2019高三数学理北师大版一轮单元评估检测1　第1章　集合与常用逻辑用语 9页

单元评估检测(一)　第1章　集合与常用逻辑用语 ‎(120分钟　150分)‎ ‎(对应学生用书第212页)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若全集U＝{x∈R|x2≤4}，A＝{x∈R||x＋1|≤1}的补集∁UA为(　　)‎ A．(0,2) B．[0,2) C．(0,2] D．[0,2]‎ ‎[答案]　C ‎2．已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，B＝{x∈Z|x2＜9}，则A∩B＝(　　)‎ A．{2} B．(－3,3) C．(1,3) D．{1,2}‎ ‎[答案]　D ‎3．命题“存在x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是(　　)‎ ‎【导学号：79140402】‎ A．存在x0∉∁RQ，x∈Q B．存在x0∈∁RQ，x∉Q C．任意x∉∁RQ，x2∈Q D．任意x∈∁RQ，x2∉Q ‎[答案]　D ‎4．设A＝，B＝{x|x≥a}．若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a＜ B．a≤ ‎ C．a≤1 D．a＜1‎ ‎[答案]　C ‎5．使x2＞4成立的充分不必要条件是(　　)‎ A．2＜x＜4 B．－2＜x＜2‎ C．x＜0 D．x＞2或x＜－2‎ ‎[答案]　A ‎6．已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2－x＝0}，若A⊆B，则由a的取值构成的集合为(　　)‎ A．{1} B．{0} ‎ C．{0,1} D．∅‎ ‎[答案]　C ‎7．已知原命题：已知ab＞0，若a＞b，则＜，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为(　　)‎ A．0 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎[答案]　D ‎8．(2017·广州模拟)设等差数列{an}的公差为d，则a1d＞0是数列{3a1an}为递增数列的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　A ‎9．已知命题p：存在x0∈R，x0＜x＋1，命题q：任意x∈R，sin4x－cos4x≤1，则p或q，p且q，(﹁p)或q，p且(﹁q)中真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎[答案]　C ‎10．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，则“c＜0”是“存在x0∈R，使f(x0)＜0”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　A ‎11．(2018·阜阳模拟)对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，MN＝(M－N)∪(N－M)．设A＝{y|y＝x2－3x，x∈R}，B＝{y|y＝－2x，x∈R}，则AB等于(　　) ‎ ‎【导学号：79140403】‎ A. B. C.∪[0，＋∞)‎ D.∪(0，＋∞)‎ ‎[答案]　C ‎12．原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 ‎[答案]　A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知集合Q＝{m∈Z|mx2＋mx－2＜0对任意实数x恒成立}，则Q用列举法表示为________．‎ ‎[答案]　{－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}‎ ‎14．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，集合A×B中属于集合{(x，y)|logxy∈N}的元素的个数是________．‎ ‎[答案]　4‎ ‎15．下列3个命题：‎ ‎①“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k∈Z)”；‎ ‎②“如果x2＋x－6≥0，则x＞2”的否命题；‎ ‎③在△ABC中，“A＞30°”是“sin A＞”的充分不必要条件．‎ 其中真命题的序号是________．‎ ‎[答案]　②‎ ‎16．设集合A＝{x|x2＋2x－3＞0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：79140404】‎ ‎[答案]　 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|x2－1＜0}，B＝{x|x＋a＞0}．