数学卷·2018届湖北省襄阳五中高二上学期10月月考数学试卷（文科）（解析版） 21页

‎2016-2017学年湖北省襄阳五中高二（上）10月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={y|y=x2﹣2x，x∈A}，则A∪B=（　　）‎ A．[﹣1，2] B．[0，2] C．（﹣∞，2] D．[0，+∞）‎ ‎2．已知，是夹角为60°的两个单位向量，则=2+与=﹣3+2的夹角的正弦值是（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎3．下列说法中不正确的是（　　）‎ A．对于线性回归方程=x+，直线必经过点（，）‎ B．茎叶图的优点在于它可以保存原始数据，并且可以随时记录 C．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变 D．掷一枚均匀硬币出现正面向上的概率是，那么一枚硬币投掷2次一定出现正面 ‎4．定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子：的值是（　　）‎ A． B． C．3 D．4‎ ‎5．设数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1+ba2+ba3+ba4=（　　）‎ A．15 B．60 C．63 D．72‎ ‎6．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．D1O∥平面A1BC1‎ B．D1O⊥平面MAC C．异面直线BC1与AC所成的角为60°‎ D．MO与底面所成角为90°‎ ‎7．在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（　　） A．3 B． C． D．‎ ‎8．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，0] B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞] C．[﹣，] D．[﹣，0]‎ ‎9．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后，所得函数g（x）为奇函数，则函数f（x）在[0，]上的最小值（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎10．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（　　）‎ A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 ‎11．已知x，y均为正数且x+2y=xy，则（　　）‎ A．xy+有最小值4 B．xy+有最小值3‎ C．x+2y+有最小值11 D．xy﹣7+有最小值11‎ ‎12．函数f（x）=，若方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．[0，1） C．（﹣∞，1） D．[0，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．直线x﹣ysinθ+1=0（θ∈R）的倾斜角范围是　　．‎ ‎14．如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为　　． ‎ ‎15．设实数x，y满足，则的最大值是　　．‎ ‎16．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线3x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．‎ ‎（1）求图中a的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．‎ 分数段 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ x：y ‎1：1‎ ‎2：1‎ ‎3：4‎ ‎4：5‎ ‎18．已知两条平行直线l1： x﹣y+1=0与l2： x﹣y+3=0．‎ ‎（1）若直线m经过点（，4），且被l1，l2所截得线段长为2，求直线m的方程；‎ ‎（2）若直线n与l1，l2都垂直，且与坐标轴围成三角形面积是2，求直线n的方程．‎ ‎19．已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．‎ ‎（1）求θ的值；‎ ‎（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．‎ ‎20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．‎ ‎（1）证明：PH⊥平面ABCD；‎ ‎（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；‎ ‎（3）证明：EF⊥平面PAB．‎ ‎21．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且an=2﹣1，n∈N*，数列b1，b2﹣b1，b3﹣b2，…，bn﹣bn﹣1（n≥2）是首项和公比均为的等比数列．‎ ‎（1）求证数列{Sn}是等差数列；‎ ‎（2）若cn=anbn，求数列{an}的前n项和Tn．‎ ‎22．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．‎ ‎（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；‎ ‎（Ⅱ）当时，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省襄阳五中高二（上）10月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={y|y=x2﹣2x，x∈A}，则A∪B=（　　）‎ A．[﹣1，2] B．[0，2] C．（﹣∞，2] D．