命题角度1-1 等差等比数列通项公式与前n项和公式的应用-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列 8页

‎2018届高考数学（理）大题狂练 命题角度1 等差等比数列通项公式与前n项和公式的应用 ‎1.已知等差数列， ，公差，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】试题分析 ：(1)由等差数列的通项公式和等比数列的性质可得的关系,再结合,可求得;‎ ‎(2) ∵，分和两种情况求和即可.‎ 试题解析：（1）∵成等比数列，∴，即，‎ ‎∴，又， ，∴，∴.‎ 点睛：本题考查了数列通项的求法和数列求和，（1）中是由等差数列的通项公式和等比数列的性质可得的关系,再结合,可求得;‎ ‎(2)的求和，采用的是分段求和，因为，分和两种情况去掉绝对值求 和即可.‎ ‎2. 已知数列‎{an}‎的前n项和为Sn，a‎1‎‎=‎‎3‎‎4‎，Sn‎=Sn-1‎+an-1‎+‎‎1‎‎2‎（n∈‎N‎*‎且n≥2‎），数列‎{bn}‎满足：b‎1‎‎=-‎‎37‎‎4‎，且‎3bn-bn-1‎=n+1‎（n∈‎N‎*‎且n≥2‎）.‎ ‎（Ⅰ）求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求证：数列‎{bn-an}‎为等比数列；‎ ‎（Ⅲ）求数列‎{bn}‎的前n项和的最小值.‎ ‎【答案】（1）‎1‎‎2‎n+‎‎1‎‎4‎（2）见解析（3）‎‎-‎‎34‎‎3‎ 试题解析：（Ⅰ）由Sn‎=Sn-1‎+an-1‎+‎‎1‎‎2‎得Sn‎-Sn-1‎=an-1‎+‎‎1‎‎2‎ 即an‎-an-1‎=‎‎1‎‎2‎（n≥2‎且n∈‎N‎*‎）‎ 则数列‎{an}‎为以为公差的等差数列 因此an‎=‎3‎‎4‎+(n-1)×‎‎1‎‎2‎ ‎‎=‎1‎‎2‎n+‎‎1‎‎4‎ ‎（Ⅱ）证明：因为‎3bn-bn-1‎=n+1‎（n≥2‎）‎ 所以bn‎=‎1‎‎3‎bn-1‎+‎1‎‎3‎(n+1)‎（n≥2‎）‎ bn‎-an=‎1‎‎3‎bn-1‎+‎1‎‎3‎(n+1)‎‎ ‎-‎1‎‎2‎n-‎1‎‎4‎=‎‎1‎‎3‎bn-1‎ ‎-‎1‎‎6‎n+‎1‎‎12‎=‎‎1‎‎3‎ ‎(bn-1‎-‎1‎‎2‎n+‎1‎‎4‎)‎（n≥2‎）‎ bn-1‎‎-an-1‎=bn-1‎-‎‎ ‎1‎‎2‎‎(n-1)-‎1‎‎4‎=‎ bn-1‎‎-‎1‎‎2‎n+‎‎1‎‎4‎（n≥2‎）‎ 所以bn‎-an=‎1‎‎3‎(bn-1‎-an-1‎)‎（n≥2‎）‎ 因为b‎1‎‎-a‎1‎=-10≠0‎ 所以数列‎{bn-an}‎是以‎-10‎为首项，为公比的等比数列.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）得bn‎-an=-10×‎‎(‎1‎‎3‎)‎n-1‎ 所以bn‎=an-10×‎(‎1‎‎3‎)‎n-1‎=‎ ‎‎1‎‎2‎n+‎1‎‎4‎-10×‎‎(‎1‎‎3‎)‎n-1‎ bn‎-bn-1‎=‎1‎‎2‎n+‎1‎‎4‎-‎‎ ‎10×‎(‎1‎‎3‎)‎n-1‎-‎1‎‎2‎(n-1)‎ ‎-‎1‎‎4‎+10×‎(‎1‎‎3‎)‎n-2‎=‎ ‎1‎‎2‎‎+20×‎(‎1‎‎3‎)‎n-1‎>0‎（n≥2‎）‎ 所以‎{bn}‎是递增数列.‎ 因为当n=1‎时，b‎1‎‎=‎3‎‎4‎-10<0‎，当n=2‎时，‎b‎2‎‎=‎5‎‎4‎-‎10‎‎3‎<0‎ 当n=3‎时，‎b‎3‎‎=‎7‎‎4‎-‎10‎‎9‎>0‎ 所以数列‎{bn}‎从第3项起的各项均大于0，故数列‎{bn}‎的前2项之和最小.