利用基本不等式求解即可.
【解答】解:x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心(﹣1,2),
所以直线2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)经过圆心,可得:a+b=1,
+=(+)(a+b)=2+≥4,当且仅当a=b=.
+的最小值是:4.
故答案为:4.
15.已知O为坐标原点,F是椭圆C: =1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 .
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意可得F,A,B的坐标,设出直线AE的方程为y=k(x+
a),分别令x=﹣c,x=0,可得M,E的坐标,再由中点坐标公式可得H的坐标,运用三点共线的条件:斜率相等,结合离心率公式,即可得到所求值.
【解答】解:由题意可设F(﹣c,0),A(﹣a,0),B(a,0),
令x=﹣c,代入椭圆方程可得y=±,可得P(﹣c,±).
设直线AE的方程为y=k(x+a),
令x=﹣c,可得M(﹣c,k(a﹣c)),令x=0,可得E(0,ka),
设OE的中点为H,可得H(0,),
由B,H,M三点共线,可得kBH=kBM,即=,即为a=3c,
可得e==,
故答案为:.
16.在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AB=2,AA1=2,点A、B、C、D在球O的表面上,球O与BA1的另一个交点为E,与CD1的另一个交点为F,且AE⊥BA1,则球O的表面积为 8π .
【考点】球的体积和表面积.
【分析】连结EF,DF,说明三棱柱ABE﹣DCF是球O的内接直三棱柱,求出球的半径,即可求解球的表面积.
【解答】解:连结EF,DF,易证得BCEF是矩形,
则三棱柱ABE﹣DCF是球O的内接直三棱柱,
∵AB=2,AA1=2,
∴tan∠ABA1=,即∠ABA1=60°,
又AE⊥BA1,
∴AE=,BE=1,
∴球O的半径R==,
球O表面积为:4πR2=4π=8π.
故答案为:8π.
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知公差为正数的等差数列{an}满足a1=1,2a1,a3﹣3,a4+5成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=(﹣1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)公差d为正数的等差数列{an}满足a1=1,2a1,a3﹣3,a4+5成等比数列.可得=2a1•(a4+5),即(2d﹣2)2=2(6+3d),解出即可得出.
(2)由(1)可得,对n分类讨论即可得出.
【解答】解:(1)公差d为正数的等差数列{an}满足a1=1,2a1,a3﹣3,a4+5成等比数列.
∴=2a1•(a4+5),即(2d﹣2)2=2(6+3d),化为:2d2﹣7d﹣4=0,d>0,解得d=4,∴an=4n﹣3.
(2)由(1)可得,
当n为偶数时,,
当n为奇数时,n+1为偶数,Tn=Tn+1﹣bn+1=2(n+1)﹣(4n+1)=﹣2n+1,
综上,.
18.设函数f(x)=cos(x+π)+2cos2,x∈R.
(1)求f(x)的值域;
(2)记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a,b,c,若f(B)=1,b=1,c=,求a的值.
【考点】正弦函数的定义域和值域;正弦定理;余弦定理.
【分析】(I)将f(x)=cos(x+π)+2化简,变形后可以用三角函数的有界性求值域.
(II)由f(B)=1 求出∠B,利用余弦定理建立关于a的方程求出a.
【解答】解:(I)f(x)=cos(x+π)+2
=cosxcosπ﹣sinxsinπ+cosx+1
=﹣cosx﹣sinx+cosx+1
=cosx﹣sinx+1
=sin(x+)+1
因此函数f(x)的值域为[0,2]
(II)由f(B)=1 得sin(B+)+1=1,即sin(B+)=0,即B+=0或π,B=或﹣
又B是三角形的内角,所以B=
由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB
即1=a2+3﹣3a,整理a2﹣3a+2=0
解得a=1或a=2
答:(I)函数f(x)的值域为[0,2]
(II)a=1或a=2
19.如图,已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.
(1)求O点到面ABC的距离;
(2)求二面角E﹣AB﹣C的正弦值.