[0，+∞）‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】分别求出集合A，B的范围，取并集即可．‎ ‎【解答】解：集合A={x|x2﹣2x≤0}=[0，2]，‎ B={y|y=x2﹣2x，x∈A}=[﹣1，0]，‎ 则A∪B=[﹣1，2]，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．已知，是夹角为60°的两个单位向量，则=2+与=﹣3+2的夹角的正弦值是（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】利用数量积的定义和性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，是夹角为60°的两个单位向量，∴ =1， =．‎ ‎∴=（2+）（﹣3+2）==﹣6+2+=﹣．‎ ‎==， ===．‎ ‎∴设=2+与=﹣3+2的夹角为θ，‎ 则cosθ===﹣．‎ ‎∴sinθ==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．下列说法中不正确的是（　　）‎ A．对于线性回归方程=x+，直线必经过点（，）‎ B．茎叶图的优点在于它可以保存原始数据，并且可以随时记录 C．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变 D．掷一枚均匀硬币出现正面向上的概率是，那么一枚硬币投掷2次一定出现正面 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A．利用线性回归方程为=x+的直线必经过样本中心点（，），从而可知A的正误；‎ B．利用茎叶图表示数据有两个优点，可判断B之正误；‎ C．利用方差的概念s2= [++…+]可判断C之正误；‎ D．利用古典概型的性质，可得一枚硬币投掷2次出现的所有可能结果，可判断其正误．‎ ‎【解答】解：A．对于线性回归方程=x+，直线必经过样本中心点（，），故A正确；‎ B．用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示，故B正确；‎ C．由方差公式s2= [++…+]可知，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，故C正确；‎ D．掷一枚均匀硬币出现正面向上的概率是，那么一枚硬币投掷2次，会出现：正正，正反，反正，反反四种可能，故D错误．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子：的值是（　　）‎ A． B． C．3 D．4‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据流程图，a≥b时，a⊗b=a（b+1）；a＜b时，a⊗b=a（b﹣1），可得结论．‎ ‎【解答】解：根据流程图，a≥b时，a⊗b=a（b+1）；a＜b时，a⊗b=a（b﹣1），‎ 可得：‎ ‎=（﹣）⊗（﹣1）+⊗2‎ ‎=（﹣）×（﹣1+1）+×（2﹣1）‎ ‎=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．设数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1+ba2+ba3+ba4=（　　）‎ A．15 B．60 C．63 D．72‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】分别运用等差数列和等比数列的通项公式，求出an，bn，再由通项公式即可得到所求．‎ ‎【解答】解：数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，‎ 则an=3+（n﹣1）×1=n+2，‎ ‎{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，‎ 则bn=2n﹣1，‎ 则ba1+ba2+ba3+ba4=a3+b4+b5+b6‎ ‎=22+23+24+25=60．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．D1O∥平面A1BC1‎ B．D1O⊥平面MAC C．异面直线BC1与AC所成的角为60°‎ D．MO与底面所成角为90°‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】由线面平行的判定证明A正确；由线面垂直的判定说明B正确；由异面直线所成角的概念结合正方体的面对角线相等说明C正确；求出∠MOB为二面角M﹣AC﹣B的平面角，从而得到D错误．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 连接B1D1，交A1C1于N，则可证明OD1∥BN，‎ 由OD1⊄面A1BC1，BN⊂面A1BC1，可得D1O∥面A1BC1，A正确；‎ 由三垂线定理的逆定理可得OD1⊥AC，‎ 设正方体棱长为2，可求得OM2=3，OD12=6，MD12=9，‎ 则OD12+OM2=D1M2，有OD1⊥OM，由线面垂直的判定可得D1O⊥平面AMC，‎ B正确；‎ 由正方体的面对角线相等得到△A1BC1为正三角形，即∠A1C1B=60°，‎ ‎∴异面直线BC1与AC所成的角等于60°，C正确；‎ 因为BO⊥AC，MO⊥AC，∴∠MOB为二面角M﹣AC﹣B的平面角，‎ 显然MO与底面所成的角不是90°，故D不正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（　　） A．3 B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由A的度数求出sinA和cosA的值，根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把b，sinA及已知的面积代入求出c的值，再由cosA，b，c的值，利用余弦定理求出a的值，由a及sinA的值，根据正弦定理求出三角形ABC外接圆的直径2R，根据等比合比性质即可求出所求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵A=60°，b=1，其面积为，‎ ‎∴S=bcsinA=c=，即c=4，‎ ‎∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，‎ ‎∴a=，‎ 由正弦定理得： ===2R==，‎ 则=2R=．