‎ 记数列‎{bn}‎的前n项和为Tn，则T‎2‎‎=(‎3‎‎4‎-10)+‎ ‎(‎5‎‎4‎-‎10‎‎3‎)=-‎‎34‎‎3‎.‎ ‎3.对于数列 .‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由化简得，利用累加法求得，对利用配凑法求得通项公式为；（2）化简，这是等差数列除以等比数列，故用错位相减求和法求得前项和为.‎ 试题解析：‎ ‎（1） , ‎ ,所以的通项公式为.‎ 由，得是等比数列，首项为，公比为 ‎，所以，所以的通项公式为.‎ 考点：递推数列求通项，错位相减法.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查递推数列求通项的方法，考查了累加法和配凑法，考查了错位相减求和法.对于来说，化简题目给定的含有的表达式后，得到，这个是累加法的标准形式，故用累加法求其通项公式，对于来说，由于，则采用配凑法求其通项公式，对于来说，由于它是等差数列除以等比数列，故用错位相减求和法求和.‎ ‎4.已知数列的前项和，数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正实数，使得为等比数列？并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）,两式相减可得,即数列是等差数列，进而可得通项公式；（2），两式相除可得，即等比数列，求出 ，得到值再进行验证.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题设，,两式相减可得 ，由于，可得，所以的公差为2，故.‎ ‎（2）由题设，，两式相除可得，即都是以4为公比的等比数列.因为，所以，由及，可得，又，所以. ‎ 所以，即，则，‎ 因此存在，使得数列为等比数列.‎ 考点：1、等差数列的定义及通项公式；2、等比数列的定义及性质.‎ ‎5.已知数列的前项和，且是等比数列的前两项，记与之间包含的数列的项数为，如与之间的项为，则.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和. ‎ ‎【答案】（1） ，；（2）.‎ 试题解析： （1）由题意知，，，‎ 两式作差得，即，‎ ‎∴，则，，‎ ‎∴，，， ‎ ‎∴.‎ ‎ （2） ，，‎ ‎∵数列是由连续的奇数组成的数列，而和都是奇数，‎ ‎∴与之间包含的奇数个数为，‎ ‎∴，.‎ 设的前项和为，‎ ，①‎ ，②‎ ①-②得，，‎ 则 ‎∴数列的前项和为.‎ 考点：1.与的关系；2.等差数列的定义与性质；3.等比数列的定义与性质；4.数列求和.‎ ‎【名师点睛】本题考查与的关系、等差数列的定义与性质、等比数列的定义与性质与数列求和，属中档题；解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．‎ ‎6．已知数列满足，，，且数列前项和为．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式及；‎ ‎（Ⅱ）若，求正整数的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ） 试题解析：解：（Ⅰ）当为奇数时，，因此数列的奇数项依次构成以为首项，为公差的等差数列，所以；‎ 当为偶数时，，即，因此数列的偶数项依次构成以为首项，为公比的等比数列，所以；‎ 故，‎ ．‎ ‎（Ⅱ）由，①若（），则，即，‎ 即．‎ ‎②若（），即 即， 为正整数，为正整数，即，即，但此时式为不合题意，‎ 综上．‎ 考点：等差数列与等比数列通项与求和 ‎【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ ‎ ‎