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2016-2017学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷(文科)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.命题p“∀x∈R,sinx≤1”的否定是 .
2.准线方程x=﹣1的抛物线的标准方程为 .
3.底面半径为1高为3的圆锥的体积为 .
4.双曲线的一条渐近线方程为y=x,则实数m的值为 .
5.若直线l1:x+4y﹣1=0与l2:kx+y+2=0互相垂直,则k的值为 .
6.函数f(x)=x3﹣3x的单调减区间为 .
7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,与AB异面且垂直的棱共有 条.
8.已知函数f(x)=cosx+sinx,则的值为 .
9.“a=b”是“a2=b2”成立的 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)
10.若圆x2+y2=4与圆(x﹣t)2+y2=1外切,则实数t的值为 .
11.如图,直线l是曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线,则f(4)+f'(4)的值等于 .
12.椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,若椭圆上存在点P,满足∠F1PF2=120°,则该椭圆的离心率的取值范围是 .
13.已知A(3,1),B(﹣4,0),P是椭圆上的一点,则PA+PB的最大值为 .
14.已知函数f(x)=lnx,g(x)=﹣2x,当x>2时k(x﹣2)<xf(x)+2g'(x)+3恒成立,则整数k最大值为 .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.
15.已知命题p:方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根;命题q:2m+1<4.
(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
16.在三棱锥P﹣ABC中,AP=AB,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,D,E分别为PB,BC的中点.
(1)求证:DE∥平面PAC;
(2)求证:DE⊥AD.
17.已知圆C的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为P(1,﹣2),Q(3,4).
(1)求圆C的方程;
(2)若直线y=2x+b被圆C截得的弦长为,求b的值.
18.某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子,瓶子是按照统一规格设计的,瓶体上部为半球体,下部为圆柱体,并保持圆柱体的容积为3π.设圆柱体的底面半径为x,圆柱体的高为h,瓶体的表面积为S.
(1)写出S关于x的函数关系式,并写出定义域;
(2)如何设计瓶子的尺寸(不考虑瓶壁的厚度),可以使表面积S最小,并求出最小值.
19.已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(c<4),其导函数y=h'(x)的图象如图所示,函数f(x)=8lnx+h(x).
(1)求a,b的值;
(2)若函数f(x)在区间(m,m+)上是单调增函数,求实数m的取值范围;
(3)若对任意k∈[﹣1,1],x∈(0,8],不等式(k+1)x≥f(x)恒成立,求实数c的取值范围.
20.把半椭圆=1(x≥0)与圆弧(x﹣c)2+y2=a2(x<0)合成的曲线称作“曲圆”,其中F(c,0)为半椭圆的右焦点.如图,A1,A2,B1,B2
分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点,已知∠B1FB2=,扇形FB1A1B2的面
积为.
(1)求a,c的值;
(2)过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P,Q两点,试将△A1PQ的周长L表示为θ的函数;
(3)在(2)的条件下,当△A1PQ的周长L取得最大值时,试探究△A1
PQ的面积是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请求出面积的取值范围.
2016-2017学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.命题p“∀x∈R,sinx≤1”的否定是 ∃x∈R,sinx>1 .
【考点】命题的否定.
【分析】直接把语句进行否定即可,注意否定时∀对应∃,≤对应>.
【解答】解:根据题意我们直接对语句进行否定
命题p“∀x∈R,sinx≤1”的否定是:∃x∈R,sinx>1.
故答案为:∃x∈R,sinx>1.
2.准线方程x=﹣1的抛物线的标准方程为 y2=4x .
【考点】抛物线的标准方程.
【分析】直接由抛物线的准线方程设出抛物线方程,再由准线方程求得p,则抛物线标准方程可求.
【解答】解:∵抛物线的准线方程为x=﹣1,
∴可设抛物线方程为y2=2px(p>0),
由准线方程x=﹣,得p=2.
∴抛物线的标准方程为y2=4x.
故答案为:y2=4x.
3.底面半径为1高为3的圆锥的体积为 π .
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【分析】利用圆锥的体积公式,能求出结果.
【解答】解:底面半径为1高为3的圆锥的体积为:V==π.
故答案为:π.
4.双曲线的一条渐近线方程为y=x,则实数m的值为 6 .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据题意,由双曲线的标准方程可得该双曲线的焦点在x轴上,且a=,b=,可得其渐近线方程为y=±x,进而结合题意可得=1,解可得m的值,即可得答案.
【解答】解:根据题意,双曲线的标准方程为:,
则其焦点在x轴上,且a=,b=,
故其渐近线方程为y=±x,
又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x,
则有=1,解可得m=6;
故答案为:6.
5.若直线l1:x+4y﹣1=0与l2:kx+y+2=0互相垂直,则k的值为 ﹣4 .
