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  • 2021-06-30 发布

数学文卷·2018届安徽省六安市舒城中学高三仿真模拟(二)(2018

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舒城中学2018届高三仿真试题(二)‎ 文科数学 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则 ( )‎ A.    B.    C.     D.‎ ‎2.若复数满足,则下列说法不正确的是 ( )‎ A.复数的虚部为 B.复数为纯虚数 ‎ C.复数在复平面内对应的点位于第四象限 D.复数的模为1 ‎ ‎3.已知命题:命题“”的否定是“都有”;命题:在中,角的对边分别为,则“”是“”的充要条件,则下列命题为真命题的是 ( )‎ ‎ A. B. C.  D.‎ ‎4.道路交通法规定:行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行,绿灯行,红灯停,遇到黄灯时,如已超过停车线须继续行进,某十字路口的交通信号灯设置时间是:绿灯 秒,红灯 秒,黄灯 秒,小张是个特别守法的人,只有遇到绿灯才通过,则他路过该路口不等待的概率为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.定义在上的奇函数满足,且在上,则 ‎ ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知下列四个关系:①;②;③,;④,.其中正确的有 ( )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎7.已知点是抛物线上的一点,为抛物线的焦点,若,则点的横坐标为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎8.如图,小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ x y O x y O x y O x y O ‎9.的部分图像大致为( ) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎10.将函数的图像向右平移个单位长度,得到函数的图像,则下列说法不正确的是 ( )‎ A.函数的图像关于直线对称 B.函数的一个零点为 ‎ C.函数在区间上单调递增 D.函数的最小正周期为 ‎ ‎11. 已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,,点为 双曲线上一点,若△的内切圆半径为,则该双曲线的方程为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题 ‎13.已知数列满足,,则 .‎ ‎14.已知平行四边形中, 为的中点,在上且 ,若舒中高三仿真文数 第1页 (共4页)‎ ,均为实数,则 .‎ ‎15.满足约束条件,则的最大值为__________.‎ ‎16.在四棱锥中,平面平面,且是边长为的正三角形,底面是边长为的正方形,则该四棱锥的外接球的表面积为__________.‎ 三、解答题 ‎17. (本小题满分12分)‎ 已知等差数列的前项和为,且满足,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前项和.【来源:全,品…中&高*考+网】‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 尺寸误差 频数 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.7‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ ‎30‎ 甲、乙两陶瓷厂生产规格为的矩形瓷砖(长和宽都约为),根据产品出厂检测结果,每片瓷砖质量(单位:)在之间的称为正品,其余的作为废品直接回炉处理.正品瓷砖按行业生产标准分为“优等”、“一级”、“合格”三个标准,主要按照每片瓷砖的“尺寸误差”加以划分,每片价格分别为 元、元、元. 若规定每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为:设矩形瓷砖的长与宽分别为a,b(单位:mm),则“尺寸误差”为, “优等”瓷砖的“尺寸误差” 范围是,“一级”瓷砖的“尺寸误差”范围是,“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围是. 现分别从甲、乙两厂生产的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖,相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下:‎ 尺寸误差 频数 ‎0‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎30‎ ‎0.2‎ ‎30‎ ‎0.3‎ ‎5‎ ‎0.4‎ ‎10‎ ‎0.5‎ ‎5‎ ‎0.6‎ ‎10‎ ‎ (甲厂产品的“尺寸误差”频数表) (乙厂产品的“尺寸误差”柱状图)‎ ‎(Ⅰ)根据样本数据分别计算甲、乙两厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值;‎ ‎(Ⅱ)若用这个样本的频率分布估计总体分布,求乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格;【来源:全,品…中&高*考+网】‎ ‎(Ⅲ)现用分层抽样的方法从甲厂生产的100片样本瓷砖中随机抽取20片,再从抽取的20片瓷砖中的“一级”瓷砖与“合格”瓷砖中随机选取2片进一步分析其“平整度”,求这2片瓷砖的价格之和大于12元的概率.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图,在五面体中,四边形为矩形,平面平面,∥,,为的中点,且∥平面.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)若,,求与平面所成的角的正弦值.