- 741.50 KB
- 2021-06-30 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2016-2017学年辽宁省葫芦岛市高三(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数z= (i为虚数单位)的虚部为( )
A.3 B.﹣3 C.﹣3i D.2
2.设全集U=R,集合A={x|1og2x≤2},B={x|(x﹣3)(x+1)≥0},则(∁UB)∩A=( )
A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,﹣1]∪(0,3) C.[0,3) D.(0,3)
3.已知平面向量,满足()=5,且||=2,||=1,则向量与夹角的正切值为( )
A. B. C.﹣ D.﹣
4.在如下程序框图中,任意输入一次x(0≤x≤1)与y(0≤y≤1),则能输出“恭喜中奖!”的概率为( )
A. B. C. D.
5.某校共有在职教师200人,其中高级教师20人,中级教师100人,初级教师80人,现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研,则抽取的初级教师的人数为( )
A.25 B.20 C.12 D.5
6.在圆x2+y2
﹣4x﹣4y﹣2=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
7.如图,一个几何体的三视图如图所示,则该多面体的几条棱中,最长的棱的长度为( )
A.3 B. C. D.3
8.将函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ(0<φ<)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,若g(x)≤|g()|对x∈R恒成立,则函数y=g(x)的单调递减区间是( )
A.[kπ+,kπ+](k∈Z) B.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)
C.[kπ+,kπ+](k∈Z) D.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)
9.成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中记载有很多数列问题,如“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈. 问日益几何.”意思是:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加( )(其中1匹=4丈,1丈=10尺,1尺=10寸)
A.5寸另寸 B.5寸另寸 C.5寸另寸 D.5寸另寸
10.化简=( )
A.1 B.2 C. D.﹣1
11.设F1,F2分别为双曲线C:的两个焦点,M,N是双曲线C的一条渐近线上的两点,四边形MF1NF2为矩形,A为双曲线的一个顶点,若△AMN的面积为,则该双曲线的离心率为( )
A.3 B.2 C. D.
12.已知函数f(x)的定义域为R,且为可导函数,若对∀x∈R,总有2f(x)+xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),则( )
A.f(x)>0恒成立 B.f(x)<0恒成立
C.f(x)的最大值为0 D.f(x)与0的大小关系不确定
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.如图是函数f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<)的部分图象,则f(3x0)=
14.已知α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同直线,l⊥α,m⊂β.给出下列命题:
①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③m∥α⇒l⊥β; ④l⊥β⇒m∥α.
其中正确的命题是 . (填写所有正确命题的序号).
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2bcosC﹣3ccosB=a,则tan(B﹣C)的最大值为 .
16.若二次函数f(x)=x2+1的图象与曲线C:g(x)=aex+1(a>0)存在公共切线,则实数a的取值范围为 .
三、解答题:本大题共5小题;共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.等比数列{an}的各项均为正数,且a1+2a2=1,a32=4a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn+2=3log2,求数列{anbn}的前n项和.
18.如图,四边形ABCD为矩形,PB=2,BC=3,PA⊥平面ABCD.
(1)证明:平面PCD⊥平面PAD;
(2)当AB的长为多少时,点B到平面ACD的距离为?请说明理由.
19.某调查者从调查中获知某公司近年来科研费支出(xi) 用与公司所获得利润(yi)的统计资料如表:
科研费用支出(xi)与利润(yi)统计表 单位:万元
年份
科研费用支出(xi)
利润(yi)
2011
2012
2013
2014
2015
2016
5
11
4
5
3
2
31
40
30
34
25
20
合计
30
180
(1)由散点图可知,科研费用支出与利润线性相关,试根据以上数据求出y关于x的回归直线方程;
(2)当x=xi时,由回归直线方程=x+得到的函数值记为,我们将ε=|﹣yi|称为误差;
在表中6组数据中任取两组数据,求两组数据中至少有一组数据误差小于3的概率;
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式:
==
, =﹣.
