2018届二轮复习（理）　计数原理学案（全国通用） 8页

回扣9　计数原理 ‎1．分类加法计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理)．‎ ‎2．分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．‎ ‎3．排列 ‎(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．‎ ‎(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．‎ ‎(3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．‎ ‎(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝1.‎ ‎4．组合 ‎(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．‎ ‎(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．‎ ‎(3)组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1.‎ ‎(4)组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C.‎ ‎5．二项式定理 ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．‎ 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k ‎＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk.‎ ‎6．二项展开式形式上的特点 ‎(1)项数为n＋1.‎ ‎(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.‎ ‎(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.‎ ‎(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.‎ ‎7．二项式系数的性质 ‎(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C.‎ ‎(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k<时，二项式系数是递增的；当k＞时，二项式系数是递减的．‎ 当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大．‎ 当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大．‎ ‎(3)各二项式系数的和 ‎(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.‎ 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.‎ ‎1．关于两个计数原理应用的注意事项 ‎(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．‎ ‎(2)混合问题一般是先分类再分步．‎ ‎(3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．‎ ‎(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．‎ ‎2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：‎ ‎(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．‎ ‎(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．‎ ‎(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．‎ ‎3．排列、组合问题的求解方法与技巧 ‎(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价条件．‎ ‎4．对于二项式定理应用时要注意 ‎(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．‎ 项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．‎ ‎(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系．‎ ‎(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.‎ ‎(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b.‎ ‎1．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为(　　)‎ A．224 B．112‎ C．56 D．28‎ 答案　B 解析　根据分层抽样，从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以抽取2名女生1名男生的方法数为CC＝112.‎ ‎2．5人站成一排，甲、乙两人必须站在一起的不同排法有(　　)‎ A．12种 B．24种 C．48种 D．60种 答案　C 解析　可先排甲、乙两人，有A＝2(种)排法，再把甲、乙两人与其他三人进行全排列，有A＝24(种)排法，由分步乘法计数原理，得共有2×24＝48(种)排法，故选C.‎ ‎3．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有(　　)‎ A．210种 B．420种 C．630种 D．840种 答案　B 解析　‎ 因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女．若选出的3位教师是1男2女，则共有CCA＝180(种)不同的选派方法；若选出的3位教师是2男1女，则共有CCA＝240(种)不同的选派方法，所以共有180＋240＝420(种)不同的方案，故选B.‎ ‎4．将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、清华大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有(　　)‎ A．150种 B．180种 C．240种 D．540种 答案　A 解析　先将5个人分成三组，(3,1,1)或(1,2,2)，分组方法有C＋C＝25(种)，再将三组全排列有A＝6(种)，故总的方法数有25×6＝150(种)．‎ ‎5．(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)‎ A．24 B．48‎ C．60 D．72‎ 答案　D 解析　由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C种选法，再将剩下的4个数字排列有A种排法，则满足条件的五位数有C·A＝72(个)．故选D.‎ ‎6.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为(　　)‎ A．180 B．240‎ C．360 D．420‎ 答案　D 解析　若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2,4两个花池栽同一种颜色的花，或3,5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A种；若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A种，所以最多有A＋2A＋A＝420(种)．‎ ‎7．某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节．在排课时，要求生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为(　　)‎ A．408 B．480‎ C．552 D．816‎ 答案　A 解析　数学在第(1,2)节，从除英语外的4门课中选1门安排在第3节，剩下的任意排，故有CA＝96(种)排法；数学在第(2,3)节，从除英语、生物外的3门课中选1门安排在第1节，从除英语外剩下的3门课中再选1门安排在第4节，剩下的任意排，故有CCA ‎＝54(种)排法；数学在(3,4)，(4,5)，(5,6)情况一样，当英语在第1节时，其他任意排，故有A＝24(种)排法，当英语不在第1节时，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语外剩下的3门中选2门放在数学课前1节和后1节，剩下的任意排，有CAA＝36(种)排法，故共有3×(24＋36)＝180(种)排法；数学在第(6,7)节时，当英语在第一节时，其他任意排，故有A＝24(种)排法，当英语不在第1节，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语外的剩下的3门中选1门放在第5节，剩下的任意排，有CCA＝54(种)排法，故有24＋54＝78(种)排法，根据分类加法计数原理，共有96＋54＋180＋78＝408(种)排法．故选A.‎ ‎8．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)‎ A．－15x4 B．15x4‎ C．－20ix4 D．20ix4‎ 答案　A 解析　由题可知，含x4的项为Cx4i2＝－15x4.故选A.‎ ‎9．在二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为(　　)‎ A．32 B．－32‎ C．0 D．1‎ 答案　C 解析　依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，解得n＝5.‎ 因此，令x＝1，则该二项展开式中的各项系数的和等于5＝0，故选C.‎ ‎10．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a0＋a1＋a2＋…＋an＝126，那么n的展开式中的常数项为(　　)‎ A．－15 B．15‎ C．20 D．－20‎ 答案　D 解析　令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝2×＝2n＋1－2＝126⇒2n＋1＝128⇒2n＋1＝27⇒n＝6，又Tk＋1＝C()6－kk＝C(－1)kx3－k，‎ 所以由3－k＝0，得常数项为－C＝－20.‎ 故选D.‎ ‎11．已知等比数列{an}的第5项是二项式4展开式中的常数项，则a3·a7＝________.‎ 答案　36‎ 解析　4的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4－2k，‎ 令4－2k＝0，得k＝2，∴常数项为C＝6，即a5＝6.‎ ‎∵{an}为等比数列，∴a3·a7＝a＝62＝36.‎ ‎12．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插入方法共有________种．‎ 答案　336‎ 解析　由题意得3本不同的书，插入到原来的5本不同的书中，可分为三步，第一步：先插入第一本，插入到原来5本不同的书排成的一排所形成的6个间隔中，有A＝6(种)方法；第二步：再插入第二本，插入到原来6本不同的书排成的一排所形成的7个间隔中，有A＝7(种)方法；第三步：再插入第三本，插入到原来7本不同的书排成的一排所形成的8个间隔中，有A＝8(种)方法，共有6×7×8＝336(种)不同的插入方法．‎ ‎13．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分别乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有________种．‎ 答案　24‎ 解析　分类讨论，有2种情形．孪生姐妹乘坐甲车，则有CCC＝12(种)乘车方式；孪生姐妹不乘坐甲车，则有CCC＝12(种)乘车方式．根据分类加法计数原理可知，共有24种乘车方式．‎ ‎14．已知(1＋2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________.(用数字作答)‎ 答案　729‎ 解析　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|相当于(1＋2x)6的展开式中各项系数绝对值的和，令x＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝36＝729.‎ ‎15．如果n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是________．‎ 答案　21‎ 解析　n的展开式中各项系数之和为n＝2n＝128，所以n＝7，所以n＝7，其展开式的通项为Tk＋1＝C(3x)7－k·k＝.由7－ ‎＝－3，‎ 得k＝6，所以的系数为(－1)6·31·C＝21.‎ ‎16．(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为________．‎ 答案　－210‎ 解析　(x2－x＋1)10＝[1＋(x2－x)]10的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(x2－x)k，对于(x2－x)k通项公式为 Tm＋1＝Cx2k－2m(－x)m＝(－1)mCx2k－m，‎ 令2k－m＝3且m≤k≤10，m∈N，k∈N，‎ 得k＝2，m＝1或k＝3，m＝3，(x2－x＋1)10的展开式x3系数为CC·(－1)＋CC·(－1)3＝－210.‎