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  • 2021-06-30 发布

2021高考数学一轮复习课时作业40空间点直线平面之间的位置关系文

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课时作业40 空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1.[2020·江西七校联考]已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是(  )‎ A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 解析:依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.‎ 答案:D ‎2.若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是(  )‎ A.b⊂α B.b∥α C.b⊂α或b∥α D.b与α相交或b⊂α或b∥α 解析:b与α相交或b⊂α或b∥α都可以.‎ 答案:D ‎3.‎ 如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(  )‎ A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1不共面 C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面 解析:连接A1C1,AC(图略),则A1C1∥AC,‎ ‎∴A1,C1,A,C四点共面,∴A1C⊂平面ACC1A1.‎ ‎∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1,‎ ‎∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,‎ 同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,‎ ‎∴A,M,O三点共线.‎ 答案:A - 7 -‎ ‎4.[2020·河北张家口模拟]三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=AB,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,则BM与AN所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:‎ 取BC的中点O,连接NO,AO,MN,因为B1C1綊BC,OB=BC,所以OB∥B1C1,OB=B1C1,因为M,N分别为A1B1,A1C1的中点,所以MN∥B1C1,MN=B1C1,所以MN綊OB,所以四边形MNOB是平行四边形,所以NO∥MB,所以∠ANO或其补角即为BM与AN所成角,不妨设AB=2,则有AO=,ON=BM=,AN=,在△ANO中,由余弦定理可得cos∠ANO===.故选C.‎ 答案:C ‎5.[2020·陕西省高三质检]已知P是△ABC所在平面外的一点,M,N分别是AB,PC的中点.若MN=BC=4,PA=4,则异面直线PA与MN所成角的大小是(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.90°‎ 解析:‎ 本题考查异面直线所成角,取AC中点为O,连接OM,ON,则易证OM綊BC,ON綊PA,所以∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角.由MN=BC=4,PA=4,得OM=BC=2,ON=AP=2,则cos∠ONM==,所以∠ONM=30°,即异面直线PA与MN - 7 -‎ 所成角的大小是30°,故选A.‎ 答案:A 二、填空题 ‎6.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是________.‎ ‎①P∈a,P∈α⇒a⊂α;‎ ‎②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;‎ ‎③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;‎ ‎④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.‎ 解析:当a∩α=P时,P∈a,P∈α,‎ 但a⊄α,∴①错;‎ a∩β=P时,②错;‎ 如图∵a∥b,P∈b,‎ ‎∴P∉a,∴由直线a与点P确定唯一平面α,‎ 又a∥b,由a与b确定唯一平面γ,‎ 但γ经过直线a与点P,‎ ‎∴γ与α重合,∴b⊂α,故③正确;‎ 两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.‎ 答案:③④‎ ‎7.如图所示,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).‎ 解析:图(1)中,直线GH∥MN;‎ 图(2)中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;‎ 图(3)中,连接MG,HN,GM∥HN,因此GH与MN共面;‎ 图(4)中,G,M,N共面,‎ 但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.‎ 所以图(2),(4)中GH与MN异面.‎ 答案:(2)(4)‎ - 7 -‎ ‎8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________.‎ 解析:如图,连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,‎ 故∠D1B1C(或其补角)即为所求,又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.‎ 答案:60°‎ 三、解答题 ‎9.‎ 如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F,求证:E,F,G,H四点必定共线.‎ 证明:因为AB∥CD,‎ 所以AB,CD确定一个平面β.‎ 又因为AB∩α=E,AB⊂β,所以E∈α,E∈β,‎ 即E为平面α与β的一个公共点.‎ 同理可证F,G,H均为平面α与β的公共点,‎ 因为若两个平面有公共点,那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线,所以E,F,G,H四点必定共线.‎ ‎10.[2020·福建四地六校联考]已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M、N分别是BC、AD的中点,求异面直线AB与MN所成角的大小.‎ - 7 -‎ 解析:如图,取AC的中点P,连接PM,PN,则PM∥AB,且PM=AB,PN∥CD,且PN=CD.‎ ‎∴∠MPN或其补角为AB与CD所成的角,则∠MPN=60°或∠MPN=120°,‎ ‎∵PM∥AB,‎ ‎∴∠PMN或其补角是AB与MN所成的角,‎ ‎∵AB=CD,∴PM=PN,‎ 若∠PMN=60°,‎ 则△PMN是等边三角形,∴∠PMN=60°,‎ ‎∴AB与MN所成的角为60°.‎ 若∠MPN=120°,‎ 则∠PMN=30°,∴AB与MN所成的角为30°,‎ 综上,异面直线AB与MN所成的角为30°或60°.‎ 答案:30°或60°‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11.[2020·四川成都一诊]在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知M是棱BB1的中点,N是棱AC的中点,则异面直线A1M与BN所成角的正切值为(  )‎ A. B.1‎ C. D. 解析:取AA1的中点P,连接PN,PB,则由直三棱柱的性质可知A1M∥PB,则∠PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角).设三棱柱的棱长为2,则PN=,PB=,BN=,所以PN2+BN2=PB2,所以∠PNB=90°,在Rt△PBN中,tan∠PBN===,故选C.‎ 答案:C ‎12.[2020·安徽联合检测]若在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AC=∠BAC=60°,平面A1ACC1⊥平面ABC,AA1=AC=AB,则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为(  )‎ A. B. - 7 -‎ C. D. 解析:如图,在平面ABC,平面A1B1C1中分别取点D,D1,连接BD,CD,B1D1,C1D1,使得四边形ABDC,A1B1D1C1为平行四边形,连接DD1,BD1,则AB=C1D1且AB∥C1D1,所以AC1∥BD1,故∠A1BD1即异面直线AC1与A1B所成的角.‎ 连接A1D1,过点A1作A1M⊥AC于点M,连接BM,设AA1=2,由∠A1AM=∠BAC=60°,得AM=1,BM=,A1M=,因为平面A1ACC1⊥平面ABC,A1M⊂平面A1ACC1,所以A1M⊥平面ABC,所以A1M⊥BM,所以A1B=,在菱形A1ACC1中,易求得AC1=2=BD1,在菱形A1B1D1C1中,易求得A1D1=2,所以cos∠A1BD1===,所以异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.‎ 答案:B ‎13.[2020·广东广州质检]如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点.在这个正四面体中:‎ ‎①GH与EF平行;‎ ‎②BD与MN为异面直线;‎ ‎③GH与MN成60°角;‎ ‎④DE与MN垂直.‎ 以上四个命题中,正确命题的序号是________.‎ 解析:‎ - 7 -‎ 把正四面体的平面展开图还原,如图所示,由正四面体的性质易知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE⊥MN.‎ 答案:②③④‎ - 7 -‎

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