20.已知椭圆Cn: +=n(a>b>0,n∈N*),F1、F2是椭圆C4的焦点,A(2,)是椭圆C4上一点,且•=0;
(1)求Cn的离心率并求出C1的方程;
(2)P为椭圆C2上任意一点,过P且与椭圆C2相切的直线l与椭圆C4交于M,N两点,点P关于原点的对称点为Q;求证:△QMN的面积为定值,并求出这个定值.
21.设函数f(x)=ex﹣ax2+1,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.
(1)求a,b的值;
(2)当x>0时,求证:f(x)≥(e﹣2)x+2.
[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]
22.已知直线l的参数方程为 (t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ﹣).
(1)求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,设点P(0,),求|PA|+|PB|.
[选修4-5:不等式选讲]
23.设函数f(x)=|x﹣4|+|x﹣1|.
(1)解不等式:f(x)≤5;
(2)若函数g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.
2016-2017学年辽宁省葫芦岛市高三(上)期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数z= (i为虚数单位)的虚部为( )
A.3 B.﹣3 C.﹣3i D.2
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案.
【解答】解:z==,
复数z= (i为虚数单位)的虚部为:﹣3.
故选:B.
2.设全集U=R,集合A={x|1og2x≤2},B={x|(x﹣3)(x+1)≥0},则(∁UB)∩A=( )
A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,﹣1]∪(0,3) C.[0,3) D.(0,3)
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】根据题意,先求出集合A,B,进而求出B的补集,进而根据交集的定义,可得答案.
【解答】解:∵集合A={x|1og2x≤2}=(0,4],
B={x|(x﹣3)(x+1)≥0}=(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞),
∴CUB=(﹣1,3),
∴(CUB)∩A=(0,3),
故选:D
3.已知平面向量,满足()=5,且||=2,||=1,则向量与夹角的正切值为( )
A. B. C.﹣ D.﹣
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据平面向量数量积的定义,即可求出向量、的夹角θ以及θ的正切值.
【解答】解:设、的夹角为θ,则θ∈[0,π],
又()=5,||=2,||=1,
∴+•=22+2×1×cosθ=5,
解得cosθ=,
∴θ=,
∴tanθ=,
即向量与夹角的正切值为.
故选:B.
4.在如下程序框图中,任意输入一次x(0≤x≤1)与y(0≤y≤1),则能输出“恭喜中奖!”的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】程序框图.
【分析】根据查询框图转化为几何概型进行计算即可.
【解答】解:程序框图对应的不等式组为,
则“恭喜中奖!满足条件为y≥x+,
作出不等式组对应的平面区域如图:
则正方形的面积S=1×1=1,
D(0,),E(,1),
则△ADE的面积S=××=,
则能输出“恭喜中奖!”的概率为,
故选:A
5.某校共有在职教师200人,其中高级教师20人,中级教师100人,初级教师80人,现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研,则抽取的初级教师的人数为( )
A.25 B.20 C.12 D.5
【考点】分层抽样方法.
【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论.
【解答】解:∵初级教师80人,
∴抽取一个容量为50的样本,用分层抽样法抽取的初级教师人数为,
解得n=20,即初级教师人数应为20人,
故选:B.
6.在圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标与圆的半径,根据图形可知,过点E最长的弦为直径AC,最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD,根据两点间的距离公式求出ME的长度,根据垂径定理得到E为BD的中点,在直角三角形BME中,根据勾股定理求出BE,则BD=2BE,然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积.
【解答】解:把圆的方程化为标准方程得:(x﹣2)2+(y﹣2)2=10,
则圆心坐标为(2,2),半径为,
根据题意画出图象,如图所示:
由图象可知:过点E最长的弦为直径AC,最短的弦为过E与直径AC垂直的弦,则AC=2,MB=,ME==,
所以BD=2BE=2,
又AC⊥BD,
所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10.
故选B
7.如图,一个几何体的三视图如图所示,则该多面体的几条棱中,最长的棱的长度为( )
A.3 B. C. D.3
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是三棱锥,画出它的直观图,求出各条棱长即可.
【解答】解:根据几何体的三视图,得;
该几何体是三棱锥P﹣ABC,如图所示;
PA=4,AB=3+2=5,C到AB中点D的距离为CD=3,
∴PB===,
AC===,
BC==,
PC===,
∴PB最长,长度为.
