2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第二章　第8讲　函数与方程 6页

‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2020·河南商丘九校联考)函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选B.要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B.‎ ‎2．函数y＝x－4·的零点所在的区间是(　　)‎ A．(0，1) B．(1，2)‎ C．(2，3) D．(3，4)‎ 解析：选B.因为y＝f(x)＝x－4＝x－是R上连续递增的函数，且f(1)＝1－2<0，f(2)＝2－1>0，所以f(1)·f(2)<0，故函数y＝x－4·的零点所在的区间为(1，2)．故选B.‎ ‎3．(2020·福建晋江四校联考)设函数y＝log3x与y＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)‎ A．(0，1) B．(1，2)‎ C．(2，3) D．(3，4)‎ 解析：选C.令m(x)＝log3x＋x－3，则函数m(x)＝log3x＋x－3的零点所在的区间即为函数y＝log3x与y＝3－x的图象的交点的横坐标所在的区间．因为m(x)＝log3x＋x－3递增且连续，且满足m(2)m(3)<0，所以m(x)＝log3x＋x－3的零点在(2，3)内，从而可知方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是(2，3)，即函数y＝log3x与y＝3－x的图象交点的横坐标x0所在的区间是(2，3)．故选C.‎ ‎4．(2020·河南焦作统考)已知函数f(x)＝则函数f(x)在(－6，＋∞)上的零点个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C.由题知函数f(x)＝在(－6，＋∞)上有零点，则或解得x＝2或x＝4或x＝e－6，即函数f(x)在(－6，＋∞)上的零点个数为3.故选C.‎ ‎5．(2020·河北张家口模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝f(x)－mx恰有三个零点，则实数m 的取值范围是(　　)‎ A. B． C．(0，1) D． 解析：选A.g(x)有三个零点，即y＝f(x)与y＝mx的图象有三个交点，作出y＝f(x)和y＝mx的图象如图．当y＝mx与y＝f(x)相切时，设切点坐标为(x0，ln x0)，则解得m＝.则当00)．‎ ‎(1)作出函数f(x)的图象；‎ ‎(2)当00，故x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.故选B.‎ ‎2．(2020·湖南娄底二模)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．e D． 解析：选A.考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，而A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.故选A.‎ ‎3．(2020·湘赣十四校联考)已知函数f(x)＝，有且只有1个零点，则实数a的取值范围是______．‎ 解析：当a>0时，函数y＝ax－3(x>0)必有一个零点，又因为－<0，故a＋2＋a>0，解得a>1；当a＝0时，f(x)＝恰有一个零点；当a<0时，若x>0，则f(x)＝ax－3<0，若x≤0，则f(x)＝ax2＋2x＋a，此时，f(x)恒小于0，所以当a<0时，f(x)无零点，故答案为a＝0或a>1.‎ 答案：a＝0或a>1‎ ‎4．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：‎ 在同一平面直角坐标系内画出函数y＝f(x)和y＝a|x|的图象可知，若满足条件，则a＞0.‎ 当a≥2时，在y轴右侧，两函数图象只有一个公共点，‎ 此时在y轴左侧，射线y＝－ax(x≤0)与抛物线y＝－x2－5x－4(－4＜x＜－1)需相切．‎ 由消去y，‎ 得x2＋(5－a)x＋4＝0.‎ 由Δ＝(5－a)2－16＝0，解得a＝1或a＝9.‎ a＝1与a≥2矛盾，a＝9时，切点的横坐标为2，不符合题意．‎ 当0＜a＜2，此时，在y轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则－a ‎＜－1，即a＞1.故1＜a＜2.‎ 答案：(1，2)‎ ‎5．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝ ‎(1)求g(f(1))的值；‎ ‎(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)利用解析式直接求解得 g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.‎ ‎(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.‎ ‎6．设函数f(x)＝，x∈R且x≠1.‎ ‎(1)求f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)的值；‎ ‎(2)就m的取值情况，讨论关于x的方程f(x)＋x＝m在x∈[2，3]上解的个数．‎ 解：(1)根据题意，函数f(x)＝，则f＝＝＝－，‎ 则f(x)＋f＝0，‎ 则f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)＝f＋f(10)＋f＋f(8)＋f＋f(6)＋f＋f(4)＝0.‎ ‎(2)根据题意，设g(x)＝f(x)＋x＝＋x＝(x－1)＋＋2，‎ 令t＝x－1，又由x∈[2，3]，则t∈[1，2]，‎ 则设h(t)＝t＋＋2，有h′(t)＝1－＝，‎ 分析可得，在区间[1，)上，h(t)递减，在区间[，2]上，h(t)递增；‎ 则h(t)在[1，2]有最小值h()＝2＋2，‎ 且h(1)＝h(2)＝5，‎ 则函数h(t)在区间[1，2]上有最大值5，最小值2＋2，‎ 方程f(x)＋x＝m的解的个数即为函数g(x)与直线y＝m的交点个数，‎ 分析可得，当m＜2＋2时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；‎ 当m＝2＋2时，函数g(x)与直线y＝m有1个交点，方程f(x)＋x＝m有1个解；‎ 当2＋2＜m≤5时，函数g(x)与直线y＝m有2个交点，方程f(x)＋x＝m有2个解；‎ 当m＞5时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；‎ 综上可得，当m＜2＋2或m＞5时，方程f(x)＋x＝m无解；‎ 当m＝2＋2时，方程f(x)＋x＝m有1个解；‎ 当2＋2＜m≤5时方程f(x)＋x＝m有2个解．‎