高二数学人教A版选修4-5 1-1-3三个正数的算术几何平均数导学案x 5页

‎1.1.3 三个正数的算术几何平均数 预习案 一、预习目标及范围 ‎1．探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程．‎ ‎2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．‎ ‎3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．‎ 二、预习要点 教材整理1　三个正数的算术几何平均不等式 ‎1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3 3abc，当且仅当 时，等号成立．‎ ‎2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么 ，当且仅当 时，等号成立．‎ 即三个正数的算术平均 它们的几何平均．‎ 教材整理2　基本不等式的推广 对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均 它们的几何平均，即 ，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．‎ 教材整理3　利用基本不等式求最值 若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么 时，积abc有 值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和 有最小值．‎ 三、预习检测 ‎1.已知a，b，c为正数，则＋＋有(　　)‎ A．最小值为3B．最大值为3‎ C．最小值为2D.最大值为2‎ ‎2.设x＞0，则y＝x＋的最小值为(　　)‎ A．2 B．2 C．3D.3‎ ‎3．函数f(x)＝5x＋(x>0)的最小值为________.‎ 探究案 一、合作探究 题型一、证明简单的不等式 例1 设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)2≥27.‎ ‎【精彩点拨】　根据不等式的结构特点，运用a＋b＋c≥3，结合不等式的性质证明．‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)3≥81.‎ 题型二、用平均不等式求解实际问题 例2如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k.这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？‎ ‎【精彩点拨】　根据题设条件建立r与θ的关系式，将它代入E＝k，得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值．‎ ‎[再练一题]‎ ‎2．制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？‎ 题型三、利用平均不等式求最值 例3已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．‎ ‎【精彩点拨】　为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×，求出最值后再开方．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．若2a＞b＞0，试求a＋的最小值.‎ 二、随堂检测 ‎1．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为(　　)‎ A．3　　　B．2　　　C．12　　　D．12 ‎2．若a＞b＞0，则a＋的最小值为(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D.3‎ ‎3．函数y＝4sin2x·cos x的最大值为________，最小值为________．‎ 参考答案 预习检测：‎ ‎1.【解析】　＋＋≥3＝3，‎ 当且仅当＝＝，即a＝b＝c时，取等号．‎ ‎【答案】　A ‎2.【解析】　y＝x＋＝＋＋≥3·＝3，‎ 当且仅当＝时取“＝”号．‎ ‎【答案】　D ‎3.【解析】　∵f(x)＝5x＋＝x＋x＋≥3＝15.‎ 当x＝，即x＝2时取等号．‎ ‎【答案】　15‎ 随堂检测：‎ ‎1.【解析】　∵x＋2y＋3z＝6，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z ‎≥3＝3＝12.‎ 当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝时，等号成立．‎ ‎【答案】　C ‎2. 【解析】　∵a＋＝(a－b)＋b＋≥3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，∴a＋的最小值为3.故选D.‎ ‎【答案】　D ‎3.【解析】　∵y2＝16sin2 x·sin2x·cos2x ‎＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)‎ ‎≤83‎ ‎＝8×＝，‎ ‎∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，‎ 即tan x＝±时取等号．‎ ‎∴ymax＝，ymin＝－.‎ ‎【答案】　　－