故选:C.
8.将函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ(0<φ<)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,若g(x)≤|g()|对x∈R恒成立,则函数y=g(x)的单调递减区间是( )
A.[kπ+,kπ+](k∈Z) B.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)
C.[kπ+,kπ+](k∈Z) D.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)
【考点】三角函数的化简求值;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】首先通过三角函数的恒等变换,变换成正弦型函数,进一步利用平移变换,最后根据正弦型函数的单调性求得结果.
【解答】解:f(x)=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位,得到
g(x)=2sin(2x+2φ﹣).
∵g(x)≤|g()|对x∈R恒成立,
∴g()=±1,即2sin(2×+2φ﹣)=±1,
∴φ=kπ+,(k∈Z)
∵0<φ<,
∴φ=,
∴g(x)=2sin(2x+).
令2x+∈[2kπ+,2kπ+π],(k∈Z)
则x∈[kπ+,kπ+](k∈Z)
故选:C.
9.成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中记载有很多数列问题,如“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈. 问日益几何.”意思是:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加( )(其中1匹=4丈,1丈=10尺,1尺=10寸)
A.5寸另寸 B.5寸另寸 C.5寸另寸 D.5寸另寸
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】设该妇子织布每天增加d尺,由等差数列前n项和公式能求出d,再把尺换算成寸即可.
【解答】解:设该妇子织布每天增加d尺,
由题意知,
解得d=尺.
尺=寸=5寸另寸.
故选:A.
10.化简=( )
A.1 B.2 C. D.﹣1
【考点】二倍角的余弦;三角函数中的恒等变换应用.
【分析】用倍角公式化简后,再用诱导公式即可化简求值.
【解答】解: ===2.
故选:B.
11.设F1,F2分别为双曲线C:
的两个焦点,M,N是双曲线C的一条渐近线上的两点,四边形MF1NF2为矩形,A为双曲线的一个顶点,若△AMN的面积为,则该双曲线的离心率为( )
A.3 B.2 C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】设M(x, x),由题意,|MO|=c,则x=a,∴M(a,b),利用△AMN的面积为,建立方程,即可求出双曲线的离心率.
【解答】解:设M(x, x),由题意,|MO|=c,则x=a,∴M(a,b),
∵△AMN的面积为,
∴,
∴4a2(c2﹣a2)=c4,
∴e4﹣4e2+4=0,
∴e=.
故选D.
12.已知函数f(x)的定义域为R,且为可导函数,若对∀x∈R,总有2f(x)+xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),则( )
A.f(x)>0恒成立 B.f(x)<0恒成立
C.f(x)的最大值为0 D.f(x)与0的大小关系不确定
【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算.
【分析】令g(x)=x2f(x),求出函数的导数,得到函数g(x)的单调区间,从而求出函数的最大值,求出答案即可.
【解答】解:令g(x)=x2f(x),
则g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)],
若对∀x∈R,总有2f(x)+xf′(x)<0成立
则x>0时,g′(x)<0,x<0时,g′(x)>0,
故g(x)在(﹣∞,0)递增,在(0,+∞)递减,
故g(x)max=g(0)=0,
故选:C.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.如图是函数f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<)的部分图象,则f(3x0)= ﹣
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】由特殊点的坐标求出φ的值,再利用余弦函数的图象特征求得x0的值,可得要求式子的值.
【解答】解:根据函数f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<)的部分图象,可得cosφ=,∴φ=,
∴f(x)=cos(πx+).
再根据πx0+=,可得x0=,∴f(3x0)=cos(5π+)=﹣cos=﹣,
故答案为:﹣.
14.已知α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同直线,l⊥α,m⊂β.给出下列命题:
①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③m∥α⇒l⊥β; ④l⊥β⇒m∥α.
其中正确的命题是 ①④ . (填写所有正确命题的序号).
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】在①中,由线面垂直的性质定理得l⊥m;在②中,l与m相交、平行或异面;在③中,l与β相交或平行;在④中,由已知得α∥β,从而m∥α.
