专题07 三角变换及解三角形-2017年高考数学（文）备考黄金易错点 19页

专题07 三角变换及解三角形 ‎2017年高考数学（文）备考学易黄金易错点 ‎1．若tanα＝，则cos2α＋2sin2α等于(　　)‎ A.B.C．1D. 答案　A 解析　tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝ ‎＝＝.‎ ‎2．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC等于(　　)‎ A．1B．2C．3D．4‎ 答案　A 解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.‎ ‎3．方程3sinx＝1＋cos2x在区间0,2π]上的解为__________．‎ 答案　， 解析　3sinx＝2－2sin2x，即2sin2x＋3sinx－2＝0，‎ ‎∴(2sinx－1)(sinx＋2)＝0，∴sinx＝，∴x＝，.‎ ‎4．在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．‎ 答案　8‎ 解析　在△ABC中，A＋B＋C＝π，‎ sinA＝sinπ－(B＋C)]＝sin(B＋C)，‎ 由已知，sinA＝2sinBsinC，‎ ‎∴sin(B＋C)＝2sinBsinC.‎ ‎∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，‎ A，B，C全为锐角，两边同时除以cosBcosC得：‎ tanB＋tanC＝2tanBtanC.‎ 又tanA＝－tan(B＋C)＝－＝.‎ ‎∴tanA(tanBtanC－1)＝tanB＋tanC.‎ 则tanAtanBtanC－tanA＝tanB＋tanC，‎ ‎∴tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋‎ ‎2tanBtanC≥2，‎ ‎∴≥2，‎ ‎∴tanAtanBtanC≥8.‎ ‎5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝，sinB＝cosC，并且a＝，则△ABC的面积为________．‎ 答案　 ‎6．若α∈(0，)，则的最大值为________．‎ 答案　 解析　∵α∈(0，)，‎ ‎∴＝＝且tanα>0，‎ ‎∴＝≤＝(当且仅当tanα＝2时等号成立)，故的最大值为.‎ ‎7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.‎ 答案　100 解析　在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝300·tan30°＝100.‎ ‎8．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)·sinC，则△ABC面积的最大值为________．‎ 答案　 解析　∵＝＝，a＝2，‎ 又(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)·sinC，‎ 可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，‎ ‎∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.‎ ‎∴＝＝＝cosA，∴A＝60°.‎ ‎∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°‎ ‎＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，‎ ‎∴S△ABC＝·bc·sinA≤×4×＝.‎ ‎9．已知函数f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f(A)的值域．‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin(3x－)－，‎ 易得f(A)＝sin(3A－)－.‎ 因为sinB，sinA，sinC成等比数列，‎ 所以sin2A＝sinBsinC，‎ 所以a2＝bc，‎ 所以cosA＝＝≥ ‎＝(当且仅当b＝c时取等号)，‎ 因为00，‎ 所以α＋为锐角，sin(α＋)＝，‎ 则sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝2××＝.‎ 又cos(2α－)＝sin(2α＋)，‎ 所以cos(2α－)＝.‎ ‎【变式探究】(1)已知sin＝，cos2α＝，则sinα等于(　　)‎ A.B．－C．－D. ‎(2)－等于(　　)‎ A．4 B．2‎ C．－2 D．－4‎ 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)由sin＝，‎ 得sinαcos－cosαsin＝，‎ 即sinα－cosα＝，①‎ 又cos2α＝，所以cos2α－sin2α＝，‎ 即(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝，‎ 因此cosα＋sinα＝－.②‎ 由①②得sinα＝，故选D.‎ ‎(2)－＝－ ‎＝＝ ‎＝＝－4，‎ 故选D.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎　(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．三角求值“三大类型”‎ ‎“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．‎ ‎2．三角函数恒等变换“四大策略”‎ ‎(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；‎ ‎(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；‎ ‎(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；‎ ‎(4)弦、切互化：一般是切化弦．‎ 易错起源2、正弦定理、余弦定理 例2、(1)(2016·课标全国丙)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA等于(　　)‎ A.B.C．－D．－ ‎(2)(2015·北京)在△ABC中，a＝3，b＝，A＝，则B＝________.‎ 答案　(1)C　(2) ‎ ‎ ‎(2)由正弦定理得sinB＝＝＝，‎ 因为A为钝角，所以B＝.‎ ‎【变式探究】如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．‎ 解　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，‎ S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.‎ 因为S△ABD＝2S△ADC，‎ ‎∠BAD＝∠CAD，‎ 所以AB＝2AC.‎ 由正弦定理可得 ＝＝.‎ ‎(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.‎ 在△ABD和△ADC中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，‎ AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.‎ 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，‎ 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.‎ ‎【名师点睛】‎ 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．‎ ‎2．余弦定理：在△ABC中，‎ a2＝b2＋c2－2bccosA；‎ 变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.‎ 易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题 例3　(2015·山东)设f(x)＝sinxcosx－cos2.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．‎ 解　(1)由题意知f(x)＝－ ‎＝－＝sin2x－.‎ 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，‎ 可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；‎ 由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，‎ 可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间是 (k∈Z)；‎ 单调递减区间是(k∈Z)．‎ ‎【变式探究】已知函数f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和值域；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f()＝2且a2＝bc，试判断△ABC的形状．‎ 解　(1)f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x ‎＝sin2x＋cos2x ‎＝2sin(2x＋)，‎ 所以T＝π，f(x)∈－2,2]．‎ ‎(2)因为f()＝2sin(A＋)＝2，‎ 所以sin(A＋)＝1.‎ 因为00，∴cosA＝.‎ 又∵0°