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- 2021-06-30 发布
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2.2.2
反 证 法
问题
引航
1.
反证法的定义是什么
?
有什么特点
?
2.
利用反证法证题的关键是什么
?
步骤是什么
?
反证法的定义及证题的关键
不成立
假设
错误
原命题成立
已知条件
假设
定义
定理
公理
事实
1.
判一判
(
正确的打“√”
,
错误的打“
×”)
(1)
反证法属于间接证明问题的方法
.
(
)
(2)
反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理
.
(
)
(3)
反证法的实质是否定结论导出矛盾
.
(
)
【
解析
】
(1)
正确
.
反证法其实是证明其逆否命题成立
,
所以它属于间接证明问题的方法
.
(2)
错误
.
反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理
.
(3)
正确
.
否定结论导出矛盾就是反证法的实质
,
从而肯定原结论
.
答案
:
(1)√
(2)×
(3)√
2.
做一做
(
请把正确的答案写在横线上
)
(1)
已知
a≠0,
证明关于
x
的方程
ax=b
有且只有一解
,
适宜用
证明
.
(2)
用反证法证明命题
“
a,b∈N,
如果
ab
可被
5
整除
,
那么
a,b
至少有一个能被
5
整除
”
,
则假设的内容是
.
(3)
用反证法证明命题
“
如果
a>b,
则
”
时
,
假设的
内容是
.
【
解析
】
(1)
当直接证明比较困难时
,
可以采用反证法
,
本题即
属于此类型
,
需用反证法证明比较合适
.
答案
:
反证法
(2)
“
至少有一个
”
的否定是
“
一个也没有
”
,
即
a,b
至少有一
个能被
5
整除的否定是
a,b
都不能被
5
整除
.
答案
:
a,b
都不能被
5
整除
与 的关系有三种情况
: > , =
和
< ,
所以
“
>
”
的反设应为
“
=
或
<
”
,
即
“
≤
”
.
答案
:
≤
【
要点探究
】
知识点
反证法
1.
对反证法的两点说明
(1)
反证法不是直接去证明结论
,
而是先否定结论
,
在否定结论的基础上
,
运用演绎推理
,
导出矛盾
,
从而肯定结论的真实性
.
(2)
反证法属逻辑方法范畴
,
它的严谨体现在它的原理上
,
即
“
否定之否定等于肯定
”
,
其中第一个否定是指
“
否定结论
(
假设
)
”
;
第二个否定是指
“
逻辑推理的结果否定了假设
”
.
反证法属
“
间接
解题方
法
”
,
书写格式易错之处是
“
假设
”
易错写成
“
设
”
.
2.
反证法证题的实质、常用的反证方法及应用时的注意点
(1)
实质
:
用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾
,
从而证明原结论正确
.
否定结论时
,
对结论的反面要一一否定
,
不能遗漏
.
(2)
常用的反证方法
:
否定一个反面的反证法称为归谬法
,
否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法
.
(3)
注意点
:
要注意用反证法证题时
,
“
否定结论
”
在推理论证中作为已知使用
,
导出矛盾是指在假设的前提下
,
逻辑推理结果与
“
已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实
”
等相矛盾
.
【
微思考
】
(1)
用反证法证明命题
“
若
p,
则
q
”
时
,
为什么
q
假
,q
就真
?
提示
:
在证明数学命题时
,
要证明的结论要么正确
,
要么错误
,
二者必居其一
,
所以命题结论
q
的反面
q
错误时
,q
就一定正确
.
(2)
反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关吗
?
提示
:
有关
.
反证法的原理为
“
互为逆否命题的两个命题真假
一致
”
,
即
:
“
p⇒q
”
⇔
“
q⇒ p
”
.
【
即时练
】
1.(2014
·
西安高二检测
)
应用反证法推出矛盾的推导过程中
,
要把下列哪些作为条件使用
(
)
①
结论的否定即假设
;②
原命题的条件
;③
公理、定理、定义等
;④
原命题的结论
A.①② B.①②④
C.①②③ D.②③
2.(2014·
山东高考
)
用反证法证明命题:“已知
a,b
为实数,则方程
x
2
+ax+b=0
至少有一个实根”时,要做的假设是
( )
A.
方程
x
2
+ax+b=0
没有实根
B.
方程
x
2
+ax+b=0
至多有一个实根
C.
方程
x
2
+ax+b=0
至多有两个实根
D.
方程
x
2
+ax+b=0
恰好有两个实根
【解析】
1.
选
C.
由反证法的定义知
,
可把①②③作为条件使用
,
而④原命题的结论是不可以作为条件使用的
.
2.
选
A.
“
方程
x
2
+ax+b=0
至少有一个实根
”
的反面是
“
方程
x
2
+ax+b=0
没有实根
.
”
故选
A.
【
题型示范
】
类型一
用反证法证明否定性命题
【典例
1】
(1)(2014
·
广州高二检测
)
用反证法证明
:
“
若方程
ax
2
+bx+c=0,
且
a,b,c
都是奇数
,
则方程没有整数根
”
,
正确的假设是方程存在实数根
x
0
为
(
)
A.