【解答】解:由α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同直线,l⊥α,m⊂
β,知:
在①中,α∥β⇒l⊥m,由线面垂直的性质定理得l⊥m,故①正确;
在②中,α⊥β⇒l与m相交、平行或异面,故②错误;
在③中,m∥α⇒l与β相交或平行,故③错误;
在④中,l⊥β⇒α∥β⇒m∥α,故④正确.
故答案为:①④.
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2bcosC﹣3ccosB=a,则tan(B﹣C)的最大值为 .
【考点】余弦定理;两角和与差的正切函数.
【分析】使用正弦定理将边化角,化简得出tanB和tanC的关系,代入两角差的正切公式使用基本不等式得出最大值.
【解答】解:∵2bcosC﹣3ccosB=a,
∴2sinBcosC﹣3sinCcosB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,
∴sinBcosC=4cosBsinC,
∴tanB=4tanC.
∴tan(B﹣C)===≤.
故答案为:.
16.若二次函数f(x)=x2+1的图象与曲线C:g(x)=aex+1(a>0)存在公共切线,则实数a的取值范围为 (0,] .
【考点】二次函数的性质.
【分析】设公切线与f(x)、g(x)的切点坐标,由导数几何意义、斜率公式列出方程化简,分离出a后构造函数,利用导数求出函数的单调区间、最值,即可求出实数a的取值范围.
【解答】解:f(x)=x2+1的导数为f′(x)=2x,g(x)=aex+1的导数为g′(x)=aex,
设公切线与f(x)=x2+1的图象切于点(x1,x12+1),
与曲线C:g(x)=aex+1切于点(x2,aex2+1),
∴2x1=aex2==,
化简可得,2x1=,得x1=0或2x2=x1+2,
∵2x1=aex2,且a>0,∴x1>0,则2x2=x1+2>2,即x2>1,
由2x1=aex2,得a==,
设h(x)=(x>1),则h′(x)=,
∴h(x)在(1,2)上递增,在(2,+∞)上递减,
∴h(x)max=h(2)=,
∴实数a的取值范围为(0,],
故答案为:(0,].
三、解答题:本大题共5小题;共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.等比数列{an}的各项均为正数,且a1+2a2=1,a32=4a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn+2=3log2,求数列{anbn}的前n项和.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)设数列{an}的公比为q,通过解方程组可求得a1与q,从而可求数列{an}的通项公式;
(2)利用错位相减法可求得数列{an•bn}的前n项和Sn.
【解答】解:(1)由a32=4a2a6得:a32=4a42∴q2= 即q=
又由a1+2a2=1得:a1=
∴an=()n…
(2)∵bn+2=3log2∴bn+2=3log22n∴bn=3n﹣2
∴cn=(3n﹣2)•()n
∴Sn=1×+4×()2+7×()3+…+(3n﹣5)•()n﹣1+(3n﹣2)•()n …①
Sn=1×()2+4×()3+7×()4+…+(3n﹣5)•()n+(3n﹣2)•()n+1…②
①﹣②得:
Sn=1×+3(()2+()3+…+()n)﹣(3n﹣2)•()n+1
=1×+3×﹣(3n﹣2)•()n+1
=+3×(1﹣()n﹣1)﹣(3n﹣2)•()n+1
Sn=1+3﹣3×()n﹣1﹣(3n﹣2)•()n=4﹣()n(6+3n﹣2)=4﹣()n(3n+4)
即:Sn=4﹣…
18.如图,四边形ABCD为矩形,PB=2,BC=3,PA⊥平面ABCD.
(1)证明:平面PCD⊥平面PAD;
(2)当AB的长为多少时,点B到平面ACD的距离为?请说明理由.
【考点】点、线、面间的距离计算;平面与平面垂直的判定.
【分析】(1)证明:AB⊥平面PAD,根据四边形ABCD为矩形,AB∥CD,得到CD⊥平面PAD,即可证明平面PCD⊥平面PAD;
(2)利用等体积方法,即可求解.
