浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题6数列+第43练数列小题综合练 5页

第43练 数列小题综合练 ‎[基础保分练]‎ ‎1.(2019·宁波十校联考)已知数列{an}是等比数列，其公比为q，则“q>1”是“数列{an}为单调递增数列”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.(2019·浙江衢州二中模拟)已知数列{an}是各项为正数的等比数列，点M(2，log2a2)，N(5，log2a5)都在直线y＝x－1上，则数列{an}的前n项和为(　　)‎ A.2n－2 B.2n＋1－2‎ C.2n－1 D.2n＋1－1‎ ‎3.已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80等于(　　)‎ A.32B.64C.256D.±6‎ ‎4.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递增，若数列{an}是等差数列，且a3>0，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＋f(a5)的值(　　)‎ A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负 ‎5.(2018·绍兴柯桥区调研)已知等比数列{an}中有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9等于(　　)‎ A.2B.4C.8D.16‎ ‎6.(2019·温州模拟)数列{an}的前n项的和满足Sn＝an－n，n∈N*，则下列为等比数列的是(　　)‎ A.{an＋1} B.{an－1}‎ C.{Sn＋1} D.{Sn－1}‎ ‎7.两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则等于(　　)‎ A.B.C.D. ‎8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S8＝36，则数列的前n项和为(　　)‎ A. B. C. D. ‎9.(2018·杭州高级中学模拟)已知等差数列{an}中，a1＋a3＝7，设其前n项和为Sn，且S4＝S6，则其公差d＝______，其前n项和Sn取得最大值时n＝________.‎ ‎10.(2019·丽水模拟)等差数列{an}中，a3＋a4＝12，S7＝49.若记[x]表示不超过x的最大整数，(如[0.9]＝0，[2.6]＝2).令bn＝[lg an]，则数列{bn}的前2000项和为________.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.(2019·浙江绍兴一中模拟)已知函数y＝f(x)为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g(x)＝f(x－5)＋x，数列{an}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)＋g(a2)＋…＋g(a9)＝45，则a1＋a2＋…＋a9等于(　　)‎ A.45B.15C.10D.0‎ ‎2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为(　　)‎ A.2B.3C.4D.5‎ ‎3.已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝2(n∈N*且n≥2)，则a81等于 (　　)‎ A.641B.640C.639D.638‎ ‎4.若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足＋＝，则称x1，x2，x3成一个“β等差数列”.已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为( 　　)‎ A.25B.50C.51D.100‎ ‎5.对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S5对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是________.‎ ‎6.(2019·浙江绍兴一中模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且S1，，成等比数列，则Sn＝________，an＝________.‎ 答案精析 基础保分练 ‎1.D　2.C　3.B　4.A　5.C　6.A　7.D　8.B ‎9.－1　5‎ 解析　由S4＝S6，知a5＋a6＝0，‎ 则有 解得 所以an＝＋(n－1)×(－1)＝－n.由－n≥0，得n≤，又n∈N*，所以当n＝5时，Sn取得最大值.‎ ‎10.5445‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a3＋a4＝12，S7＝49，∴2a1＋5d＝12,7a1＋d＝49，解得a1＝1，d＝2.‎ ‎∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，bn＝[lg an]＝[lg(2n－1)]，n＝1,2,3,4,5时，bn＝0.‎ ‎6≤n≤50时，bn＝1；51≤n≤500时，bn＝2；‎ ‎501≤n≤2000时，bn＝3.‎ ‎∴数列{bn}的前2000项和为45＋450×2＋1500×3＝5445.‎ 能力提升练 ‎1.A　[函数y＝f(x)为定义域R上的奇函数，‎ 则f(－x)＝－f(x)，关于点(0,0)中心对称，‎ 那么y＝f(x－5)关于点(－5,0)中心对称，‎ 由等差中项的性质和对称性可知：＝a5－5，‎ 故f(a1－5)＋f(a9－5)＝0，‎ 由此f(a2－5)＋f(a8－5)＝f(a3－5)＋f(a7－5)＝f(a4－5)＋f(a6－5)＝2f(a5－5)＝0，‎ 又g(x)＝f(x－5)＋x，若g(a1)＋g(a2)＋…＋g(a9)＝f(a1－5)＋f(a2－5)＋…＋f(a9－5)＋a1＋a2＋…＋a9＝45，则a1＋a2＋…＋a9＝45，故选A.]‎ ‎2.C　[因为S4＝2(a2＋a3)，所以a2＋a3≥5，‎ 又S5＝5a3，所以a3≤3，而a4＝3a3－(a2＋a3)，故a4≤4，当a2＝2，a3＝3时等号成立，所以a4的最大值为4.]‎ ‎3.B　[因为Sn－Sn－1＝2，‎ 所以－＝2，即{}为等差数列，首项为1，公差为2，‎ 所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，‎ 所以Sn＝(2n－1)2，因此a81＝S81－S80＝1612－1592＝640，故选B.]‎ ‎4.B　[由三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足＋＝，‎ 知消去x2，‎ 并整理得(2x1＋x3)(x1－x3)＝0.‎ 所以x1＝x3(舍去)，x3＝－2x1，‎ 于是有x2＝－x1.‎ 在集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}中，三个元素组成的所有数列必为整数列，‎ 所以x1必为2的倍数，且x1∈[－50,50]，x1≠0，故这样的数组共50组.]‎ ‎5. 解析　由题意，‎ Hn＝＝2n＋1，‎ 则a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n2n＋1.‎ n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)2n，两式相减，‎ 则2n－1an＝n2n＋1－(n－1)2n＝(n＋1)2n，‎ 则an＝2(n＋1)，对a1也成立，‎ 故an＝2(n＋1)，‎ ‎∴an－kn＝(2－k)n＋2，记bn＝an－kn，‎ 则数列{bn}为等差数列，故Sn≤S5对任意的n恒成立化为b5≥0，b6≤0，即解得≤k≤，则实数k的取值范围是.‎ ‎6.2n2　4n－2‎ 解析　由题意知＝S1×，设数列{an}的公差为d，则＝a1·，‎ 又a1＝2，d≠0，解得d＝4，‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝4n－2，‎ Sn＝＝2n2.‎