数学文·河北省衡水市冀州中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学文试卷 Word版含解析x 20页

‎2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}，则A∪B中的元素的个数为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎2．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（　　）‎ A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）‎ ‎3．已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（　　）‎ A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值 ‎4．函数f（x）=log（x2﹣9）的单调递增区间为（　　）‎ A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）‎ ‎5．如图，给出的是计算1+++…++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（　　）‎ A．i＜101？ B．i＞101？ C．i≤101？ D．i≥101？‎ ‎6．某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：‎ 月平均气温x（℃）‎ ‎17‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎2‎ 月销售量y（件）‎ ‎24‎ ‎33‎ ‎40‎ ‎ 55‎ 由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（　　）件．‎ A．46 B．40 C．38 D．58‎ ‎7．已知向量，满足||=1，=（1，﹣），且⊥（+），则与的夹角为（　　）‎ A．60° B．90° C．120° D．150°‎ ‎8．下列有关命题：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充要条件．其中正确的是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①②③‎ ‎9．已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（　　）‎ A．4π B．3π C．2π D．π ‎10．“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎11．“λ＜1”是“数列an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎12．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎13．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（　　）‎ A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1‎ ‎　‎ 二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）‎ ‎14．直线x﹣ysinθ+1=0（θ∈R）的倾斜角范围是　　．‎ ‎15．若由不等式组，（n＞0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m=　　．‎ ‎16．已知、是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角的正弦值是　　．‎ ‎17．已知点P（m，n）是直线2x+y+5=0上的任意一点，则的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=2，△ABC的面积为，求a+c的值．‎ ‎19．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=（an+）2，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．（12分）如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，若使两个三角形所在的平面互相垂直，且∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面ACD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣B的平面角的正切值；‎ ‎（Ⅲ）求点B到平面ACD的距离．‎ ‎21．（12分）设x2+2ax+b2=0是关于x的一元二次方程．‎ ‎（1）若a是从0，1，2，3四个数个中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；‎ ‎（2）若a是从区间[0，3]上任取一个数，b是从区间[0，2]上任取一个数，求方程有实根的概率．‎ ‎22．（12分）已知命题p：在x∈[1，2]内，不等式x2+ax﹣2＞0恒成立；命题q：函数f（x）=是区间[1，+∞）上的减函数，若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．‎ ‎（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．‎ ‎24．（12分）已知长方形ABCD中，AD=，AB=2，E为AB中点，将△ADE沿DE折起到△PDE，所得四棱锥P﹣BCDE，如图所示．‎ ‎（1）若点M为PC中点，求证：BM∥平面PDE；‎ ‎（2）求证：DE⊥PC．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（2015•衡阳三模）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}，则A∪B中的元素的个数为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【专题】集合．‎ ‎【分析】由已知求出集合B的元素，取并集后得答案．‎ ‎【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，‎ B={x|x=|a﹣1|，a∈A}={2，1，0}，‎ 则A∪B={﹣1，0，1，2}．共4个元素．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了并集及其运算，考查了绝对值的求法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2008•江西）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（　　）‎ A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．‎ ‎【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．‎ ‎　‎ ‎3．（2015•合肥校级模拟）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（　　）‎ A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值 ‎【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先利用等比数列等比中项可知•lny=可得lnx•lny=，再根据lnxy=lnx+lny≥2可得lnxy的范围，进而求得xy的范围．‎ ‎【解答】解：依题意•lny=‎ ‎∴lnx•lny=‎ ‎∴lnxy=lnx+lny≥2=1‎ xy≥e 故选C ‎【点评】本题主要考查了等比中项的性质．即若a，b，c成等比数列，则有b2=ac．‎ ‎　‎ ‎4．