整数
B.
奇数或偶数
C.
自然数或负整数
D.
正整数或负整数
(2)
已知三个正整数
a,b,c
成等比数列
,
但不成等差数列
,
求证
:
不成等差数列
.
【
解题探究
】
1.
题
(1)
中所要证明的命题的结论是什么
?
2.
题
(2)
中 不成等差数列的反设是什么
?
【
探究提示
】
1.
所要证明的命题的结论是
“
方程没有整数根
”
.
2.
假设 成等差数列
.
【
自主解答
】
(1)
选
A.
其反设应该是假设方程存在整数根
x
0
.
(2)
假设 成等差数列
,
则
即
a+c+2 =4b.
又
a,b,c
成等比数列
,
所以
b
2
=ac,
即
b= ,
所以
a+c+2 =4 ,
所以
a+c-2 =0,
即
( )
2
=0,
所以
,
从而
a=b=c,
所以
a,b,c
可以成等差数列
,
这与已知中
“
a,b,c
不成等差数列
”
相矛盾
.
原假设错误
,
故 不成等差数列
.
【
方法技巧
】
1.
用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有
“
不
”“
不是
”“
不可能
”“
不存在
”
等词语的命题称为否定性命题
,
此类问题的正面比较模糊
,
而反面比较具体
,
适合使用反证法
.
2.
用反证法证明数学命题的步骤
【
变式训练
】
若
x,y,z∈(0,2),
求证
:x(2-y),y(2-z),z(2-x)
不可能都大于
1.
【
解题指南
】
此类问题的常用方法是考虑问题的反面
,
即
“
不都
”
的反面为
“
都
”
,
可用反证法来处理
.
【证明】
假设
x(2-y)>1,
且
y(2-z)>1,
且
z(2-x)>1
均成立
,
则三式相乘有
xyz(2-x)(2-y)(2-z)>1,
①
由于
00,
即
a+b+c>0
与
a+b+c≤0
矛盾
,
所以假设不成立
,
即
a,b,c
中至少有一个大于
0.
【
延伸探究
】
本例题
(1)
改为
“
任何三角形的内角至少有一个大于或等于
60°
”
的否定为
.
【
解析
】
“
至少有一个大于或等于
60°
”
的否定是
“
三个内角都小于
60°
”
.
答案
:
存在一个三角形
,
其三个内角都小于
60°
【
方法技巧
】
1.
用反证法证明
“
若
p,
则
q
”
的过程
2.
应用反证法常见的
“
结论词
”
与
“
反设词
”
当命题中出现
“
至多
”“
至少
”
等词语时
,
直接证明不易入手且讨论较复杂
.
这时
,
可用反证法证明
,
证明时常见的
“
结论词
”
与
“
反设词
”
如下
:
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有
x
成立
存在某个
x
0
不成立
至多有一个
至少有两个
对任意
x
不成立
存在某个
x
0
成立
至少有
n
个
至多有
n-1
个
p
或
q
p
且
q
至多有
n
个
至少有
n+1
个
p
且
q
p
或
q
【
变式训练
】
已知
a,b,c
是互不相等的实数
,
求证
:
由
y
1
=ax
2
+2bx+c,y
2
=bx
2
+2cx+a
和
y
3
=cx
2
+2ax+b
确定的三条抛物线至少有一条与
x
轴有两个不同的交点
.
【
证明
】
假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与
x
轴有两个不同的交点
,
由
y
1
=ax
2
+2bx+c,y
2
=bx
2
+2cx+a,y
3
=cx
2
+2ax+b,
得
Δ
1
=(2b)
2
-4ac≤0,
且
Δ
2
=(2c)
2
-4ab≤0,
且
Δ
3
=(2a)
2
-4bc≤0.
同向不等式求和得
:
4b
2
+4c
2
+4a
2
-4ac-4ab-4bc≤0,
所以
2a
2
+2b
2
+2c
2
-2ab-2bc-2ac≤0.
所以
(a-b)
2
+(b-c)
2
+(a-c)
2
≤0.
所以
a=b=c.
这与题设
a,b,c
互不相等矛盾
,
因此假设不成立
,
从而命题得证
.
【
补偿训练
】
用反证法证明
:
关于
x
的方程
x
2
+4ax-4a+3=0,
x
2
+(a-1)x+a
2
=0,x
2
+2ax-2a=0,
当
a≤-
或
a≥-1
时
,
至少有一个方程有实数根
.
【
证明
】
假设三个方程都没有实数根,则由判别式都小于零
,
得
解得
- ∠BC′D,∠A+∠C>180°,
与∠
A+∠C=180°
矛盾
,
所以假设不成立
;
若点
C
在☉
O
外
,
则∠
C<∠BC′D,∠A+∠C<180°,
与∠
A+∠C=180°
矛盾
,
所以假设不成立
.
综上所述
,
如果四边形
ABCD
的对角互补
,
那么四边形
ABCD
是圆内接四边形
.