‎ 故选B ‎　‎ ‎8．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，0] B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞] C．[﹣，] D．[﹣，0]‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k的取值范围．‎ ‎【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，‎ 由弦长公式得，MN=2≥2，‎ 故d≤1，‎ 即≤1，化简得 8k（k+）≤0，‎ ‎∴﹣≤k≤0，‎ 故k的取值范围是[﹣，0]．‎ 故选：A ‎　‎ ‎9．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后，所得函数g（x）为奇函数，则函数f（x）在[0，]上的最小值（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求出g（x）的解析式，再根据题意求x∈[0，]时的最小值即可．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数解析式为：‎ y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）为奇函数，‎ ‎∴+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z；‎ ‎∵|φ|＜，‎ ‎∴φ=﹣，‎ ‎∴f（x）=sin（2x﹣）；‎ 又x∈[0，]，∴2x∈[0，π]，2x﹣∈[﹣，]，‎ ‎∴﹣≤sin（2x+）≤1；‎ ‎∴函数f（x）在[0，]上的最小值﹣．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（　　）‎ A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 ‎【考点】幂函数的性质．‎ ‎【分析】根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，利用函数f（x）的奇偶性与单调性，求出f（a）+f（b）＞0．‎ ‎【解答】解：根据题意，得 f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，‎ ‎∴m2﹣m﹣1=1，‎ 解得m=2或m=﹣1；‎ 又f（x）在第一象限是增函数，‎ 且当m=2时，指数4×29﹣25﹣1=2015＞0，满足题意；‎ 当m=﹣1时，指数4×（﹣1）9﹣（﹣1）5﹣1=﹣4＜0，不满足题意；‎ ‎∴幂函数f（x）=x2015是定义域R上的奇函数，且是增函数；‎ 又∵a，b∈R，且a+b＞0，∴a＞﹣b，‎ 又ab＜0，不妨设b＜0，‎ 即a＞﹣b＞0，∴f（a）＞f（﹣b）＞0，‎ f（﹣b）=﹣f（b），‎ ‎∴f（a）＞﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知x，y均为正数且x+2y=xy，则（　　）‎ A．xy+有最小值4 B．xy+有最小值3‎ C．x+2y+有最小值11 D．xy﹣7+有最小值11‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由x+2y=xy，得y=，由x、y为正数知x＞2，可得xy=的范围，把选项中的x+2y替换为xy，令xy=t，利用函数的单调性可排除A、B、C；利用基本不等式可判断C的正确性．‎ ‎【解答】解：由x+2y=xy，得y=，‎ 由x、y为正数知，x＞2，‎ xy==（x﹣2）++4≥2+4=8，‎ 当且仅当x﹣2=，即x=4时取等号，‎ ‎∴xy的范围是[8，+∞）．‎ 令t=xy，则t≥8，t+在[8，+∞）单调递增，‎ ‎∴t+的最小值为8+=．排除A、B；‎ x+2y+=xy﹣7++7+7=11，‎ 当且仅当，即或时取等号，‎ ‎∴x+2y+的最小值为11故C正确；‎ xy﹣7+=xy﹣7+，令t=xy，则t≥8，‎ 由上知t﹣7+在[8，+∞）上单调递增，∴t﹣7+的最小值为8﹣7+，排除D．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．函数f（x）=，若方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．[0，1） C．（﹣∞，1） D．[0，+∞）‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】由题知f（x）为分段函数，当x＜0时，由f（x）=f（x+1）可知f（x）为周期函数；当x大于等于0时函数为增函数，而方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不相等的实数根即f（x）与y=﹣x+a由两个交点，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=﹣x+a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，‎ 作出直线l：y=a﹣x，向左平移直线l观察可得函数y=f（x）‎ 的图象与函数y=﹣x+a的图象有两个交点，‎ 即方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不相等的实数根，‎ 即有a＜1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．直线x﹣ysinθ+1=0（θ∈R）的倾斜角范围是　　．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】由直线的倾斜及和斜率的关系，以及正切函数的值域可得．