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】利用直线与直线垂直的性质求解.
【解答】解:∵直线l1:x+4y﹣1=0与l2:kx+y+2=0互相垂直互相垂直,
∴﹣•(﹣k)=﹣1,
解得k=﹣4
故答案为:﹣4
6.函数f(x)=x3﹣3x的单调减区间为 (﹣1,1) .
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求函数的导函数,令导函数小于零,解此不等式即可求得函数y=x3
﹣3x的单调递减区间.
【解答】解:令y′=3x2﹣3<0
解得﹣1<x<1,
∴函数y=x3﹣3x的单调递减区间是(﹣1,1).
故答案为:(﹣1,1).
7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,与AB异面且垂直的棱共有 4 条.
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】画出正方体,利用数形结合思想能求出结果.
【解答】解:如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,
与AB异面且垂直的棱有:
DD1,CC1,A1D1,B1C1,共4条.
故答案为:4.
8.已知函数f(x)=cosx+sinx,则的值为 0 .
【考点】导数的运算.
【分析】求函数的导数,利用代入法进行求解即可.
【解答】解:函数的导数为f′(x)=﹣sinx+cosx,
则f′()=﹣sin+cos=﹣+=0,
故答案为:0
9.“a=b”是“a2=b2”成立的 充分不必要 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】结合充分条件和必要条件的定义进行判断.
【解答】解:若a2=b2,则a=b或a=﹣b,
即a=b”是“a2=b2”成立的充分不必要条件,
故答案为:充分不必要.
10.若圆x2+y2=4与圆(x﹣t)2+y2=1外切,则实数t的值为 ±3 .
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】利用圆x2+y2=4与圆(x﹣t)2+y2=1外切,圆心距等于半径的和,即可求出实数t的值.
【解答】解:由题意,圆心距=|t|=2+1,∴t=±3,
故答案为±3.
11.如图,直线l是曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线,则f(4)+f'(4)的值等于 .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的运算.
【分析】根据题意,结合函数的图象可得f(4)=5,以及直线l过点(0,3)和(4,5),由直线的斜率公式可得直线l的斜率k,进而由导数的几何意义可得f′(4)的值,将求得的f(4)与f′(4)的值相加即可得答案.
【解答】解:根据题意,由函数的图象可得f(4)=5,
直线l过点(0,3)和(4,5),则直线l的斜率k==
又由直线l是曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线,则f′(4)=,
则有f(4)+f'(4)=5+=;
故答案为:.
12.椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,若椭圆上存在点P,满足∠F1PF2=120°,则该椭圆的离心率的取值范围是 [,1) .
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】如图根据椭圆的性质可知,∠F1PF2当点P在短轴顶点(不妨设上顶点A)时最大,要椭圆上存在点P,满足∠F1PF2=120°,∠F1AF2≥120°,∠F1AO≥60°,即可,
【解答】解:如图根据椭圆的性质可知,∠F1PF2当点P在短轴顶点(不妨设上顶点A)时最大,
要椭圆上存在点P,满足∠F1PF2=120°,
∠F1AF2≥120°,∠F1AO≥60°,tan∠F1AO=,
故椭圆离心率的取范围是[,1)
故答案为[,1)
13.已知A(3,1),B(﹣4,0),P是椭圆上的一点,则PA+PB的最大值为 .
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意画出图形,可知B为椭圆的左焦点,A在椭圆内部,设椭圆右焦点为F,借助于椭圆定义,把|PA|+|PB|
的最大值转化为椭圆上的点到A的距离与F距离差的最大值求解.
【解答】解:由椭圆方程,得a2=25,b2=9,则c2=16,
∴B(﹣4,0)是椭圆的左焦点,A(3,1)在椭圆内部,
如图:设椭圆右焦点为F,由题意定义可得:|PB|+|PF|=2a=10,
则|PB|=10﹣|PF|,
∴|PA|+|PB|=10+(|PA|﹣|PF|).
连接AF并延长,交椭圆与P,则此时|PA|﹣|PF|有最大值为|AF|=
∴|PA|+|PB|的最大值为10+.
故答案为:10+
14.已知函数f(x)=lnx,g(x)=﹣2x,当x>2时k(x﹣2)<xf(x)+2g'(x)+3恒成立,则整数k最大值为 5 .
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】k(x﹣2)<xf(x)+2g′(x)+3恒成立,等价于k(x﹣2)<xlnx+2(x﹣2)+3对一切x∈(2,+∞)恒成立,分离参数,从而可转化为求函数的最小值问题,利用导数即可求得,即可求实数a的取值范围.
【解答】解:因为当x>2时,不等式k(x﹣2)<xf(x)+2g′(x)+3恒成立,
即k(x﹣2)<xlnx+2(x﹣2)+3对一切x∈(2,+∞)恒成立,
亦即k<=+2对一切x∈(2,+∞)恒成立,
所以不等式转化为k<+2对任意x>2恒成立.
