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- 2021-06-30 发布
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- 1 -
微专题 100 利用同构特点解决问题
一、基础知识:
1、同构式:是指除了变量不同,其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用:
(1)在方程中的应用:如果方程 和 呈现同构特征,则 可视为方程
的两个根
(2)在不等式中的应用:如果不等式的两侧呈现同构特征,则可将相同的结构构造为一个函
数,进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式
(3)在解析几何中的应用:如果 满足的方程为同构式,则 为方程所
表示曲线上的两点。特别的,若满足的方程是直线方程,则该方程即为直线 的方程
(4)在数列中的应用:可将递推公式变形为“依序同构”的特征,即关于 与
的同构式,从而将同构式设为辅助数列便于求解
二、典型例题:
例 1:(2015 天津十二校联考)设 ,满足 ,则
( )
A. B. C. D.
思 路 : 本 题 研 究 对 象 并 非 , 而 是 , 进 而 可 变 形 为
,观察上下式子左边结构相同,进而可将相同的结构
视为一个函数,而等式右边两个结果互为相反数,可联想到函数的奇偶性,从而利用函数性
质求解
解:
设 ,可得 为奇函数,由题意可得:
0f a 0f b ,a b
0f x
1 1 2 2, , ,A x y B x y ,A B
AB
,na n 1, 1na n
,x y R
5
5
1 2 sin 1 3
1 2 sin 1 1
x x x
y y y
x y
0 2 4 6
,x y 1 , 1x y
5
5
1 2 1 sin 1 1
1 2 1 sin 1 1
x x x
y y y
5
5
1 2 sin 1 3
1 2 sin 1 1
x x x
y y y
5
5
1 2 1 sin 1 1
1 2 1 sin 1 1
x x x
y y y
5 2 sinf t t t t f t
1 1
1 1
f x
f y
1 1f x f y
- 2 -
答案:B
例 2:若函数 在区间 上的值域为 ,则实数 的取
值范围是_____________
思路:注意到 是增函数,从而得到 ,即 ,发现两
个式子为 的同构式,进而将同构式视为一个方程,而 为该方程的两个根, 的取值
只需要保证方程有两根即可
解: 为增函数
为方程 在 上的两个根,即 有两个不同的根
令
所以方程变形为: ,结合图像可得:
答案:
例 3:设 ,则|“ ”是“ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充要又不必要条件
思路:观察 可发现其同构的特点,所以将这种结构设为函数 ,分析其
单调性。 可得 为增函数。所以 ,即
1 1 2x y x y
1f x x m ,a b , 12 2
a b b a
m
f x ,2 2
a bf a f b
1 2
1 2
aa m
bb m
,a b ,a b m
f x
,2 2
a bf a f b
1 2
1 2
aa m
bb m
,a b 1 2
xx m 1, 12
xm x
21 0 1t x t x t
2 21 11 2 12 2m t t t t 10, 2m
10, 2m
,a b RÎ a b> a a b b>
a a b b> f x x x
2
2
, 0
, 0
x xf x x x
x x
f x ( ) ( )a b f a f b> Û >
- 3 -
,所以是充要条件
答案:C
例 4:若 ,则( )
A. B.
C. D.
答案:C
思路:本题从选项出发可发现,每个选项通过不等式变形将 分居在不等式两侧后都具备
同构的特点, 所以考虑将相同的形式构造为函数,从而只需判断函数在 的单调性即可
解: A 选项: ,设
,设 ,则有 恒成立,所以
在 单调递增,所以 ,从而存在 ,使得
,由单调性可判断出:
,所以 在
不单调,不等式不会恒成立
B 选项: ,设 可知
单调递增。所以应该 ,B 错误
C 选 项 : , 构 造 函 数 , , 则
在 恒成立。所以 在 单调递减,所以 成立
D 选项: ,同样构造 ,由 C 选项分析可知 D 错误
答案:C
例 5:已知函数 是定义在实数集 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 都有
a b a a b b> Û >
1 20 1x x
2 1
2 1ln lnx xe e x x 1 2
2 1ln lnx xe e x x
1 2
2 1
x xx e x e 1 2
2 1
x xx e x e
1 2,x x
0,1
2 1 2 1
2 1 2 1ln ln ln lnx x x xe e x x e x e x lnxf x e x
' 1 1x
x xef x e x x
1xg x xe ' 1 0xg x x e
g x 0,1 0 1 0, 1 1 0g g e 0 0,1x
0 0g x
' ' ' '
0 00, , 0 0, ,1 , 0 0x x g x f x x x g x f x f x 0,1
1 2 1 2
2 1 1 2ln ln ln lnx x x xe e x x e x e x lnxf x e x f x
1 2f x f x
1 2
1 2
2 1
1 2
x x
x x e ex e x e x x
xef x x '
2
1 xx ef x x
' 0f x 0,1x f x 0,1 1 2f x f x
1 2
1 2
2 1
1 2
x x
x x e ex e x e x x
xef x x
f x R x
- 4 -
,则 的值是( )