‎ ‎【解答】解：设直线x﹣ysinθ+1=0的倾斜角为α，‎ 当时，则sinθ=0，符合题意，‎ 当时，sinθ≠0，‎ 可得直线的斜率k=，‎ 又∵0＜α＜π，∴或．‎ 综上满足题意的倾斜角范围为：‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为　　． ‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由三视图还原原几何体，再由棱锥体积求解．‎ ‎【解答】解：由三视图还原原几何体如图，‎ 则四棱锥A﹣BCDE是底面为直角梯形，AB为高的四棱锥，‎ 其体积为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．设实数x，y满足，则的最大值是　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】先画出不等式组所表示的平面区域，然后根据的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率，从而可求出的最大值．‎ ‎【解答】解：根据实数x，y满足，画出约束条件，如右图中阴影部分而的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率 当过点A（1，）时斜率最大，最大值为 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线3x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为　　．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】由O向直线3x+y﹣4=0做垂线，垂足为D，当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，此时圆的直径为O（0，0）到直线3x+y﹣4=0的距离，由此能求出圆C面积最小值．‎ ‎【解答】解：∵AB为直径，∠AOB=90°，‎ ‎∴O点必在圆C上，‎ 由O向直线3x+y﹣4=0做垂线，垂足为D，‎ 则当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，‎ 此时圆的直径为O（0，0）到直线3x+y﹣4=0的距离d=，‎ ‎∴此时圆的半径r==，‎ ‎∴圆C面积最小值Smin=πr2==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．‎ ‎（1）求图中a的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．‎ 分数段 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ x：y ‎1：1‎ ‎2：1‎ ‎3：4‎ ‎4：5‎ ‎【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；‎ ‎（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；‎ ‎（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．‎ ‎【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；‎ ‎（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；‎ ‎（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，‎ 数学成绩在[60，70）的人数为：，‎ 数学成绩在[70，80）的人数为：，‎ 数学成绩在[80，90）的人数为：，‎ 所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．‎ ‎　‎ ‎18．已知两条平行直线l1： x﹣y+1=0与l2： x﹣y+3=0．‎ ‎（1）若直线m经过点（，4），且被l1，l2所截得线段长为2，求直线m的方程；‎ ‎（2）若直线n与l1，l2都垂直，且与坐标轴围成三角形面积是2，求直线n的方程．‎ ‎【考点】直线的截距式方程．‎ ‎【分析】（1）求出l1、l2之间的距离，设直线m与l1所成锐角为θ，求解θ=30°，推出直线m的倾斜角为90°或30°，然后求解直线方程．‎ ‎（2）求出直线n的斜率是，设直线n的方程为，利用三角形的面积求解即可．‎ ‎【解答】（1）解：l1、l2之间的距离，‎ 设直线m与l1所成锐角为θ，则，∴θ=30°，‎ 直线m的倾斜角为90°或30°　所以，直线m的方程为或 即或．‎ ‎（2）解：直线l1的斜率是，‎ ‎∵n⊥l，∴直线n的斜率是 设直线n的方程为，令y=0得，令x=0得y=b ‎∴，∴b=±2，‎ ‎∴直线n的方程为或．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．‎ ‎（1）求θ的值；‎ ‎（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．‎ ‎【考点】半角的三角函数；正弦定理的应用．‎ ‎【分析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由三角函数的性质可得答案．‎ ‎（2）先由（1）中结果确定函数f（x）的解析式，然后将A代入求出A的值，再由正弦定理求出最后结果．‎ ‎【解答】解：（1）‎ ‎∵当x=π时，f（x）取得最小值 ‎∴sin（π+θ）=﹣1即sinθ=1‎ 又∵0＜θ＜π，‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）知f（x）=cosx ‎∵，且A为△ABC的内角∴‎ 由正弦定理得知或 当时，，‎ 当时，‎ 综上所述，或 ‎　‎ ‎20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．‎ ‎（1）证明：PH⊥平面ABCD；‎ ‎（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；‎ ‎（3）证明：EF⊥平面PAB．