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- 2021-06-30 发布
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课时作业40 空间点、直线、平面之间的位置关系
[基础达标]
一、选择题
1.[2020·江西七校联考]已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( )
A.相交或平行 B.相交或异面
C.平行或异面 D.相交、平行或异面
解析:依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.
答案:D
2.若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是( )
A.b⊂α B.b∥α
C.b⊂α或b∥α D.b与α相交或b⊂α或b∥α
解析:b与α相交或b⊂α或b∥α都可以.
答案:D
3.
如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
A.A,M,O三点共线
B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O不共面
D.B,B1,O,M共面
解析:连接A1C1,AC(图略),则A1C1∥AC,
∴A1,C1,A,C四点共面,∴A1C⊂平面ACC1A1.
∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1,
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,
同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,
∴A,M,O三点共线.
答案:A
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4.[2020·河北张家口模拟]三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=AB,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析:
取BC的中点O,连接NO,AO,MN,因为B1C1綊BC,OB=BC,所以OB∥B1C1,OB=B1C1,因为M,N分别为A1B1,A1C1的中点,所以MN∥B1C1,MN=B1C1,所以MN綊OB,所以四边形MNOB是平行四边形,所以NO∥MB,所以∠ANO或其补角即为BM与AN所成角,不妨设AB=2,则有AO=,ON=BM=,AN=,在△ANO中,由余弦定理可得cos∠ANO===.故选C.
答案:C
5.[2020·陕西省高三质检]已知P是△ABC所在平面外的一点,M,N分别是AB,PC的中点.若MN=BC=4,PA=4,则异面直线PA与MN所成角的大小是( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析:
本题考查异面直线所成角,取AC中点为O,连接OM,ON,则易证OM綊BC,ON綊PA,所以∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角.由MN=BC=4,PA=4,得OM=BC=2,ON=AP=2,则cos∠ONM==,所以∠ONM=30°,即异面直线PA与MN
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所成角的大小是30°,故选A.
答案:A
二、填空题
6.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是________.
①P∈a,P∈α⇒a⊂α;
②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.
解析:当a∩α=P时,P∈a,P∈α,
但a⊄α,∴①错;
a∩β=P时,②错;
如图∵a∥b,P∈b,
∴P∉a,∴由直线a与点P确定唯一平面α,
又a∥b,由a与b确定唯一平面γ,
但γ经过直线a与点P,
∴γ与α重合,∴b⊂α,故③正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.
答案:③④
7.如图所示,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).
解析:图(1)中,直线GH∥MN;
图(2)中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;
图(3)中,连接MG,HN,GM∥HN,因此GH与MN共面;
图(4)中,G,M,N共面,
但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.
所以图(2),(4)中GH与MN异面.
答案:(2)(4)
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8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________.
解析:如图,连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,
故∠D1B1C(或其补角)即为所求,又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.
答案:60°
三、解答题
9.
如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F,求证:E,F,G,H四点必定共线.
证明:因为AB∥CD,
所以AB,CD确定一个平面β.
又因为AB∩α=E,AB⊂β,所以E∈α,E∈β,
即E为平面α与β的一个公共点.
同理可证F,G,H均为平面α与β的公共点,
因为若两个平面有公共点,那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线,所以E,F,G,H四点必定共线.
10.[2020·福建四地六校联考]已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M、N分别是BC、AD的中点,求异面直线AB与MN所成角的大小.
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解析:如图,取AC的中点P,连接PM,PN,则PM∥AB,且PM=AB,PN∥CD,且PN=CD.
∴∠MPN或其补角为AB与CD所成的角,则∠MPN=60°或∠MPN=120°,
∵PM∥AB,
∴∠PMN或其补角是AB与MN所成的角,
∵AB=CD,∴PM=PN,
若∠PMN=60°,
则△PMN是等边三角形,∴∠PMN=60°,
∴AB与MN所成的角为60°.
若∠MPN=120°,
则∠PMN=30°,∴AB与MN所成的角为30°,
综上,异面直线AB与MN所成的角为30°或60°.
答案:30°或60°
[能力挑战]
11.[2020·四川成都一诊]在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知M是棱BB1的中点,N是棱AC的中点,则异面直线A1M与BN所成角的正切值为( )
A. B.1
C. D.
解析:取AA1的中点P,连接PN,PB,则由直三棱柱的性质可知A1M∥PB,则∠PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角).设三棱柱的棱长为2,则PN=,PB=,BN=,所以PN2+BN2=PB2,所以∠PNB=90°,在Rt△PBN中,tan∠PBN===,故选C.
答案:C
12.[2020·安徽联合检测]若在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AC=∠BAC=60°,平面A1ACC1⊥平面ABC,AA1=AC=AB,则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为( )
A. B.
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C. D.
解析:如图,在平面ABC,平面A1B1C1中分别取点D,D1,连接BD,CD,B1D1,C1D1,使得四边形ABDC,A1B1D1C1为平行四边形,连接DD1,BD1,则AB=C1D1且AB∥C1D1,所以AC1∥BD1,故∠A1BD1即异面直线AC1与A1B所成的角.
连接A1D1,过点A1作A1M⊥AC于点M,连接BM,设AA1=2,由∠A1AM=∠BAC=60°,得AM=1,BM=,A1M=,因为平面A1ACC1⊥平面ABC,A1M⊂平面A1ACC1,所以A1M⊥平面ABC,所以A1M⊥BM,所以A1B=,在菱形A1ACC1中,易求得AC1=2=BD1,在菱形A1B1D1C1中,易求得A1D1=2,所以cos∠A1BD1===,所以异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.
答案:B
13.[2020·广东广州质检]如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点.在这个正四面体中:
①GH与EF平行;
②BD与MN为异面直线;
③GH与MN成60°角;
④DE与MN垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.
解析:
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把正四面体的平面展开图还原,如图所示,由正四面体的性质易知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE⊥MN.
答案:②③④
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