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- 2021-06-30 发布
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全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年广东省揭阳市揭东一中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|ax2+x﹣3=0},B={x|3≤x<7},若A∩B≠∅,则实数a的取值集合为( )
A. B. C. D.
2.已知i是虚数单位,若z(1+i)=1+3i,则z=( )
A.2+i B.2﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
3.已知f(x)=﹣x+sinx,命题p:∀x∈(0,),f(x)<0,则( )
A.p是假命题,¬p:∀x∈(0,),f(x)≥0
B.p是假命题,¬p:∃x∈(0,),f(x)≥0
C.p是真命题,¬p:∀x∈(0,),f(x)≥0
D.p是真命题,¬p:∃x∈(0,),f(x)≥0
4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C.2 D.
5.△ABC中,AB边的高为CD,若=, =, •=0,||=1,||=2,则=( )
A. B. C. D.
6.如图,将绘有函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,<φ<π)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角,若AB之间的空间距离为,则f(﹣1)=( )
A.﹣2 B.2 C. D.
7.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(m,﹣2)到焦点的距离为5,则m的值为( )
A.±4 B.±2 C.±2 D.±5
8.椭圆的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
9.执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知不等式sincos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣,]恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣] B.(﹣∞,﹣] C.[,] D.[,+∞)
11.我校三个年级共有24个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到24,现用系统抽样方法,抽取4个班进行调查,若抽到编号之和为48,则抽到的最小编号为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.要得到函数y=2sin(2x+)的图象,应该把函数y=cos(x﹣π)﹣sin(x﹣)的图象做如下变换( )
A.将图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变
B.沿x向左平移个单位,再把得图象上的每一点横坐标伸长到原来的2而纵坐标不变
C.先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变,再将所得图象沿x向右平移个单位
D.先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变,再将所得图象沿x向左平移个单位
二、填空题:(每题5分,共20分)
13.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列,则此椭圆的离心率为 .
14.已知f(x)=,则的值是 .
15.若函数f(x)=在x=1处取极值,则a= .
16.已知函数f(x)=kx3+3(k﹣1)x2﹣k2+1(k>0)的单调递减区间是(0,4),则k的值是 .
三、解答题:(共5题,共52分;其中21题12分,其余10分)
17.已知命题p:关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞
)上是增函数.若p或q是真命题,p且q是假命题,则实数a的取值范围是 .
18.设p:|4x﹣3|≤1;q:x2﹣(2a+1)x+a2+a≤0,若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围.
19.已知函数y=ex.
(1)求这个函数在点(e,ee)处的切线的方程;
(2)过原点作曲线y=ex的切线,求切线的方程.
20.已知函数f(x)=﹣x3+3x2+9x+a.
(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
21.设函数f(x)=x3﹣3ax+b(a≠0).
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点.
2016-2017学年广东省揭阳市揭东一中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|ax2+x﹣3=0},B={x|3≤x<7},若A∩B≠∅,则实数a的取值集合为( )
A. B. C. D.
【考点】交集及其运算.
【分析】分离参数,转化为二次函数求值域问题,即可得出结论.
【解答】解:由ax2+x﹣3=0,可得a=3(﹣)2﹣,
∵3≤x<7,
∴<≤,
∴=时,a的最小值为﹣, =时,a的最大值为0,
故选:B.
2.已知i是虚数单位,若z(1+i)=1+3i,则z=( )
A.2+i B.2﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:由z(1+i)=1+3i,得,
故选:A.
3.已知f(x)=﹣x+sinx,命题p:∀x∈(0,),f(x)<0,则( )
A.p是假命题,¬p:∀x∈(0,),f(x)≥0
B.p是假命题,¬p:∃x∈(0,),f(x)≥0
C.p是真命题,¬p:∀x∈(0,),f(x)≥0
D.p是真命题,¬p:∃x∈(0,),f(x)≥0
【考点】复合命题的真假.