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（1）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，由此能够证明PH⊥平面ABCD．‎ ‎（2）连接BH，取BH中点G，连接EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能够求出三棱锥E﹣BCF的体积．‎ ‎（3）取PA中点M，连接MD，ME，因为E是PB的中点，所以，因为ME，所以MEDF，故四边形MEDF是平行四边形．由此能够证明EF⊥平面PAB．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵AB⊥平面PAD，‎ ‎∴PH⊥AB，‎ ‎∵PH为△PAD中AD边上的高，‎ ‎∴PH⊥AD，‎ ‎∵AB∩AD=A，‎ ‎∴PH⊥平面ABCD．‎ ‎（2）如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，‎ ‎∵E是PB的中点，‎ ‎∴EG∥PH，‎ ‎∵PH⊥平面ABCD，‎ ‎∴EG⊥平面ABCD，‎ 则，‎ ‎∴=‎ ‎（3）证明：如图，取PA中点M，连接MD，ME，‎ ‎∵E是PB的中点，‎ ‎∴ME，‎ ‎∵，‎ ‎∴MEDF，‎ ‎∴四边形MEDF是平行四边形，‎ ‎∴EF∥MD，‎ ‎∵PD=AD，∴MD⊥PA，‎ ‎∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，‎ ‎∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，‎ ‎∴EF⊥平面PAB．‎ ‎　‎ ‎21．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且an=2﹣1，n∈N*，数列b1，b2﹣b1，b3﹣b2，…，bn﹣bn﹣1（n≥2）是首项和公比均为的等比数列．‎ ‎（1）求证数列{Sn}是等差数列；‎ ‎（2）若cn=anbn，求数列{an}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的性质．‎ ‎【分析】（1）由已知条件推导出a1=1，Sn≥1，由，得到，由此能证明数列是等差数列．‎ ‎（2），an=2n﹣1，，由此利用错位相减法和分组法语和法能求出数列{an}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）∵an=2﹣1，n∈N*，‎ ‎∴由，得a1=S1=1，又{an}的各项均为正数，∴Sn≥1，n∈N*，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴数列是等差数列；‎ ‎（2）∵，∴，an=2n﹣1；‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 先求数列的前n项和An，‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎，∴，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎22．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．‎ ‎（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；‎ ‎（Ⅱ）当时，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据已知，容易写出直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．‎ ‎（Ⅱ）过A（﹣1，0）的一条动直线l．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x轴垂直时，进行验证．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|=1．从而解得斜率K来得出直线l的方程为．‎ ‎（Ⅲ）同样，当l与x轴垂直时，要对设t=，进行验证．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定t=的代数表达式，再讨论t是否为定值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知，故kl=3，‎ 所以直线l的方程为y=3（x+1）．‎ 将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．‎ ‎（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣1符合题意；‎ 当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于，‎ 所以|CM|=1．由，解得．‎ 故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．‎ ‎（Ⅲ）当l与x轴垂直时，易得M（﹣1，3），，‎ 又A（﹣1，0）则，，故．即t=﹣5．‎ 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得（1+k2）x2+（2k2﹣6k）x+k2﹣6k+5=0．‎ 则，，‎ 即， =．‎ 又由得，‎ 则．‎ 故t=．‎ 综上，t的值为定值，且t=﹣5．‎ 另解一：连接CA，延长交m于点R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，‎ 故△ANR∽△AMC．于是有|AM|•|AN|=|AC|•|AR|．‎ 由，得|AM|•|AN|=5．‎ 故．‎ 另解二：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m，又CM⊥l，‎ 所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，‎ 由相交弦定理得．‎ ‎　‎ ‎2016年12月25日