【解答】(1)证明:∵四边形为矩形,∴AB⊥AD
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB
∵PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD
∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD
∴CD⊥平面PAD
又因为CD⊂平面PCD
∴平面PCD⊥平面PAD…
(2)解:设AB=x,则CD=x,PA=,PC=,PD=
∴VB﹣PCD=VP﹣BCD
∴××CD×PD×=××BC×CD×PA
即×x•×=××3x•,
∴=2,解得:x=1
即当AB的长为1时,点B到平面PCD的距离为…
19.某调查者从调查中获知某公司近年来科研费支出(xi) 用与公司所获得利润(yi)的统计资料如表:
科研费用支出(xi)与利润(yi)统计表 单位:万元
年份
科研费用支出(xi)
利润(yi)
2011
2012
2013
2014
2015
2016
5
11
4
5
3
2
31
40
30
34
25
20
合计
30
180
(1)由散点图可知,科研费用支出与利润线性相关,试根据以上数据求出y关于x的回归直线方程;
(2)当x=xi时,由回归直线方程=x+得到的函数值记为,我们将ε=|﹣yi|称为误差;
在表中6组数据中任取两组数据,求两组数据中至少有一组数据误差小于3的概率;
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式:
==, =﹣.
【考点】线性回归方程;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】(1)根据所给的数据,利用最小二乘法需要的6个数据,横标和纵标的平均数,横标和纵标的积的和,与横标的平方和,代入公式求出b的值,再求出a的值,写出线性回归方程.
(2)列举出所有的基本事件再求出满足条件的事件的个数,作商即可.
【解答】解:(1)由题意得如下表格
序号
xi
yi
xi•yi
xi2
1
5
31
155
25
2
11
40
440
121
3
4
30
120
16
4
5
34
170
25
5
3
25
75
9
6
2
20
40
4
=5
=30
xi•yi=1000
xi2=200
===2, =﹣=30﹣2×5=20,
∴回归方程是: =2x+20…
(2)各组数据对应的误差如下表:
序号
xi
yi
ε
1
5
31
30
1
2
11
40
42
2
3
4
30
28
2
4
5
34
30
4
5
3
25
26
1
6
2
20
24
4
基本事件空间Ω为:
Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}
共15个基本事件
事件“至少有一组数据与回归直线方程求得的数据误差小于3”包含的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(5,6),共14个基本事件
∴P=
即在表中6组数据中任取两组数据,两组数据中至少有一组数据与回归直线方程求得的数据误差小于3的概率为;…
20.已知椭圆Cn: +=n(a>b>0,n∈N*),F1、F2是椭圆C4的焦点,A(2,)是椭圆C4上一点,且•=0;
(1)求Cn的离心率并求出C1的方程;
(2)P为椭圆C2上任意一点,过P且与椭圆C2相切的直线l与椭圆C4交于M,N两点,点P关于原点的对称点为Q;求证:△QMN的面积为定值,并求出这个定值.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)椭圆C4的方程为: +=1,由•=0.∴⊥,可得b2,a2即可;
(2)由距离公式得到点P到直线l的距离d,由弦长公式得到MN,△QMN的面积为s=即可得证.
【解答】解:(1)椭圆C4的方程为:C4: +=4 即: +=1
不妨设c2=a2﹣b2 则F2(2c,0)
∵•=0.∴⊥,
∴2c=2, ==
∴c=1,2b2=a,2b4=a2=b2+1,
∴2b4﹣b2﹣1=0,
∴(2b2+1)(b2﹣1)=0,
∴b2=1,a2=2
∴椭圆Cn的方程为: +y2=n
∴e2==,∴e=
椭圆C1的方程为: +y2=1;
(2)设P (x0,y0),由(1)得C2:为: +y2=2,
∴过P且与椭圆C2相切的直线l:.且x02+2y02=4
点P关于原点对称点Q (﹣x0,﹣y0),点P到直线l的距离d=
设M(x1,y1),N(x2,y2)
由.得4x2﹣8x0x+16﹣16y02=0⇒x2﹣2x0x+4﹣4y02=0;
x1+x2=2x0,x1x2=4﹣4y02,
MN=,
∴△QMN的面积为s==4(定值)
21.设函数f(x)=ex﹣ax2+1,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.
