2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试 数学（理） Word版 7页

‎2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试 数学（理） ‎ 命题：刘亮生 审题：郭端香 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试用时120分钟．‎ 一、单选题 ‎1．命题“若,则且”的逆否命题是( D )‎ A． 若,则且B． 若,则或 C． 若且,则D． 若或,则 ‎2已知抛物线方程为，则该抛物线的焦点坐标为( C )‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．下列命题错误的是（B ）‎ A． 命题“ ，”的否定是“，”;‎ B． 若是假命题，则，都是假命题 C． 双曲线的焦距为 D． 设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且 ‎4．与椭园共焦点且渐近线方程为的双曲线的标准方程为( D ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是( C )‎ A． (1，+∞) B． (－∞，3) C． (1，3) D． ‎ ‎6．直线截圆所得弦的长度为4，则实数的值是（ A）‎ A． －3 B． －4 C． －6 D． ‎ ‎7．方程表示的曲线是( D )‎ A． 两条直线 B． 两条射线 C． 两条线段 D． 一条直线和一条射线 ‎8．已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为（ C ）‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎9．如图，空间四面体的每条边都等于1，点，分别是，的中点，则等于（A ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的动点，则 的最小值为（B ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱ABC—A1B1C1 中，D,E 分别为BB1,A1C1 的中点，则异面直线AD,CE 所成角的余弦值为（C）‎ A． B． C． D． ì ‎12．为双曲线上一点，分别为的左、右焦点，，若外接圆半径与其内切圆半径之比为，则的离心率为（D）‎ A． B． 2 C． 或 D． 2或3‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C B D C A D C A B C D 二、 填空题 ‎13．已知O为空间任意一点，A,B,C,D四点满足任意三点不共线，但四点共面，‎ 且,则__________；‎ ‎【答案】-1‎ ‎14．有下列几个命题:‎ ‎①“若,则”的否命题;②“若,则,互为相反数”的逆命题;‎ ‎③“若,则”的逆否命题;④ “若,则有实根”的逆否命题;‎ 其中真命题的序号是_____.‎ ‎【答案】②③④‎ 15． ‎15．已知点在椭圆上，则的最大值为___________；‎ ‎【答案】4‎ 16． 已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点为其右焦点，若,设,且，则椭圆的离心率的取值范围为______________‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎17．已知，已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：“函数在上为单调增函数．若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数 的取值范围．‎ ‎【答案】或 ‎【试题解析】‎ 若为真命题，则 解得若为真命题，则即,‎ 若“或”为真命题，“且”为假命题，则一真一假.‎ 当时，由得 ,当时，由得 综上，实数 的取值范围是或 ‎18．已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：‎ ‎①；②；③与垂直.　‎ ‎（1）求向量的坐标；‎ ‎（2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)或；(2).‎ ‎（1）设，则由题可知解得或 所以或.‎ ‎（2）因为向量与向量共线，所以.　‎ 又，，所以，，‎ 所以，且，，‎ 所以与夹角的余弦值为.‎ ‎19．如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且.‎ ‎（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的长度.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎（1）设点的坐标为，点的坐标为，由已知得.∵在圆上，，‎ 即，整理得，即的方程为.‎ ‎（2）过点且斜率为的直线方程为，‎ 设直线与的交点为，，将直线方程代入的方程，‎ 得，即.∴x1+x2=3，x1•x2=-8∴线段的长度为 ‎.‎ ‎∴直线被所截线段的长度为.‎ ‎20．如图所示，四棱锥中，底面，，，，，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：因为，，，所以，，‎ 在中，，，，由余弦定理可得：解得：所以，所以是直角三角形，又为的中点，所以又，所以为等边三角形，所以，所以，又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）解：由（1）可知，以点为原点，以,，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，.‎ 所以，，.‎ 设为平面的法向量，则，即 设，则，，即平面的一个法向量为，‎ 所以,所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎21．已知为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎(2)过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点，中点为，‎ 若，求实数 ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析 ‎【解析】：（1）根据已知条件得，∴焦点坐标为，‎ ‎∵轴，∴在直角三角形中，，解得，‎ 于是所求双曲线方程为.‎ （2） ‎①当直线的斜率不存在时，则，于是，此时，‎ ‎②当直线的斜率存在时，设的方程为切线与的交点坐标为，‎ 于是有消去化成关于的二次为.‎ ‎∵为的中点，∴即坐标为 则，又点到直线的距离为，.代入得：，，故.‎ ‎22．已知抛物线：（）与椭圆：相交所得的弦长为 ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设，是上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且为定值（）时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线恒过定点．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设抛物线与椭圆交于，两点．由椭圆的对称性可知，，， 将点代入抛物线中，得， ‎ 再将点代入椭圆中，得，解得．故抛物线的标准方程为． ‎ ‎（Ⅱ）设点，，由题意得（否则，不满足），且，，‎ 设直线，的方程分别为，， 联立，解得，‎ ‎，联立，解得，； 则由两点式得，直线的方程为．‎ 化简得．①因为，由，得，得，②将②代入①，化简得，得．‎ 得，得，得，‎ 即．令，不管取何值，都有．所以直线恒过定点． ‎ 考点：（1）轨迹方程；（2）直线过定点；（3）直线与圆的位置关系.‎