2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练32　等比数列及其前N项和 6页

课时分层训练(三十二)　等比数列及其前n项和 ‎(对应学生用书第259页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)‎ A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 D　[由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.]‎ ‎2．(2018·武汉调研)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)‎ A．12　　　　　　　 B．10‎ C．8 D．2＋log35‎ B　[由等比数列的性质知a5a6＝a4a7＝9，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10)＝log3(a5a6)5＝log395＝10，故选B.]‎ ‎3．(2017·广东深圳一模)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，则＝(　　)‎ A．－3 B．－1‎ C．1 D．3‎ A　[∵等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，‎ ‎∴a1＝S1＝a＋b，a2＝S2－S1＝3a＋b－a－b＝2a，‎ a3＝S3－S2＝9a＋b－3a－b＝6a，∵等比数列{an}中，a＝a1a3，‎ ‎∴(2a)2＝(a＋b)×6a，解得＝－3.故选A.]‎ ‎4．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)‎ A. B．－ C. D． A　[因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.所以a7＋a8＋a9＝.]‎ ‎5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．－3 D．3‎ B　[设公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.‎ ‎∴＝＝qm＝8＝，‎ ‎∴m＝3，∴q3＝8，‎ ‎∴q＝2.]‎ 二、填空题 ‎6．在等比数列{an}中，若a1·a5＝16，a4＝8，则a6＝________.‎ ‎32　[由题意得，a2·a4＝a1·a5＝16，‎ ‎∴a2＝2，∴q2＝＝4，∴a6＝a4q2＝32.]‎ ‎7．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________. ‎ ‎【导学号：79140178】‎ ‎32　[设{an}的首项为a1，公比为q，则 解得 所以a8＝×27＝25＝32.]‎ ‎8．(2017·深圳二次调研)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝__________尺．‎ ‎2n－＋1　[依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n天大老鼠打洞的距离共为＝2n－1.同理可得前n 天小老鼠打洞的距离共为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.]‎ 三、解答题 ‎9．在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn. ‎ ‎【导学号：79140179】‎ ‎[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 则依题意有 解得d＝1或d＝0(舍去)，‎ ‎∴an＝1＋(n－1)＝n.‎ ‎(2)由(1)得an＝n，∴bn＝2n，‎ ‎∴＝2，∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴Tn＝＝2n＋1－2.‎ ‎10．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a2＋a3＝26，S6＝728.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：S－SnSn＋2＝4×3n.‎ ‎[解]　(1)设等比数列{an}的公比为q，由728≠2×26得，S6≠2S3，∴q≠1.‎ 由已知得 解得 ‎∴an＝2×3n－1.‎ ‎(2)证明：由(1)可得Sn＝＝3n－1.‎ ‎∴Sn＋1＝3n＋1－1，Sn＋2＝3n＋2－1.‎ ‎∴S－SnSn＋2＝(3n＋1－1)2－(3n－1)·(3n＋2－1)＝4×3n.‎ B组　能力提升 ‎11．数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N＋，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于(　　)‎ A．1 B．－1‎ C. D．2‎ D　[由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.]‎ ‎12．(2018·江西九校联考)已知正项数列{an}满足a－2a＝anan＋1，若a1＝1，则数列{an}的前n项和Sn＝________. ‎ ‎【导学号：79140180】‎ ‎2n－1　[由a－2a＝anan＋1，得(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0，所以an＋1＝2an或an＋1＝－an(舍去)，所以＝2，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以Sn＝＝2n－1.]‎ ‎13．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．‎ ‎(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，‎ ‎∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．‎ ‎∵a1＝5，a2＝5，‎ ‎∴a2＋2a1＝15，‎ ‎∴an＋2an－1≠0(n≥2)，‎ ‎∴＝3(n≥2)，‎ ‎∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．‎ ‎(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，‎ 则an＋1＝－2an＋5×3n，‎ ‎∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．‎ 又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，‎ ‎∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．‎ ‎∴an－3n＝2×(－2)n－1，‎ 即an＝2×(－2)n－1＋3n.‎