A. B. C. D.
思路:观察条件可变形为: ,从而得到等式左右的结构均为 的形式,
且括号内的数间隔为 1。所以 。因为
为偶函数,所以 ,由 可得 ,进而
答案:A
例 6:如果 ,那么 的取值范围是________
思路:本题很难直接去解不等式,观察式子特点可发现若将关于 的项分居在不等
号两侧: ,则左右呈现同构的特点,将相同的结构设为函
数 ,能够判断 是奇函数且单调递增。所以不等式
等 价 于 , 即 , 所 以
,结合 ,可得
答案:
例 7:如图,设点 在直线
1 1xf x x f x 2015
2f
0 1
2 1 5
2
1
1
f x f x
x x
f t
t
2015 2013 1 1
2 2 2 2
2015 2013 1 1
2 2 2 2
f f f f
f x
1 1
2 2f f
1 1
2 2
1 1
2 2
f f
1 1 02 2f f
2015
20152 0 02015 2
2
f
f
5 5 3 3cos sin 7 sin cos , 0,2
sin ,cos
5 3 5 3cos 7cos sin 7sin
5 37f x x x f x cos sinf f
cos sin sin cos 0 2 sin 04
2 24k k k Z 0,2 5
4 4
,
5
4 4
,
0 0,P x y
- 5 -
上,过点 作双曲线 的两条切线 ,
切点为 ,求证:直线 过某一个定点
解:设 , 的斜率为
则 ,联立方程 消去 可得:
,整理可得:
,因为 与双曲线相切
所以
代入可得:
即
即
同理,切线 的方程为
在切线 上,所以有
满足直线方程 ,而两点唯一确定一条直线
所以当 时,无论 为何值,等式均成立
点 恒在直线 上,故无论 在何处, 恒过定点
例 8:已知椭圆 中心在原点,焦点在 轴上,它的一个顶点为 ,离心率为
,0 1,x m y m m m 且 为常数 P 2 2 1x y ,PA PB
,A B AB
1 1 2 2, , ,A x y B x y PA k
1 1:PA y y k x x 1 1
2 2 1
y y k x x
x y
y
22
1 1 1x kx kx y
22 2
1 1 1 11 2 1 0k x k y kx x y kx PA
2 22 2 2
1 1 1 14 4 1 4 1 0k y kx k y kx k
2 2
1 14 4 1 0y kx k
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 12 1 0 1 2 1 0k x kx y y k x k kx y y
2 2
1 1 1x y
2 2 2 2
1 1 1 11 , 1x y y x
2 2 2
1 1 1 12 0y k x y k x 2
1 1 0y k x
1
1
xk y
1
1 1 1 1
1
: 1xPA y y x x y y x xy
PB 2 1 1y y x x
0,P m y ,PA PB 0 1 1
0 2 2
1
1
y y mx
y y mx
,A B 0 1y y mx
0: 1AB y y mx
1
0
x m
y
0y
1 ,0m
AB P AB 1 ,0m
C x 0,1 2 55
- 6 -
(1)求椭圆 的方程
(2)过右焦点 作直线 交椭圆于 ,交 轴于 ,若 ,求
解:(1)
解得
(2)思路:本题肯定从 入手,将向量关系翻译成坐标的方程,但观
察发现两个等式除了 不同,系数 不同,其余字母均相同。且 也
仅是角标不同。所以可推断由 列出的方程是同构的,而 在同一椭
圆上,所以如果用 表示 ,代入椭圆方程中也可能是同构的。通过计算可得:
,所以 为方程 的两个不同根,进而利
用韦达定理即可得到
解:由(1)得 ,设直线 ,可得 ,设
可得: ,由 可得:
①
因为 在椭圆上, ,将①代入可得:
对于 , ,
同理可得:
C
F l ,A B y R ,RA AF RB BF
2
5
ce a 1b
2 2 2 1a c b 5, 2a c
2
2: 15
xC y
,RA AF RB BF
,A B , 1 1 2 2, , ,A x y B x y
,RA AF RB BF ,A B
, 1 2 1 2, , ,x x y y
2 2
2 2
10 5 20 0
10 5 20 0
k
k
, 2 210 5 20 0x x k
10
2,0F : 2l y k x 0, 2R k 1 1 2 2, , ,A x y B x y
1 1 1 1, 2 , 2 ,RA x y k AF x y RA AF
1
1 1
1 1
1
2
2 1
22
1
xx x
ky k y y
A 2 2
1 15 5x y
2 2
22 22 2+5 =5 4 20 5 11 1
k k
2 210 5 20 0k
2 2 2 2, 2 , 2 ,RB x y k BF x y RB BF
2 210 5 20 0k
- 7 -
为方程 的两个不同根
例 9 : 已 知 函 数 , 为 正 常 数 , 若 , 且 对 任 意
,都有 ,求 的取值范围.