(1)求a,b的值;
(2)当x>0时,求证:f(x)≥(e﹣2)x+2.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(1)求出函数的导数,计算f(1),f′(1),求出切线方程即可;
(2)令ϕ(x)=f(x)﹣(e﹣2)x﹣2=ex﹣x2﹣(e﹣2)x﹣1,则ϕ′(x)=ex﹣2x﹣(e﹣2),令t(x)=ϕ′(x),根据函数的单调性证明即可.
【解答】解:(1)f′(x)=ex﹣2ax,f′(1)=e﹣2a,f(1)=e﹣a+1,
∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为:
y﹣e+a﹣1=(e﹣2a)x﹣e+2a,
即:y=(e﹣2a)x+a+1,
由题意:e﹣2a=b,a+1=2,
∴a=1,b=e﹣2…
(2)证明:令ϕ(x)=f(x)﹣(e﹣2)x﹣2=ex﹣x2﹣(e﹣2)x﹣1,
则ϕ′(x)=ex﹣2x﹣(e﹣2),令t(x)=ϕ′(x),
则t′(x)=ex﹣2,
令t′(x)<0得:0<x<ln2 令t′(x)>0得:x>ln2,
∴t(x)=ϕ′(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增
∵t(0)=ϕ′(0)=3﹣e>0,t(1)=ϕ′(1)=0,0<ln2<1,
∴t(ln2)=ϕ′(ln2)<0,
∴存在x0∈(0,1)使t(x0)=ϕ′(x0)=0,
且当x∈(0,x0)或x∈(1,+∞)时,t(x)=ϕ′(x)>0,
当x∈(x0,1)时,t(x)=ϕ′(x)<0,
∴ϕ(x)在(0,x0)上递增,在(x0,1)上递减,在上递增(1,+∞),
又ϕ(0)=ϕ(1)=0,所以有:ϕ(x)≥0,
即f(x)﹣(e﹣2)x﹣2≥0,
∴f(x)≥(e﹣2)x+2…
[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]
22.已知直线l的参数方程为
(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ﹣).
(1)求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,设点P(0,),求|PA|+|PB|.
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【分析】(1)直线l的参数方程为 (t为参数),消去参数t化为普通方程可得,进而得到倾斜角.由曲线C的极坐标方程得到:ρ2=2ρcos(θ﹣),利用ρ2=x2+y2,即可化为直角坐标方程.
(2)将|PA|+|PB|转化为求|AB|来解答.
【解答】解 (1)直线的斜率为,直线l倾斜角为…
由曲线C的极坐标方程得到:ρ2=2ρcos(θ﹣),利用ρ2=x2+y2,得到曲线C的直角坐标方程为(x﹣)2+(y﹣)2=1…
(2)点P(0,)在直线l上且在圆C内部,所以|PA|+|PB|=|AB|…
直线l的直角坐标方程为y=x+…
所以圆心(,)到直线l的距离d=.所以|AB|=,即|PA|+|PB|=…
[选修4-5:不等式选讲]
23.设函数f(x)=|x﹣4|+|x﹣1|.
(1)解不等式:f(x)≤5;
(2)若函数g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】(1)由于|x﹣4|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和,而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5,由此求得不等式
|x﹣4|+|x﹣1|≤5的解集.
(2)函数g(x)=的定义域为R,可得f(x)+2m≠0恒成立,|x﹣4|+|x﹣1|=﹣2m在R上无解,利用|x﹣4|+|x﹣1|≥3,即可求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)由于|x﹣4|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和,
而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5,
故不等式|x﹣4|+|x﹣1|≤5的解集为{x|0≤x≤5}.
(2)函数g(x)=的定义域为R,可得f(x)+2m≠0恒成立,
∴|x﹣4|+|x﹣1|=﹣2m在R上无解,
∵|x﹣4|+|x﹣1|≥3,
∴﹣2m<3,
∴m>﹣.
2017年1月31日