（2016秋•冀州市校级期中）函数f（x）=log（x2﹣9）的单调递增区间为（　　）‎ A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）‎ ‎【考点】复合函数的单调性．‎ ‎【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】求函数的定义域，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由x2﹣9＞0得x＞3或x＜﹣3，‎ 设t=x2﹣9，‎ 则函数y=logt为减函数，‎ 则要求函数f（x）=log（x2﹣9）的单调递增区间，‎ 即求函数t=x2﹣9的单调递减区间，‎ ‎∵函数t=x2﹣9的单调递减区间是（﹣∞，﹣3），‎ ‎∴函数f（x）=log（x2﹣9）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（2016•贵阳二模）如图，给出的是计算1+++…++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（　　）‎ A．i＜101？ B．i＞101？ C．i≤101？ D．i≥101？‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．‎ ‎【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：‎ 第1次循环：S=0+1，i=1，‎ 第2次循环：S=1+，i=3，‎ 第3次循环：S=1++，i=5，…‎ 依此类推，第51次循环：S=1+++…+，i=101，退出循环 其中判断框内应填入的条件是：i≤101，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了当型循环结构的应用问题，解题时应准确理解流程图的含义，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎6．（2014•江西一模）某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：‎ 月平均气温x（℃）‎ ‎17‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎2‎ 月销售量y（件）‎ ‎24‎ ‎33‎ ‎40‎ ‎ 55‎ 由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（　　）件．‎ A．46 B．40 C．38 D．58‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【专题】计算题；概率与统计．‎ ‎【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．‎ ‎【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），‎ 又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，‎ ‎∴38=10×（﹣2）+a，‎ 解得：a=58，‎ ‎∴=﹣2x+58，‎ 当x=6时，=﹣2×6+58=46．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（2016秋•冀州市校级期中）已知向量，满足||=1，=（1，﹣），且⊥（+），则与的夹角为（　　）‎ A．60° B．90° C．120° D．150°‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°，由垂直可得数量积为0，可得cosθ，可得夹角．‎ ‎【解答】解：设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°‎ ‎∵=（1，﹣），∴||=2，‎ 又⊥（+），∴•（+）=0，‎ ‎∴=0，‎ ‎∴12+1×2×cosθ=0，‎ 解得cosθ=，‎ ‎∴θ=120°‎ 故选：C ‎【点评】本题考查向量的夹角公式，涉及数量积的运算，属基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（2016秋•冀州市校级期中）下列有关命题：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充要条件．其中正确的是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①②③‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】探究型；定义法；简易逻辑．‎ ‎【分析】判断原命题的真假，根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断①；写出原命题的否定，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③‎ ‎【解答】解：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”在m=0时不成立，故为假命题，‎ 故它的逆否命题为假命题；即①正确；‎ ‎②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ，正确；‎ ‎③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件，即③错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题命题，空间线面关系，充要条件，特称命题的否定等知识点，难度中档．‎ ‎　‎ ‎9．（2016秋•冀州市校级期中）已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（　　）‎ A．4π B．3π C．2π D．π ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图；球内接多面体．‎ ‎【专题】计算题；数形结合；转化思想．‎ ‎【分析】由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：由已知可得，该几何体为三棱锥，‎ 其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，‎ 故球半径R满足2R=，‎ 故球的表面积S=4πR2=3π，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积和表面积，由三视图判断几何体的形状，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（2013•浙江二模）“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得，k∈Z，由充要条件的定义可得．‎ ‎【解答】解：当时，可得函数g（x）=sin（x+）=cosx，故图象重合；‎ 当“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”时，‎ 可取，k∈Z即可，‎ 故“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”‎ 的充分不必要条件．‎ 故选A ‎【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角函数的性质，属基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（2014•西藏一模）“λ＜1”是“数列an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由“λ＜1”可得 an+1﹣an＞0，推出“数列an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”．由“数列an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，不能推出“λ＜1”，由此得出结论．