【分析】利用导数可判定函数f(x)在x∈(0,)上单调递减,即可判断出真假,再利用命题的否定可得¬p.
【解答】解:f(x)=﹣x+sinx,∀x∈(0,),则f′(x)=cosx﹣1<0.
∴函数f(x)在x∈(0,)上单调递减,∴f(x)<f(0)=0,
则命题p:∀x∈(0,),f(x)<0,为真命题.
¬p:∃x∈(0,),f(x)≥0.
故选:D.
4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C.2 D.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图中正方形为底面的四棱锥,切去一个以俯视图中虚线部分为底面的三棱锥得到的组合体,进而得到答案.
【解答】
解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图中正方形为底面的四棱锥,切去一个以俯视图中虚线部分为底面的三棱锥得到的组合体,
大四棱锥的体积V=×2×2×2﹣××1×2×1=,
故选:B
5.△ABC中,AB边的高为CD,若=, =, •=0,||=1,||=2,则=( )
A. B. C. D.
【考点】平面向量的综合题.
【分析】由题意可得,CA⊥CB,CD⊥AB,由射影定理可得,AC2=AD•AB可求AD,进而可求,从而可求与的关系,进而可求
【解答】解:∵•=0,
∴CA⊥CB
∵CD⊥AB
∵||=1,||=2
∴AB=
由射影定理可得,AC2=AD•AB
∴
∴
∴==
故选D
6.如图,将绘有函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,<φ<π)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角,若AB之间的空间距离为,则f(﹣1)=( )
A.﹣2 B.2 C. D.
【考点】点、线、面间的距离计算.
【分析】根据图象过点(0,1),结合φ的范围求得φ的值,再根据A、B两点之间的距离为=,求得T的值,可得ω的值,从而求得函数的解析式,从而求得f(﹣1)的值.
【解答】解:由函数的图象可得2sinφ=1,可得sinφ=,再根据<φ<π,可得φ=.
再根据A、B两点之间的距离为=,求得T=6,
再根据T==6,求得ω=.
∴f(x)=2sin(x+),f(﹣1)=2sin(﹣+)=2,
故选:B.
7.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(m,﹣2)到焦点的距离为5,则m的值为( )
A.±4 B.±2 C.±2 D.±5
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】利用抛物线的性质,求出抛物线的焦点坐标,转化求解即可.
【解答】解:抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(m,﹣2),
可知抛物线的开口向下,抛物线上的点P(m,﹣2)到焦点的距离为5,
可得准线方程为:y=3,焦点坐标(0,﹣3),
则: =5,解得m=±2.
故选:C.
8.椭圆的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】根据题意,作出椭圆的图象,分析可得A的坐标,将A的坐标代入椭圆方程可得+=1,①;结合椭圆的几何性质a2=b2+c2,②;联立两个式子,解可得c=(﹣1)a,由离心率公式计算可得答案.
【解答】解:根据题意,如图,设F(0,c),
又由△OAF是等边三角形,则A(,),
A在椭圆上,则有+=1,①;
a2=b2+c2,②;
联立①②,解可得c=(﹣1)a,
则其离心率e==﹣1;
故选:A.
9.执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】程序框图.
【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,可得答案.
【解答】解:输入的a值为1,则b=1,
第一次执行循环体后,a=﹣,不满足退出循环的条件,k=1;
第二次执行循环体后,a=﹣2,不满足退出循环的条件,k=2;
第三次执行循环体后,a=1,满足退出循环的条件,
故输出的k值为2,
故选:B
10.已知不等式sincos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣,]恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣] B.(﹣∞,﹣] C.[,] D.[,+∞)
【考点】三角函数中的恒等变换应用.
【分析】不等式sincos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣,]恒成立,等价于不等式(sincos+cos2﹣)min≥m对于x∈[﹣,]
恒成立,令f(x)=sincos+cos2﹣,求x∈[﹣,]的最小值即可.
