2017-2018学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 10页

‎2017-2018学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校高二下学期期中考试数学（理科）试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.函数的导函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.下列说法错误的是（ ）‎ A．对于命题：，使得，则：，均有 B．若为真命题，则为真命题 C．若命题“若则”为真命题，则其否命题也可能为真命题 D．命题“若方程无实数根，则”的逆否命题为：“若，则方程有实数根” ‎ ‎4.盒中装有9个乒乓球，其中6个白色球，3个红色球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红色球的条件下，第二次也摸出红色球的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.如图所示的程序框图的算法思想来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的，则输入的，不可能是（ ）‎ A．12，18 B．6，6 C．24，32 D．30，42‎ ‎6.某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个编号分别为053，098，则样本中最大的编号为（ ）‎ A．853 B．854 C．863 D．864‎ ‎7.函数在处导数存在且记为，则“是是的极值点”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8.在正方体中，点、分别是棱、的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.如图，矩形的四个顶点依次为，，，，记线段，以及的图象围成的区域（图中阴影部分）为，若向矩形内任意投一点，则点落在区域内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.现有，，，，五位同学全部保送到清华、北大和武大3所大学，若每所大学至少保送1人，且同学必须保送到清华，则不同的保送方案共有（ ）‎ A．36种 B．50种 C．75种 D．100种 ‎11.将二项式展式式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎13.二项式展开式中含项的系数为 （用数字作答）．‎ ‎14.设随机变量，随机变量，则的方差 ．‎ ‎15.设：函数在区间上单调递减；：方程表示焦点在轴上的椭圆.如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.已知函数，若对任意的，且，有恒成立，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.某数学兴趣小组共有12位同学，下图是他们某次数学竞赛成绩（满分100分）的茎叶图，其中有一个数字模糊不清，图中用表示，规定成绩不低于80分为优秀.‎ ‎（1）已知该12位同学竞赛成绩的中位数为78，求图中的值；‎ ‎（2）从该12位同学中随机选3位同学，进行竞赛试卷分析，设其中成绩优秀的人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎18.如图1，在直角梯形中，，，且.现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19.某食品店为了了解气温对某食品销售量的影响，记录了该店1月份中某5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎（1）求与之间的线性回归方程，并预测最低气温为时的日销售量；‎ ‎（2）设该地1月份的日最低气温，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，试求.‎ 附：①，；‎ ‎②，，若，则，，.‎ ‎20.某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费（百万元），可增加的销售额为（百万元）.‎ ‎（1）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）‎ ‎（2）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.‎ ‎21.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个300元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图.以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎（1）求的分布列；‎ ‎（2）若要求，试确定的最小值；‎ ‎（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？‎ ‎22.已知函数（其中），（其中为自然对数的底数）.‎ ‎（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的单调区间和极值；‎ ‎（2）若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.‎ 鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2018年春季期中联考 高二数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1-5: DCBAC 6-10: CBADB 11、12：AC 二、填空题 ‎13. -10 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.【解析】（1）若，则中位数，不符合；若，则中位数，得，符合，所以.‎ ‎（2）因该12位同学竞赛成绩为优秀的有4人，故的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望为.‎ ‎18.【解析】（1）证明：取中点，连结，.‎ 在中，，分别为，的中点，所以，‎ 且.由已知，，‎ 所以，且.所以四边形为平行四边形.‎ 所以.又因为平面，且平面，所以平面.‎ ‎（2）在正方形中，又平面与平面垂直，且交线为，所以平面，以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，所以，‎ ‎，，设平面的法向量为，则，所以，取，得，，所以，同理可求平面的一个法向量为，从而，‎ 由图易知二面角为钝角，故其余弦值为.‎ ‎19.【解析】（1）由题意得，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎，故回归方程是，‎ 将代入回归方程可预测该店当日的销售量千克，从而所求回归方程是，预测最低气温为的销售量为12.92千克.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴，‎ 所以 ‎，‎ 即.‎ ‎20.【解析】（1）设投入广告费（百万元）后由此增加的收益为（百万元），则，.所以当时，，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大.‎ ‎（2）设用于技术改造的资金为（百万元），则用于广告促销的费用为（百万元），则由此两项所增加的收益为.‎ 对求导，得，令，得或（舍去）.当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减，∴当时，.‎ 故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为百万元.‎ ‎21.【解析】（1）每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11，记事件为第一台机器3年内换掉个零件，记事件为第二台机器3年内换掉个零件，由题知，，则的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22，且；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 从而的分布列为 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎（2）要，∵，，‎ 则的最小值为19；‎ ‎（3）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当时，费用的期望为元，当时，费用的期望为元，若要费用最少，所以应选用.‎ ‎22.【解析】（1）函数的定义域为，，‎ 在处的切线斜率为，由，∴，‎ ‎∴，，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.从而的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，有极小值，没有极大值；‎ ‎（2）由，，当时，，单调递增，故有最小值，‎ 因为对任意，总存在使得，‎ 即成立，所以对任意，都有，‎ 即，‎ 也即成立，从而对任意，都有成立，‎ 构造函数，则，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴的最大值为，∴，综上，实数的取值范围为.‎ ‎ ‎