‎ ‎【解答】解：由“λ＜1”可得 an+1﹣an=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1＞0，故可推出“数列an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，故充分性成立．‎ 由“数列an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”可得 an+1﹣an=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1＞0，故λ＜，‎ 故λ＜，不能推出“λ＜1”，故必要性不成立．‎ 故“λ＜1”是“数列an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的充分不必要条件，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，数列的单调性的判断方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（2016•衡水模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．‎ ‎【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．‎ ‎【解答】解：根据题意作出图形：‎ 设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，‎ 延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．‎ ‎∵CO1==，‎ ‎∴OO1=，‎ ‎∴高SD=2OO1=，‎ ‎∵△ABC是边长为1的正三角形，‎ ‎∴S△ABC=，‎ ‎∴V=××=，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离是关键．‎ ‎　‎ ‎13．（2009•上海）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（　　）‎ A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），‎ 则 代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）‎ ‎14．（2015春•黑龙江期末）直线x﹣ysinθ+1=0（θ∈R）的倾斜角范围是　　．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】由直线的倾斜及和斜率的关系，以及正切函数的值域可得．‎ ‎【解答】解：设直线x﹣ysinθ+1=0的倾斜角为α，‎ 当时，则sinθ=0，符合题意，‎ 当时，sinθ≠0，‎ 可得直线的斜率k=，‎ 又∵0＜α＜π，∴或．‎ 综上满足题意的倾斜角范围为：‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查斜率的概念及正弦、正切函数的图象和值域，属基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（2011•江苏校级模拟）若由不等式组，（n＞0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m=　　．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】本题主要考查不等式组确定的平面区域与三角形中的相关知识，三角形的外接圆的圆心在x轴上，说明构成的平面区域始终为直角三角形．‎ ‎【解答】解：由题意，三角形的外接圆的圆心在x轴上 所以构成的三角形为直角三角形 所以直线x=my+n与直线x﹣相互垂直，‎ 所以，解得，‎ 所以，答案为．‎ ‎【点评】这是不等式与平面几何相结合的问题，属于中档题 ‎　‎ ‎16．（2016秋•冀州市校级期中）已知、是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角的正弦值是　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】设与的夹角为θ，利用两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式求得cosθ的值，可得sinθ 的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得=1×1×cos60°=，设与的夹角为θ，‎ 则=﹣6++2=﹣6++2=﹣，‎ ‎||===，||===，‎ ‎∴cosθ===﹣，∴θ=，∴sinθ==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（2016秋•冀州市校级期中）已知点P（m，n）是直线2x+y+5=0上的任意一点，则的最小值为　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】变形利用二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：∵点P（m，n）是直线2x+y+5=0上的任意一点，‎ ‎∴2m+n+5=0．‎ 则==≥，当且仅当m=2时取等号．‎ ‎∴的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的单调性，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18．（10分）（2016秋•冀州市校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=2，△ABC的面积为，求a+c的值．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用．‎ ‎【分析】（1）由已知利用平面向量共线的性质可得，由正弦定理，同角三角函数基本关系式，结合sinA＞0，化简可得，结合B的范围可求B的值．‎ ‎（2）由已知及三角形面积公式可解得ac=4，进而利用余弦定理整理可求a+c的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴由正弦定理，得，‎ ‎∵sinA＞0，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵0＜B＜π，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵由三角形面积公式，得，‎ ‎∴解得ac=4，‎ ‎∵由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣2ac×=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，‎ ‎∴a+c=4．‎ ‎【点评】本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2010•全国卷Ⅱ）已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=（an+）2，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可 ‎（2）由bn的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解 ‎【解答】解：（1）设正等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意得：∴an=2n﹣1（6分）‎ ‎（2）‎ ‎∴bn的前n项和Tn=（12分）‎ ‎【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质 ‎　‎ ‎20．（12分）（2005•西城区校级二模）如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，若使两个三角形所在的平面互相垂直，且∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面ACD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣B的平面角的正切值；‎ ‎（Ⅲ）求点B到平面ACD的距离．