【解答】解:由题意,令f(x)=sincos+cos2﹣,
化简可得:f(x)=+(cos)==sin()
∵x∈[﹣,]
∴∈[,]
当=时,函数f(x)取得最小值为.
∴实数m的取值范围是(﹣∞,].
故选B.
11.我校三个年级共有24个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到24,现用系统抽样方法,抽取4个班进行调查,若抽到编号之和为48,则抽到的最小编号为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】系统抽样方法.
【分析】求出系统抽样的抽取间隔,设抽到的最小编号x,根据编号的和为48,求x即可.
【解答】解:系统抽样的抽取间隔为=6.
设抽到的最小编号x,
则x+(6+x)+(12+x)+(18+x)=48,
所以x=3.
故选:B.
12.要得到函数y=2sin(2x+)的图象,应该把函数y=cos(x﹣π)﹣sin(x﹣)的图象做如下变换( )
A.将图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变
B.沿x向左平移个单位,再把得图象上的每一点横坐标伸长到原来的2而纵坐标不变
C.先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变,再将所得图象沿x向右平移个单位
D.先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变,再将所得图象沿x向左平移个单位
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式,再来一用诱导公式以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.
【解答】解:把函数y=cos(x﹣π)﹣sin(x﹣)=2cos[(x﹣)+]=2cos(x+)=2sin(+x+)=2sin(x+)的图象,
先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变,可得y=2sin(2x+)的图象,
再将所得图象沿x向右平移个单位,可得y=2sin(2x﹣+)=2sin(2x+)的图象,
故选:C.
二、填空题:(每题5分,共20分)
13.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列,则此椭圆的离心率为 .
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c,2b,2a,通过椭圆的短轴长是长轴长与焦距的等比中项,建立关于a,b,c的等式,求出椭圆的离心率即可.
【解答】解:设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c,2b,2a,
∵椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列,
∴4b2=2a•2c,
∴b2=a•c
∴b2=a2﹣c2=a•c,
由e=,
两边同除以a2得:e2+e﹣1=0,
解得:e=,
由0<e<1,
∴e=.
故答案为:.
14.已知f(x)=,则的值是 ﹣ .
【考点】变化的快慢与变化率.
【分析】根据瞬时变化率即可求出答案
【解答】解:f(2+△x)﹣f(2)=﹣=,
∴=,
∴f′(2)===﹣,
故答案为:﹣.
15.若函数f(x)=在x=1处取极值,则a= 3 .
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】先求出f′(x),因为x=1处取极值,所以1是f′(x)=0的根,代入求出a即可.
【解答】解:f′(x)==.
因为f(x)在1处取极值,
所以1是f′(x)=0的根,
将x=1代入得a=3.
故答案为3
16.已知函数f(x)=kx3+3(k﹣1)x2﹣k2+1(k>0)的单调递减区间是(0,4),则k的值是 .
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】将三次多项式函数求导数,得f'(x)=3kx2+6(k﹣1)x,结合题意得f'(x)<0的解集是(0,4),根据一元二次不等式解法的结论,比较系数即可得到实数k的值.
【解答】解:对函数求导数,得f'(x)=3kx2+6(k﹣1)x
∵函数的单调递减区间是(0,4),
∴f'(x)<0的解集是(0,4),
∵k>0,
∴3kx2+6(k﹣1)x<0等价于3kx(x﹣4)<0,
得6(k﹣1)=﹣12k,解之得k=
故答案为:
三、解答题:(共5题,共52分;其中21题12分,其余10分)
17.已知命题p:关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若p或q是真命题,p且q是假命题,则实数a的取值范围是 (﹣4,4)∪(﹣∞,﹣12) .
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系;四种命题的真假关系;函数单调性的性质.
【分析】首先要解出命题p是真命题的条件a≤﹣4或a≥4.和命题q是真命题的条件a≥﹣12.然后根据已知因为p或q是真命题,p且q是假命题,则命题p和q必为一真一假.所以实数a的取值范围为“a≤﹣4或a≥4”和“a≥
﹣12”的并集,即可得到答案.
