【三维设计】2017届高三数学（理）二轮复习（通用版）课余自主加餐训练 （一）三角函数、解三角形专练 3页

二、大题练规范——5个解答题分类练 ‎(一)三角函数、解三角形专练 ‎1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a－3b)·cos C＝c(3cos B－cos A)．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若c＝a，求角C的大小．‎ ‎2．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m＝(2b，1)，n＝(2a－c，cos C)，且m∥n.‎ ‎(1)若b2＝ac，试判断△ABC的形状；‎ ‎(2)求y＝1－的值域．‎ ‎3．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f＝，且sin B＋sin C＝，求△ABC的面积．‎ ‎4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝5，CD＝5，BD＝2AD.‎ ‎(1)求AD的长；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ 答 案 ‎1．解：(1)由正弦定理得，(sin A－3sin B)cos C＝sin C(3cos B－cos A)，‎ ‎∴sin Acos C＋cos Asin C＝3sin Ccos B＋3cos Csin B，‎ 即sin(A＋C)＝3sin(C＋B)，‎ 即sin B＝3sin A，∴＝3.‎ ‎(2)由(1)知b＝3a，∵c＝a，‎ ‎∴cos C＝＝＝＝，‎ ‎∵C∈(0，π)，∴C＝.‎ ‎2．解：(1)由已知，m∥n，则2bcos C＝2a－c，‎ 由正弦定理，得2sin Bcos C＝2sin(B＋C)－sin C，‎ 即2sin Bcos C＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C－sin C.‎ ‎ 在△ABC中，sin C≠0，因而2cos B＝1，则B＝.‎ 又b2＝ac，b2＝a2＋c2－2accos B，‎ 因而ac＝a2＋c2－2accos，即(a－c)2＝0，‎ 所以a＝c，△ABC为等边三角形．‎ ‎(2)y＝1－ ‎＝1－ ‎＝1－2cos A(cos A－sin A)‎ ‎＝sin 2A－cos 2A ‎＝sin，其中A∈.‎ 因而所求函数的值域为(－1， ]．‎ ‎3．解：(1)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，‎ 因此f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ 由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得x∈(k∈Z)，‎ 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)由f＝2sin＝2sin A＝，‎ 又A为锐角，所以A＝.‎ 由正弦定理可得2R＝＝＝，sin B＋sin C＝＝(R为△ABC的外接圆半径)，‎ 则b＋c＝×＝13，‎ 由余弦定理可知，cos A＝＝＝，可求得bc＝40，‎ 故S△ABC＝bcsin A＝10.‎ ‎4．解：(1)在△ABC中，因为BD＝2AD，设AD＝x(x>0)，则BD＝2x.在△BCD中，因为CD⊥BC，CD＝5，BD＝2x，所以cos∠CDB＝＝.‎ 在△ACD中，因为AD＝x，CD＝5，AC＝5，‎ 则cos∠ADC＝＝.‎ 因为∠CDB＋∠ADC＝π，‎ 所以cos∠ADC＝－cos∠CDB，‎ 即＝－.‎ 解得x＝5.‎ 所以AD的长为5.‎ ‎(2)由(1)求得AB＝3x＝15，BC＝＝5，‎ sin∠CBD＝＝.‎ 所以S△ABC＝×AB×BC×sin∠CBA＝×15×5×＝.‎