设p(x)=+2,则p′(x)=,
令r(x)=x﹣2lnx﹣5(x>2),则r′(x)=1﹣=>0,
所以r(x)在(2,+∞)上单调递增.
因为r(9)=4(1﹣ln3)<0,r(10)=5﹣2ln10>0,
所以r(x)=0在(2,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(9,10),
当2<x<x0时,r(x)<0,即p′(x)<0;
当x>x0时,r(x)>0,即p′(x)>0.
所以函数p(x)在(2,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
又r(x0)=x0﹣2lnx0﹣5=0,所以2lnx0=x0﹣5.
所以[p(x)]min=p(x0)=+2=+2∈(5,6),
所以k<[p(x)]min∈(5,6),
故整数k的最大值是5.
故答案为:5.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.
15.已知命题p:方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根;命题q:2m+1<4.
(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
【考点】命题的真假判断与应用;复合命题的真假.
【分析】(1)若p为真命题,则应有△=8﹣4m>0,解得实数m的取值范围;
(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p,q应一真一假,进而实数m的取值范围.
【解答】解:(1)若p为真命题,则应有△=8﹣4m>0,…
解得m<2.…
(2)若q为真命题,则有m+1<2,即m<1,…
因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,
则p,q应一真一假.…
①当p真q假时,有,得1≤m<2;…
②当p假q真时,有,无解.…
综上,m的取值范围是[1,2).…
(注:若借助数轴观察且得出正确答案,则给满分,否则不得分)
16.在三棱锥P﹣ABC中,AP=AB,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,D,E分别为PB,BC的中点.
(1)求证:DE∥平面PAC;
(2)求证:DE⊥AD.
【考点】直线与平面平行的判定.
【分析】(1)推导出DE∥PC,由此能证明DE∥平面PAC.
(2)推导出AD⊥PB,BC⊥AB,从而AD⊥BC,进而AD⊥平面PBC,由此能证明DE⊥AD.
【解答】证明:(1)因为D,E分别为PB,BC的中点,
所以DE∥PC,…
又DE⊄平面PAC,PC⊂平面PAC,
故DE∥平面PAC.…
(2)因为AP=AB,PD=DB,所以AD⊥PB,…
因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,
又BC⊥AB,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAB,…
因为AD⊂平面PAB,所以AD⊥BC,…
又PB∩BC=B,PB,BC⊂平面ABC,故AD⊥平面PBC,…
因为DE⊂平面PBC,所以DE⊥AD.…
17.已知圆C的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为P(1,﹣2),Q(3,4).
(1)求圆C的方程;
(2)若直线y=2x+b被圆C截得的弦长为,求b的值.
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(1)由已知可知PQ为圆C的直径,故可得圆心C的坐标,求出半径,即可求圆C的方程;
(2)求出圆心C到直线y=2x+b的距离,利用直线y=2x+b被圆C截得的弦长为,建立方程,即可求b的值.
【解答】解:(1)由已知可知PQ为圆C的直径,故圆心C的坐标为(2,1),…
圆C的半径,…
所以圆C的方程是:(x﹣2)2+(y﹣1)2=10.…
(2)设圆心C到直线y=2x+b的距离是,…
据题意得:,…
即,解之得,b=2或b=﹣8.…
18.某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子,瓶子是按照统一规格设计的,瓶体上部为半球体,下部为圆柱体,并保持圆柱体的容积为3π.设圆柱体的底面半径为x,圆柱体的高为h,瓶体的表面积为S.
(1)写出S关于x的函数关系式,并写出定义域;
(2)如何设计瓶子的尺寸(不考虑瓶壁的厚度),可以使表面积S最小,并求出最小值.
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义.
【分析】(1)根据体积公式求出h,再根据表面积公式计算即可得到S与x的关系式,
(2)根据导数和函数的最值得关系即可求出.
【解答】解:(1)据题意,可知πx2h=3π,得,
(2),
令S′=0,得x=±1,舍负,
当S′(x)>0时,解得x>1,函数S(x)单调递增,
当S′(x)<0时,解得0<x<1,函数S(x)单调递减,
故当x=1时,函数有极小值,且是最小值,S(1)=9π
答:当圆柱的底面半径为1时,可使表面积S取得最小值9π.
19.已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(c<4),其导函数y=h'(x)的图象如图所示,函数f(x)=8lnx+h(x).
(1)求a,b的值;
(2)若函数f(x)在区间(m,m+)上是单调增函数,求实数m的取值范围;
(3)若对任意k∈[﹣1,1],x∈(0,8],不等式(k+1)x≥f(x)恒成立,求实数c的取值范围.
【考点】利用导数研究函数的单调性;二次函数的性质.