【解答】解:命题p:关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根,等价于△=a2﹣16≥0,所以a≤﹣4或a≥4.
命题q;关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数,等价于﹣≤3,所以a≥﹣12.
因为p或q是真命题,p且q是假命题,则命题p和q一真一假.
所以实数a的取值范围为它们的并集即(﹣4,4)∪(﹣∞,﹣12).
故答案为(﹣4,4)∪(﹣∞,﹣12)
18.设p:|4x﹣3|≤1;q:x2﹣(2a+1)x+a2+a≤0,若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围.
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据一元二次不等式的解法分别求出命题p和q,由p是q的充分不必要条件,可知p⇒q,从而求出a的范围:
【解答】解:因为|4x﹣3|≤1,所以≤x≤1,即p:≤x≤1.
由x2﹣(2a+1)x+a2+a≤0,
得(x﹣a)[(x﹣(a+1)]≤0,
所以a≤x≤a+1,因为p是q的充分不必要条件,
所以p⇒q,q推不出p.
所以或
解得0≤a≤.
所以a的取值范围是[0,].
19.已知函数y=ex.
(1)求这个函数在点(e,ee)处的切线的方程;
(2)过原点作曲线y=ex的切线,求切线的方程.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)求出导函数,求出切线的斜率,求出切点为(e,ee).然后求解切线方程.
(2)设过原点且与y=ex相切的直线为y=kx.设切点为(x0,),则k=,列出方程求解即可.
【解答】解:由题意y′=ex.
(1)x=e时,y′=ee即为x=e处切线的斜率,切点为(e,ee).
故切线方程为y﹣ee=ee(x﹣e)
即eex﹣y+ee﹣ee+1=0.
(2)设过原点且与y=ex相切的直线为y=kx.
设切点为(x0,),则k=.
又k=,∴=,
∴x0=1,
切线方程为:y﹣e=e(x﹣1)
即ex﹣y=0.
20.已知函数f(x)=﹣x3+3x2+9x+a.
(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(I)先求出函数f(x)的导函数f′(x),然后令f′(x)<0,解得的区间即为函数f(x)的单调递减区间;
(II)先求出端点的函数值f(﹣2)与f(2),比较f(2)与f(﹣2)的大小,然后根据函数f(x)在[﹣1,2]上单调递增,在[﹣2,﹣1]上单调递减,得到f(2)和f(﹣1)分别是f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值和最小值,建立等式关系求出a,从而求出函数f(x)在区间[﹣2,2]上的最小值.
【解答】解:(I)f′(x)=﹣3x2+6x+9.
令f′(x)<0,解得x<﹣1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为(﹣∞,﹣1),(3,+∞).
(II)因为f(﹣2)=8+12﹣18+a=2+a,f(2)=﹣8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(﹣2).
因为在(﹣1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[﹣1,2]上单调递增,
又由于f(x)在[﹣2,﹣1]上单调递减,
因此f(2)和f(﹣1)分别是f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=﹣2.
故f(x)=﹣x3+3x2+9x﹣2,因此f(﹣1)=1+3﹣9﹣2=﹣7,
即函数f(x)在区间[﹣2,2]上的最小值为﹣7.
21.设函数f(x)=x3﹣3ax+b(a≠0).
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)已知函数的解析式f(x)=x3﹣3ax+b,把点(2,f(2))代入,再根据f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求出a,b的值;
(2)由题意先对函数y进行求导,解出极值点,然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间;
【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=3x2﹣3a,
∵曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,
∴
(Ⅱ)∵f′(x)=3(x2﹣a)(a≠0),
当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,此时函数f(x)没有极值点.
当a>0时,由,
当时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
当时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
当时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
∴此时是f(x)的极大值点,是f(x)的极小值点.