【考点】用空间向量求平面间的夹角;点、线、面间的距离计算.
【分析】通过以O为原点,OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.利用点O到面ABC的距离公式d=,两个平面的法向量夹角公式=即可得出..
【解答】解:(1)以O为原点,OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
则A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0).
∴,.
设平面ABC的法向量为,
则,令x=1,则z=2,y=1,∴.
∴点O到面ABC的距离d===.
(2)=(2,﹣1,0).
设平面EAB的法向量为,则,
令a=1,得b=c=2,∴.
由(1)知平面ABC的法向量.
===.
∴==.
结合图形可知,二面角E﹣AB﹣C的正弦值是.
20.已知椭圆E: +=1(a>b>0)的一个焦点为F1(﹣,0),而且过点H(,).
(1)求椭圆E的方程;
(2)设椭圆E的上下顶点分别为A1,A2,P是椭圆上异于A1,A2的任一点,直线PA1,PA2分别交x轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值,并求出该定值.
【考点】圆与圆锥曲线的综合;椭圆的定义;椭圆的标准方程.
【分析】(Ⅰ)解法一:根据椭圆E:的一个交点为,过点,可得a2﹣b2=3,,联立即可求得椭圆E的方程;
解法二:椭圆的两个焦点分别为,利用椭圆的定义,可求椭圆E的方程;
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,﹣1),设P(x0,y0),求出,同
设圆G的圆心为,利用,即可得到线段OT的长度;
解法二:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,﹣1),设P(x0,y0),求出,,可得,由切割线定理可得线段OT的长度.
【解答】(Ⅰ)解法一:由题意,∵椭圆E:的一个交点为,
∴a2﹣b2=3,①
∵椭圆过点.
∴,②
①②解得a2=4,b2=1,
所以椭圆E的方程为.…
解法二:椭圆的两个焦点分别为,
由椭圆的定义可得,所以a=2,b2=1,
所以椭圆E的方程为.…
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,﹣1),设P(x0,y0),
直线PA1:,令y=0,得;
直线PA2:,令y=0,得;
设圆G的圆心为,
则r2=,
而,所以,所以,
所以|OT|=2,即线段OT的长度为定值2.…
解法二:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,﹣1),设P(x0,y0),
直线PA1:,令y=0,得;
直线PA2:,令y=0,得;
则,而,所以,
所以,由切割线定理得OT2=|OM|•|ON|=4
所以|OT|=2,即线段OT的长度为定值2.…
21.设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;
(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
【考点】直线与椭圆的位置关系;圆的一般方程.
【分析】(Ⅰ)求得圆A的圆心和半径,运用直线平行的性质和等腰三角形的性质,可得EB=ED,再由圆的定义和椭圆的定义,可得E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,求得a,b,c,即可得到所求轨迹方程;
(Ⅱ)设直线l:x=my+1,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,可得
|MN|,由PQ⊥l,设PQ:y=﹣m(x﹣1),求得A到PQ的距离,再由圆的弦长公式可得|PQ|,再由四边形的面积公式,化简整理,运用不等式的性质,即可得到所求范围.
【解答】解:(Ⅰ)证明:圆x2+y2+2x﹣15=0即为(x+1)2+y2=16,
可得圆心A(﹣1,0),半径r=4,
由BE∥AC,可得∠C=∠EBD,
由AC=AD,可得∠D=∠C,
即为∠D=∠EBD,即有EB=ED,
则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4,
故E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,
且有2a=4,即a=2,c=1,b==,
则点E的轨迹方程为+=1(y≠0);
(Ⅱ)椭圆C1: +=1,设直线l:x=my+1,
由PQ⊥l,设PQ:y=﹣m(x﹣1),
由可得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
可得y1+y2=﹣,y1y2=﹣,
则|MN|=•|y1﹣y2|=•
=•=12•,
A到PQ的距离为d==,
|PQ|=2=2=,
则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•
=24•=24,
当m=0时,S取得最小值12,又>0,可得S<24•=8,
即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12,8).