2019年高考数学仿真押题试卷（十七）（含解析） 16页

专题17 高考数学仿真押题试卷（十七）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知，，是虚数单位，若与互为共轭复数，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：与互为共轭复数，则、，‎ ‎，‎ 故选：． 2．已知全集，，，则集合　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：或，‎ ‎，‎ 故选：． 3．等差数列中，，，则数列的公差为　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解析】解：设数列的公差为，则由，，可得，，解得，‎ 故选：． ‎ 16‎ ‎4．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，‎ 该几何体的体积，‎ 故选：． 5．若变量，满足约束条件，则的最小值为　　‎ A．3 B．4 C．2 D．1‎ ‎【解析】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 化目标函数为，‎ 由图可知，当直线过时，‎ 直线在轴上的截距最小，有最小值为1．‎ 故选：． 6．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为　　‎ A．16 B．18 C．24 D．32‎ 16‎ ‎【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，‎ 首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，‎ 当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列，‎ 当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列，‎ 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列，‎ 当最右边三辆时，有车之间的一个排列，‎ 总上可知共有不同的排列法种结果，‎ 故选：． 7．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，‎ 设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件，由几何概型中的面积型可得：‎ ‎（A），‎ 故选：． 8．在中，，，则　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析】解：，‎ 故选：． ‎ 16‎ ‎9．已知双曲线，为坐标原点，过的右顶点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，过的右焦点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，若与的面积之比为，则双曲线的渐近线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的渐近线方程为，‎ 故选：．‎ ‎ 10．设，则展开式中的常数项为　　‎ A．560 B．1120 C．2240 D．4480‎ ‎【解析】解：设，则展开式中的通项公式为，‎ 令，求得，可得展开式中的常数项为，‎ 故选：． 11．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，则与平面所成角的大小为 16‎ ‎　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：在堑堵中，，，，‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，0，，‎ ‎，，，平面的法向量，1，，‎ 设与平面所成角的大小为，‎ 则，‎ 与平面所成角的大小为．‎ 故选：．‎ ‎ 12．已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：方程有四个不相等的实根，‎ 等价于函数的图象与直线有四个交点，‎ 16‎ 易得：①当直线与函数相切时，，‎ ‎②当直线与函数相切时，利用导数的几何意义可得：，‎ 即由图知函数的图象与直线有四个交点时，‎ 实数的取值范围是，‎ 故选：．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．的展开式中含项的系数为　5　．‎ ‎【解析】解：的展开式的通项公式为，令，求得，‎ 故展开式中含项的系数为，‎ 故答案为：5． 14．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等比数列，且，则的值是　　．‎ ‎【解析】解：，，成等比数列，，‎ ‎，‎ ‎，．‎ 16‎ 则．‎ 故答案为：． 15．已知，，且，则的最小值为　　．‎ ‎【解析】解：，‎ ‎，‎ ‎，当且仅当时，即时取等号，‎ 故的最小值为，‎ 故答案为：． 16．如图，已知过椭圆的左顶点作直线1交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎【解析】解：是等腰三角形，，，．‎ 设，，，，，．‎ ‎，解得．‎ 代入椭圆方程得，化为．‎ 16‎ ‎．‎ 故答案为．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）的三个内角，，所对的边分别为，，，已知（A），，求的取值范围．‎ ‎【解析】解：（1）函数，‎ 由，可得，可得函数的单调递增区间是，，．‎ ‎（2）中，已知（A），，．