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  • 2021-06-30 发布

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破:第二章 第5讲 指数与指数函数

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‎ [基础题组练]‎ ‎1.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是(  )‎ 解析:选A.将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)=1-e|x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A满足上述两个性质.‎ ‎2.(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(  )‎ A.a1,c=0.20.3∈(0,1),所以a0时,f(x)=1-2-x,-f(x)=2-x-1,此时-x<0,则f(-x)=2-x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=2x-1,-f(x)=1-2x,此时-x>0,则f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).即函数f(x)是奇函数,且单调递增,故选C.‎ ‎5.设x>0,且10,所以b>1,‎ 因为bx1,‎ 因为x>0,所以>1,‎ 所以a>b,所以10,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则ab的取值范围是________.‎ 解析:因为函数y=ax-b的图象经过第二、三、四象限,所以函数y=ax-b递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.令x=0,则y=a0-b=1-b,由题意得解得故ab∈(0,1).‎ 答案:(0,1)‎ ‎7.不等式<恒成立,则a的取值范围是________.‎ 解析:由题意,y=是减函数,‎ 因为<恒成立,‎ 所以x2+ax>2x+a-2恒成立,‎ 所以x2+(a-2)x-a+2>0恒成立,‎ 所以Δ=(a-2)2-4(-a+2)<0,‎ 即(a-2)(a-2+4)<0,‎ 即(a-2)(a+2)<0,‎ 故有-20,‎ 等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解,‎ 记g(m)=2am2-m-1,‎ 当a=0时,解为m=-1<0,不成立.‎ 当a<0时,开口向下,对称轴m=<0,‎ 过点(0,-1),不成立.‎ 当a>0时,开口向上,‎ 对称轴m=>0,过点(0,-1),必有一个根为正,综上得a>0.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.已知0aa,babb,所以在ab,ba,aa,bb中最大的是ab.故选C.‎ ‎2.已知函数f(x)=|2x-1|,af(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是(  )‎ A.a<0,b<0,c<0‎ B.a<0,b≥0,c>0‎ C.2-a<2c D.2a+2c<2‎ 解析:选D.‎ 作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图,‎ 因为af(c)>f(b),‎ 结合图象知,00,‎ 所以0<2a<1.‎ 所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,‎ 所以f(c)<1,所以0f(c),‎ 所以1-2a>2c-1,‎ 所以2a+2c<2,故选D.‎ ‎3.设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f ‎(x),则(  )‎ A.K的最大值为0‎ B.K的最小值为0‎ C.K的最大值为1‎ D.K的最小值为1‎ 解析:选D.根据题意可知,对于任意x∈(-∞,1],若恒有fK(x)=f(x),则f(x)≤K在x≤1上恒成立,即f(x)的最大值小于或等于K即可.‎ 令2x=t,则t∈(0,2],f(t)=-t2+2t=-(t-1)2+1,可得f(t)的最大值为1,所以K≥1,故选D.‎ ‎4.设a>0,且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,则实数a的值为________.‎ 解析:令t=ax(a>0,且a≠1),‎ 则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).‎ ‎①当01时,x∈[-1,1],t=ax∈,‎ 此时f(t)在上是增函数.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).综上得a=或3.‎ 答案:或3‎ ‎5.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.‎ 解:(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,‎ 即=0,解得b=1,‎ 所以f(x)=.‎ 又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)==-+,‎ 由上式易知f(x)在R上为减函数,‎ 又因为f(x)是奇函数,‎ 从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).‎ 因为f(x)是R上的减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k.‎ 即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,‎ 从而Δ=4+12k<0,‎ 解得k<-.‎ 故k的取值范围为.‎

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