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】（1）要证平面ABD⊥平面ACD，关键是证AC⊥平面ABD，只需证AC⊥BD，AC⊥AB，利用平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC可证；‎ ‎（2）设BC中点为E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连AF，由三垂线定理，可得∠EFA为二面角的平面角，从而可求；‎ ‎（Ⅲ）过点E作EM⊥AF，垂足为M，则EM⊥平面ACD，设点B到平面ACD的距离为h，根据E是BC的中点，可得h=2EM，故可求 ‎【解答】解：（Ⅰ）∵平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC ‎∴BD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，‎ ‎∴AC⊥BD，又AC⊥AB，BD∩AB=B，‎ ‎∴AC⊥平面ABD ‎ 又AC⊂平面ACD，‎ ‎∴平面ABD⊥平面ACD．‎ ‎（Ⅱ）取BC中点E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连AF，由三垂线定理知AF⊥CD 则∠EFA为二面角的平面角 ‎∵△EFC∽△DBC，∴，‎ ‎∴，又AE=3，‎ ‎∴‎ ‎∴二面角的平面角的正切值为2‎ ‎（Ⅲ）过点E作EM⊥AF，垂足为M，则EM⊥平面ACD 设点B到平面ACD的距离为h ‎∵E是BC的中点 ‎∴h=2EM 而 ‎∴‎ ‎【点评】本题的考点是与二面角有关的立体几何综合，主要考查面面垂直的判定与性质，考查二面角的平面角，考查点面的距离，有一定的综合性 ‎　‎ ‎21．（12分）（2014秋•湖北期末）设x2+2ax+b2=0是关于x的一元二次方程．‎ ‎（1）若a是从0，1，2，3四个数个中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；‎ ‎（2）若a是从区间[0，3]上任取一个数，b是从区间[0，2]上任取一个数，求方程有实根的概率．‎ ‎【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由题意可得方程有实根的充要条件为：△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2．‎ ‎（1）基本事件共有12个，其中（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），代入几何概率的求解公式可求 ‎（2 ）试验的全部结果构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足题意的区域为：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，分别求解区域的面积，可求 ‎【解答】解：方程有实根的充要条件为：△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2．‎ ‎（1）基本事件共有12个，其中（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）满足条件，则．‎ ‎（2 ）试验的全部结果构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，‎ 满足题意的区域为：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，‎ 所以，所求概率为．…（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了古典概率的求解及与面积有关的几何概率的求解，属于基本方法的简单应用 ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）已知命题p：在x∈[1，2]内，不等式x2+ax﹣2＞0恒成立；命题q：函数f（x）=是区间[1，+∞）上的减函数，若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．‎ ‎【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出 复合命题的真假，进而求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：关于命题p：在x∈[1，2]内，不等式x2+ax﹣2＞0恒成立，‎ 则，解得：a＞1；‎ 关于命题q：函数f（x）=是区间[1，+∞）上的减函数，‎ 即y=x2﹣2ax+3a在x∈[1，+∞）单调递增且恒为正，‎ ‎∴，解得：﹣1＜a≤1，‎ 若命题“p∨q”是真命题，‎ 则p，q至少有一个是真命题，‎ ‎∴a＞﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．‎ ‎（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．‎ ‎【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；‎ ‎（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）联立得：，‎ 解得：，‎ ‎∴圆心C（3，2）．‎ 若k不存在，不合题意；‎ 若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，‎ 解得：k=0或k=﹣，‎ 则所求切线为y=3或y=﹣x+3；‎ ‎（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，‎ 化简得：x2+（y+1）2=4，‎ ‎∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，‎ 又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），‎ ‎∴圆C与圆D的关系为相交或相切，‎ ‎∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，‎ ‎∴1≤≤3，‎ 解得：0≤a≤．‎ ‎【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）已知长方形ABCD中，AD=，AB=2，E为AB中点，将△ADE沿DE折起到△PDE，所得四棱锥P﹣BCDE，如图所示．‎ ‎（1）若点M为PC中点，求证：BM∥平面PDE；‎ ‎（2）求证：DE⊥PC．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【专题】证明题；分析法；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）取PD的中点F，连接EF，FM，由中位线定理及平行四边形判定定理易得四边形EFMB是平行四边形，进而BM∥EF，再由线面垂直的判定定理，即可得到BM∥平面PDE；‎ ‎（2）在矩形ABCD中，连接AC交DE于N，即可证明DE⊥AC，所以在四棱锥P﹣EBCD中，PN⊥DE，CN⊥DE，从而证明DE⊥平面POC，易推知结论．‎ ‎【解答】（1）证明：如图2，取DP中点F，连接EF，FM，‎ ‎∵在△PDC中，点F，M分别是所在边的中点，所以FM=DC，‎ 又EBDC，‎ 所以FMEB．‎ 所以FEBM是平行四边形，所以BM∥EF，‎ 又EF⊂平面PDE，BM⊄平面PDE，‎ 所以BM∥平面PDE．‎ ‎（2）在矩形ABCD中，连接AC交DE于N，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 所以DE⊥AC，‎ 所以在四棱锥P﹣EBCD中，PN⊥DE，CN⊥DE，‎ 又PN∩CN=N，所以DE⊥平面POC，‎ 因为PC⊂平面POC，所以DE⊥PC．‎ ‎【点评】此题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义、判定定理、性质定理是解答本题的关键．‎ ‎2016年12月11日