2018年达利教育卓越奖初中学科竞赛高一数学 6页

‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛 高一数学试题 ‎（试卷总分100分；考试时间120分钟）‎ 题号 一 二 三 总分 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 成绩 评卷人 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 ‎1．设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线段，垂足分别为点，，则（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在边长为的正方体中，异面直线与间的距离为（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．方程的实数解为（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如图，在中，点为边上的一点，且.‎ 过点的直线分别交直线于不同的两点.‎ 若，，则的值为（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛高一数学试题 第 6 页 共 6 页 ‎5．若对所有正数，，不等式≤都成立，则的最小值是（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设参数，若动直线：，则直线在平面内所围成的封闭 区域的面积为（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知点上一点，点，分别是圆与 圆上的点，则的最大值为（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为，圆柱的体积为，且，则的最小值为（ ▲ ）‎ A． B． C．1 D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎9．设是定义在上的函数，对任意的，都有≤，‎ ‎≥，如果，则的值为 .‎ ‎10．设常数使得方程在平面直角坐标系中表示两条 相交直线，交点为点. 若点，分别在这两条直线上，且，则 ‎ .‎ ‎11．若为一个平方数，则正整数=_______________.‎ ‎12．已知集合，，定义函数：. 设点，，，的外接圆圆心为点，且，则满足条件的函数有 个．‎ ‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛高一数学试题 第 6 页 共 6 页 三、解答题（本大题共3小题，共40分）‎ ‎13.（12分）已知，的夹角为，，,，，‎ 在时取得最小值，若＜＜，求的取值范围.‎ ‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛高一数学试题 第 6 页 共 6 页 ‎14.（12分）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，.‎ ‎（1）证明：为定值；‎ ‎（2）记的外接圆的圆心为点，定点，对任意实数，试判断以为直径的圆是否恒过点？并说明理由.‎ ‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛高一数学试题 第 6 页 共 6 页 ‎15.（16分）已知函数是定义域和值域都在上的严格增函数，满足，‎ 求的值.‎ ‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛高一数学试题 第 6 页 共 6 页 ‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛高一数学试题 第 6 页 共 6 页