‎ ‎，由正弦定理可得， ‎ ‎．‎ ‎，，，，．‎ 所以的范围是，． 18．椭圆的左右焦点分别为，、，，点，在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆交于、两点，以为直径的圆过坐标原点，求证：坐标原点到直线距离为定值．‎ 16‎ ‎【解析】解：（1）由椭圆定义可知，，‎ 所以，因为，所以，‎ 椭圆的方程为：；‎ ‎（2）证明：由可得，‎ ‎△，‎ 即，‎ 设，，，，‎ 又，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以坐标原点到直线距离为定值． 19．某校学业水平考试中，某两个班共100名学生，物理成绩的优秀率为，数学成绩的频率分布直方图如图所示，数学成绩大于90分的为优秀．‎ ‎（1）利用频率分布直方图估计数学成绩的众数和中位数（中位数保留小数点后两位）；‎ ‎（2）如果数学、物理都优秀的有12人，补全下列列联表，并根据列联表，判断是否有以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关？‎ 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 ‎12‎ 数学非优秀 总计 ‎（3）在物理优秀的20人中，随机抽取2人，记数学物理都优秀的人数为，求 16‎ 的概率分布列及数学期望．‎ 附：，其中．‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎【解析】解：（1）由频率分布直方图估计数学成绩的众数是：，‎ 由频率分布直方图得：‎ ‎，的频率为：，‎ ‎，的频率为：．‎ 估计数学成绩的中位数是：．‎ ‎（2）列联表是：‎ 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 ‎12‎ ‎12‎ ‎24‎ 数学非优秀 ‎8‎ ‎68‎ ‎76‎ 总计 ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎，‎ 所以有以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关 ‎（3）的可能取值为0，1，2，‎ 16‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 概率分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 数学期望． 20．如图①在四边形中，，，，，，是上的点，，为的中点将沿折起到△的位置，使得，如图②．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）点在线段上，当直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值．‎ ‎【解析】证明：（1）中，，，，所以，‎ 同理△中，，，，‎ 所以，‎ 16‎ 因为平面，平面，，‎ 所以平面，又平面，‎ 所以平面平面．‎ 解：（2）以点为坐标原点，，所在直线为，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，‎ ‎，1，，，0，，，4，，，2，‎ 设，，，则，，，‎ ‎，1，，，4，，‎ 设平面的法向量为，，，‎ 由，得．令，得，，，‎ 直线与平面所成角的正弦值为，‎ ‎，‎ 解得或（舍，，1，，‎ 设平面的法向量为，，，‎ 由，取，得，，，‎ 设二面角的平面角为，‎ 则，‎ 所以当直线与平面所成角的正弦值为时，二面角的余弦值为．‎ 16‎ ‎ 21．某财团欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格（单位：万元）是每日产量（单位：吨）的函数：．‎ ‎（1）求当日产量为3吨时的边际成本（即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数）；‎ ‎（2）记每日生产平均成本为，求证：；‎ ‎（3）若财团每日注入资金可按数列（单位：亿元）递减，连续注入60天，求证：这60天的总投入资金大于亿元．‎ ‎【解析】解：（1）因为，，‎ 所以，当时，；‎ 证明：（2）要证，只需证 设，‎ 则 所以在上单调递减，所以（1）‎ 所以，‎ 即；‎ 证明（3）因为，‎ 16‎ 又由（2）知，当 时，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．曲线（其中为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线关于对称．‎ ‎（1）求曲线的普通方程，曲线直角坐标方程；‎ ‎（2）将向左平移2个单位长度，按照变换得到，点为上任意一点，求点到曲线距离的最大值．‎ ‎【解析】解：（1）由消去得，由得，得，‎ 依题意的圆心在上，所以，解得，‎ 故曲线 的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．即．‎ ‎（2）向左平移2各单位长度后得，再按照变换得到，‎ 设点坐标为，点到 的距离为，‎ 当时，点到 的距离最大，最大值为．‎ 16‎ ‎[选修4-5：不等式选讲] 23．已知．‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）对于任意正数、，求使得不等式恒成立的的取值集合．‎ ‎【解析】解：（1）函数，‎ 当时，不等式化为，解得；‎ 当时，不等式化为，解得，所以；‎ 当时，不等式化为，解得；‎ 综上，不等式的解集为或；‎ ‎（2）对于任意正数、，，‎ 当且仅当时“”成立，‎ 所以不等式恒成立，‎ 等价于，‎ 由（1）知，该不等式的解集为，‎ 所以的取值集合是，．‎ 16‎ 16‎