思路:观察到已知不等式为轮换对称式,所以考虑定序以便于化简,令 ,则不等式变
形为 ,将相同变量放置一侧,可发现左右具备同构特点,所以将相同
结构视为函数 ,从而由 且 可知只需 为增函数即
可。从而只需不等式 恒成立即可,从而求出 的范围
解: ,不妨设 ,则恒成立不等式转化为:
设 ,则由 恒成立和 可得:
只需 在 单调递增即可
恒成立
即 恒成立 所以只需
令
在 单调递减,在 单调递增
, 2 210 5 20 0x x k
10
1
ax x a lng x x x
1 2 1 2, 0,2 ,x x x x 2 1
2 1
1g x g x
x x
a
2 1x x
2 1 1 2g x g x x x
h x g x x 2 1x x 2 1h x h x h x
' 0h x a
ln 1
ag x x x 1 2x x
2 1 1 2 2 2 1 1g x g x x x g x x g x x
ln 1
ah x g x x x xx 2 1h x h x 1 2x x
h x 0,2
' 0h x
'
2
1 1
1
ah x x x
2
1 1 0
1
a
x x
2
2 11 xa x x
2
2
min
11 xa x x
2
2 11 xp x x x
2 2
'
2 2
2 1 1 1 2 12 1 x x x x xp x x x x
p x 10, 2
1 ,22
min
1 27
2 2p x p
- 8 -
例 10:已知数列 满足 ,且
求数列 的通项公式
思路:本题递推公式较为复杂,所以考虑先化简分式,观察到分子中含有分母的项,所以想
到分离常数简化分式,即 ,寻求相邻同构的特点,转化为
,即可设 ,递推公式变为 ,则能够求出 通
项公式,进而求出
解:
设 ,则递推公式变为
,且
为公差是 的等差数列
270 2a
na 1 2 3a t , 1t R t
1
1
2 3 2 1 1
2 1
n n
n
n n
n
t a t t
a a t
na
1
1
2 1 1
1 2 1
n
n
n n
n
t a
a a t
1
1
121 1
11 21
n
nn
n
n
n
a
a t
at
t
1
1
n
n n
ab t
1
2
2
n
n
n
bb b nb
na
1
1
2 3 2 1 1
2 1
n n
n
n n
n
t a t t
a a t
1 1 12 2 2 2 2 1 2 1 1
12 1 2 1
n n n n
n n n
n n
n n
t a t a t t a
a t a t
1
1
2 1 1
1 2 1
n
n
n n
n
t a
a a t
1 1
1 1
122 11 1 1
2 12 11 1
1
n
nnn n
nnn n
nn
n
a
aa a t
a ta tt t
t
1
1
n
n n
ab t
1
2
2
n
n
n
bb b
1 1
1 2 1 1 1
2 2
n
n n n n
b
b b b b
1 1
1 1 1 1
1 2 3 1 2
t t
b a t
1
nb
1
2
1
1 1 1 11 2 2n
n nb b
- 9 -
,解得
小炼有话说:同构式在处理数列问题时,通常应用在构造辅助数列求通项公式。当递推公式
比较复杂时,构造出 和 的同构式,其中关于 的表达式构造出 分别与
和 相对应,进而寻找到辅助数列。
1
1 2
n
n
t n
a
2 1
1
n
n
t
a n
na 1na n , 1f n f n
na 1na