【分析】(1)利用导函数y=h′(x)的图象确定a,b的值即可;
(2)要使求函数f(x)在区间(m,m+)上是单调增函数,则f'(x)的符号没有变化,可以求得实数m的取值范围;
(3)函数y=kx的图象总在函数y=f(x)图象的上方得到kx大于等于f(x),列出不等式,构造函数,求出函数的最小值即可得到c的范围.
【解答】解:(1)二次函数h(x)=ax2+bx+c的导数为:
y=h′(x)=2ax+b,由导函数y=h′(x)的图象可知,
导函数y=h′(x)过点(5,0)和(0,﹣10),
代入h′(x)=2ax+b得:
b=﹣10,a=1;
(2)由(1)得:h(x)=x2﹣10x+c,h′(x)=2x﹣10,
f(x)=8lnx+h(x)=8lnx+x2﹣10x+c,
f′(x)=+2x﹣10=,
当x变化时
(0,1)
1
(1,4)
4
(4,+∞)
f'(x)
+
0
﹣
0
+
f(x)
↗
↘
↗
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(4,+∞).
单调递减区间为(1,4),
若函数在(m,m+)上是单调递增函数,则有或者m≥4,解得0≤m≤或m≥4;
故m的范围是:[0,]∪[4,+∞).
(3)若对任意k∈[﹣1,1],x∈(0,8],不等式(k+1)x≥f(x)恒成立,
即对k=﹣1时,x∈(0,8],不等式c≤﹣x2﹣8lnx+10x恒成立,
设g(x)=﹣x2﹣8lnx+10x,x∈(0,8],
则g′(x)=,x∈(0,8],
令g′(x)>0,解得:1<x<4,令g′(x)<0,解得:4<x≤8或0<x<1,
故g(x)在(0,1)递减,在(1,4)递增,在(4,8]递减,
故g(x)的最小值是g(1)或g(8),
而g(1)=9,g(8)=16﹣24ln3<4<9,c<4,
故c≤g(x)min=g(8)=16﹣24ln3,
即c的取值范围是(﹣∞,16﹣24ln3].
20.把半椭圆=1(x≥0)与圆弧(x﹣c)2+y2=a2(x<0)合成的曲线称作“曲圆”,其中F(c,0)为半椭圆的右焦点.如图,A1,A2,B1,B2
分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点,已知∠B1FB2=,扇形FB1A1B2的面
积为.
(1)求a,c的值;
(2)过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P,Q两点,试将△A1PQ的周长L表示为θ的函数;
(3)在(2)的条件下,当△A1PQ的周长L取得最大值时,试探究△A1PQ的面积是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请求出面积的取值范围.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)由扇形FB1A1B2的面积为可得a,在△OFB2中,tan∠OFB2=tan60°=,又因为c2+b2=a2,可得c.
(2)分 ①当θ∈(0,); ②当θ∈(); ③当θ∈(,)求出△A1PQ的周长;
(3)在(2)的条件下,当△A1PQ的周长L取得最大值时P、Q在半椭圆:(x≥0)上,
利用弦长公式、点到直线的距离公式,表示面积,再利用单调性求出范围.
【解答】解:(1)∵扇形FB1A1B2的面积为=,∴a=2,圆弧(x﹣c)2+y2=a2(x<0)与y轴交点B2(0,b),
在△OFB2中,tan∠OFB2=tan60°=,又因为c2+b2=a2,∴c=1.
(2)显然直线PQ的斜率不能为0(θ∈(0,π)),故设PQ方程为:x=my+1
由(1)得半椭圆方程为:(x≥0)与圆弧方程为:(x﹣1)2+y2=4(x<0),且A1(﹣1,0)恰为椭圆的左焦点.
①当θ∈(0,)时,P、Q分别在圆弧:(x﹣1)2+y2=4(x<0)、半椭圆:(x≥0)上,
△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4sin,
△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4sin,
②当θ∈()时,P、Q分别在圆弧:(x﹣1)2+y2=4(x<0)、半椭圆:(x≥0)上,
△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4cos,
△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4cos,
③当θ∈(,)时,P、Q在半椭圆:(x≥0)上,
△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4sin,
△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=4a=8
(3)在(2)的条件下,当△A1PQ的周长L取得最大值时P、Q在半椭圆:(x≥0)上,
联立得(3m2+4)y2+6my﹣9=0
y1+y2=,y1y2=.
|PQ|=,点A1
到PQ的距离d=.
△A1PQ的面积s=|PQ|•d=12.
令m2+1=t,t∈[1,],s=12=12;
∵g(t)=9t+在[1,+]上递增,∴g(1)≤g(t)≤g(),;10≤g(t)≤,
≤s≤3
∴△A1PQ的面积不为定值,面积的取值范围为:[]