2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第六章 第1节 平面向量的概念及线性运算 11页

www.ks5u.com 多维层次练32‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．(多选题)已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－，其中结果为零向量的是(　　)‎ A．① B．② ‎ C．③ D．④‎ 解析：由题知结果为零向量的是①④.‎ 答案：AD ‎2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是(　　)‎ A．a＝2b B．a∥b C．a＝－b D．a⊥b 解析：由＋＝0得＝－≠0，即a＝－·|a|≠0，则a与b共线且方向相反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使＋＝0成立．‎ 观察选项，C项中a，b共线且方向相反．‎ 答案：C ‎3．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是(　　)‎ A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 解析：因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，又，有公共点A，所以A，B，D三点共线．‎ 答案：B ‎4．在△ABC中，G为重心，记＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a－b B.a＋b C.a－b D.a＋b 解析：因为G为△ABC的重心，‎ 所以＝(＋)＝a＋b，‎ 所以＝＋＝－b＋a＋b＝a－b.‎ 答案：A ‎5．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)‎ A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a 解析：对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．‎ 答案：B ‎6．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)‎ A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 解析：因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上．‎ 答案：B ‎7.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：因为O为BC的中点，‎ 所以＝(＋)＝(m＋n)＝＋，‎ 因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，所以m＋n＝2.‎ 答案：B ‎8．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O 在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设＝y，因为＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).‎ 因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，‎ 所以y∈，‎ 因为＝x＋(1－x)，‎ 所以x＝－y，所以x∈.‎ 答案：D ‎9.如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有________个．‎ 解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量 相等的向量有，，，共3个．‎ 答案：3‎ ‎10．(2020·武邑中学质检)在锐角△ABC中，＝3 ，＝x＋y(x，y∈R)，则＝________．‎ 解析：由题设可得＋＝3(－)，‎ 即4＝3＋，‎ 亦即＝＋，‎ 则x＝，y＝.故＝3.‎ 答案：3‎ ‎11．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．‎ 解析：因为λa＋b与a＋2b平行，所以 λa＋b＝t(a＋2b)，‎ 即λa＋b＝ta＋2tb，所以 解得 答案： ‎12．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，‎ 因为＝λ1＋λ2，‎ 所以λ1＝－，λ2＝，‎ 因此λ1＋λ2＝.‎ 答案： ‎[B级　能力提升]‎ ‎13．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于(　　)‎ A. B. ‎ C．1 D. 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－，‎ 所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝.‎ 答案：A ‎14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点 D(点O与点D不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)‎ A．(0，1) B．(1，＋∞)‎ C．(1， ] D．(－1，0)‎ 解析：设＝m，则m>1，‎ 因为＝λ＋μ，‎ 所以m＝λ＋μ，‎ 即＝＋，‎ 又知A，B，D三点共线，‎ 所以＋＝1，即λ＋μ＝m，‎ 所以λ＋μ>1.‎ 答案：B ‎15．如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△ABC与△AOC的面积之比为________．‎ 解析：取AC的中点D，连接OD，‎ 则＋＝2，‎ 所以＝－，‎ 所以O是AC边上的中线BD的中点，‎ 所以S△ABC＝2S△OAC，‎ 所以△ABC与△AOC面积之比为2∶1.‎ 答案：2∶1‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎16．(多选题)(2020·山东四校联考)如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且CD＝2DB，点E在边AD上，且AD＝3AE，则(　　)‎ A.＝＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 解析：因为＝＋，＝，＝＋，＝‎ ，＝＋，所以＝－，＝(＋)，所以＝＋＝＋＋，‎ 所以＝(＋＋)，‎ 所以＝＋＋＋＝‎ ＋＋＋＝－.‎ 答案：BD 素养培育直观想象——共线向量定理的推广(自主阅读)‎ 共线定理：已知，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1.‎ 推广形式：如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设＝x＋y(x，y∈R)．‎ 当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.‎ 由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得＝m，则＝m＝mλ＋mμ.‎ 又＝x＋y(x，y∈R)，‎ 所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.‎ 以上过程可逆．‎ 因此得到结论：＝x＋y，‎ 则x＋y＝m(定值)，反之亦成立．‎ ‎[典例1]　如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．‎ 解析：当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈＝[3，4]．‎ 答案：[3，4]‎ ‎[典例2]　如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．‎ 解析：由点D是圆O外的一点，可设＝λ(λ>1)，则＝＋ ‎＝＋λ＝λ＋(1－λ).因为C、O、D三点共线，令＝－μ(μ>1)．‎ 所以＝－－(λ>1，μ>1)．‎ 因为＝m＋n，所以m＝－，n＝－，‎ 所以m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．‎ 答案：(－1，0)‎