‎ ‎(1)若a＝－，求A∩B；‎ ‎(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　A＝{x|－1＜x＜1}．‎ ‎(1)当a＝－时，‎ B＝＝，‎ 所以A∩B＝.‎ ‎(2)若A∩B＝A，则A⊆B，因为B＝{x|x＞－a}，所以－a≤－1，即a≥1.‎ ‎18．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∪B＝{－3,4}，A∩B＝{－3}，求a，b，c的值．‎ ‎[解]　因为A∩B＝{－3}，所以－3∈A，且－3∈B，‎ 所以(－3)2－3a－12＝0，解得a＝－1，‎ A＝{x|x2－x－12＝0}＝{－3,4}．‎ 因为A∪B＝{－3,4}，且A≠B，‎ 所以B＝{－3}，‎ 即方程x2＋bx＋c＝0有两个等根为－3，‎ 所以即b＝6，c＝9.‎ 综上，a，b，c的值分别为－1,6,9.‎ ‎19．(本小题满分12分)已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p且q”为假，若“p或q”为真，求实数c的取值范围．‎ ‎[解]　命题p为真时，因为函数y＝cx在R上单调递减，所以0＜c＜1.‎ 即p真时，0＜c＜1.因为c＞0且c≠1，所以p假时，c＞1.‎ 命题q为真时，因为f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，所以c≤.‎ 即q真时，0＜c≤，因为c＞0且c≠1，‎ 所以q假时，c＞，且c≠1.‎ 又因为“p或q”为真，“p且q”为假，‎ 所以p真q假或p假q真．‎ ‎(1)当p真，q假时，‎ ‎{c|0＜c＜1}∩ ‎＝.‎ ‎(2)当p假，q真时，{c|c＞1}∩＝∅.‎ 综上所述，实数c的取值范围是.‎ ‎20．(本小题满分12分)(2018·保定模拟)已知p：x2≤5x－4，q：x2－(a＋2)x＋2a≤0.‎ ‎(1)若p是真命题，求对应x的取值范围；‎ ‎(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)因为x2≤5x－4，‎ 所以x2－5x＋4≤0，‎ 即(x－1)(x－4)≤0，所以1≤x≤4，‎ 即对应x的取值范围为1≤x≤4.‎ ‎(2)设p对应的集合为A＝{x|1≤x≤4}．‎ 由x2－(a＋2)x＋2a≤0，‎ 得(x－2)(x－a)≤0.‎ 当a＝2时，不等式的解为x＝2，对应的解集为B＝{2}；‎ 当a＞2时，不等式的解为2≤x≤a，对应的解集为B＝{x|2≤x≤a}；‎ 当a＜2时，不等式的解为a≤x≤2，对应的解集为B＝{x|a≤x≤2}．‎ 若p是q的必要不充分条件，则BA，‎ 当a＝2时，满足条件；‎ 当a＞2时，因为A＝{x|1≤x≤4}，‎ B＝{x|2≤x≤a}，‎ 要使BA，则满足2＜a≤4；‎ 当a＜2时，因为A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|a≤x≤2}，要使BA，则满足1≤a＜2.‎ 综上，a的取值范围为1≤a≤4.‎ ‎21．(本小题满分12分)已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0}，B＝.‎ ‎(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围．‎ ‎(2)当a取使不等式x2＋1≥ax恒成立的a的最小值时，求(∁RA)∩B. ‎ ‎【导学号：79140405】‎ ‎[解]　A＝{y|y＜a或y＞a2＋1}，‎ B＝{y|2≤y≤4}．‎ ‎(1)当A∩B＝∅时， 解得≤a≤2或a≤－.‎ 即a∈(－∞，－]∪[，2]．‎ ‎(2)由x2＋1≥ax，得x2－ax＋1≥0，‎ 依题意Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2.‎ 所以a的最小值为－2.‎ 当a＝－2时，A＝{y|y＜－2或y＞5}．‎ 所以∁RA＝{y|－2≤y≤5}，‎ 故(∁RA)∩B＝{y|2≤y≤4}．‎ ‎22．(本小题满分12分)求证：方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a＝1.‎ ‎[证明]　充分性：当a＝0时，方程为2x＋1＝0，其根为x＝－，方程只有一负根．‎ 当a＝1时，方程为x2＋2x＋1＝0，其根为x＝－1，方程只有一负根．‎ 当a＜0时，Δ＝4(1－a)＞0，方程有两个不相等的根，‎ 且＜0，方程有一正一负两个根．‎ 所以充分性得证．‎ 必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一负根．‎ 当a＝0时，符合条件．‎ 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，‎ 则Δ＝4－4a≥0，所以a≤1，‎ 当a＝1时，方程有一负根x＝－1.‎ 当a＜1时，若方程有且只有一负根，‎ 则所以a＜0.‎ 所以必要性得证．‎ 综上，方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a＝1.‎