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的离心率为,过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆所得的弦长为.‎ ‎(错误!未找到引用源。)求椭圆的方程;‎ ‎(错误!未找到引用源。)设是椭圆上的点,直线与(为坐标原点)的斜率之积为.若动点满足,是探究是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标;若不存在,请说明理由 21. ‎(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)求证:当时,.‎ 选考部分:共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ 22. ‎(本小题满分10分)(选修4-4:坐标系与参数方程)‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),线段(为坐标原点)的中点在曲线上,设动点的轨迹为曲线.在以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程.‎ ‎(Ⅱ)若直线与轴交于点,与曲线交于点,求.‎ ‎23.(本小题满分10分)(选修4-5:不等式选讲)‎ 已知,函数 ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若函数的最小值为2,求的最大值.‎ 数学文科答案 ‎1.已知集合,,则(   )‎ A.    B.    C.    D.‎ ‎2.若复数满足,则下列说法不正确的是 ‎ A.复数的虚部为 B.复数为纯虚数 ‎ C.复数在复平面内对应的点位于第四象限 D.复数的模为1 ‎ ‎3.已知命题:命题“”的否定是“都有”;命题:在中,角的对边分别为,则“”是“”的充要条件,则下列命题为真命题的是 ‎ A.B.C. D.‎ ‎4.道路交通法规定:行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行,绿灯行,红灯停,遇到黄灯时,如已超过停车线须继续行进,某十字路口的交通信号灯设置时间是:绿灯 秒,红灯 秒,黄灯 秒,小张是个特别守法的人,只有遇到绿灯才通过,则他路过该路口不等待的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】由题意得小张路过该路口不等待的概率为,选D.‎ ‎5.定义在上的奇函数满足,且在上,则( )‎ A.B. C. D.‎ ‎6.已知下列四个关系:①;②;③,;④,.其中正确的有( )‎ ‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【解析】①③正确.‎ ‎7.已知点是抛物线上的一点,为抛物线的焦点,若,则点的横坐标为( )‎ ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎8. 如图所示,小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥,如图,它可以看做由一个长方体截得,且长方体的底面是边长为3的正方形,高为2,所以该几何体的体积为,故选A.‎ x y O x y O x y O x y O ‎9.的部分图像大致为 A B C D ‎10.将函数的图像向右平移个单位长度,得到函数的图像,则下列说法不正确的是 ‎ A.函数的图像关于直线对称 B.函数的一个零点为 ‎ C.函数在区间上单调递增 D.函数的最小正周期为 ‎11.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,,点为双曲线上一点,若△的内切圆半径为,则该双曲线的方程为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】设,(),则,又,所以,即.由双曲线的定义,得,所以,.由得,代入①,得,则,故所求双曲线的方程为,选A.‎ ‎12.若关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 依题意,或,‎ ‎ 令,‎ 则,‎ 所以当时,,当时,,‎ 当时,,当时,,‎ 所以或,即或,故选A.‎ ‎13.已知数列满足,,则.‎ ‎14.已知平行四边形中, 为的中点,在上且,若,则.【来源:全,品…中&高*考+网】‎ ‎15.满足约束条件,则的最大值为__________.‎ ‎16.已知在四棱锥中,平面平面,且是边长为的正三角形,底面是边长为的正方形,则该四棱锥的外接球的表面积为__________.‎ ‎17.已知等差数列的前项和为,且满足,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(Ⅰ).‎ ‎(Ⅱ).‎ ‎18.甲、乙两陶瓷厂生产规格为的矩形瓷砖(长和宽都约为),根据产品出厂检测结果,每片瓷砖质量(单位:)在之间的称为正品,其余的作为废品直接回炉处理.正品瓷砖按行业生产标准分为“优等”、“一级”、“合格”三个标准,主要按照每片瓷砖的“尺寸误差”加以划分,每片价格分别为 元、元、元. ‎ 若规定每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为:设矩形瓷砖的长与宽分别为a,b(单位:mm),则“尺寸误差”为, “优等”瓷砖的“尺寸误差” 范围是,“一级”瓷砖的“尺寸误差”范围是,“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围是.现分别从甲、乙两厂生产的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖,相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下:‎ 尺寸误差 频数 ‎0‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎30‎ ‎0.2‎ ‎30‎ ‎0.3‎ ‎5‎ ‎0.4‎ ‎10‎ ‎0.5‎ ‎5‎ ‎0.6‎ ‎10‎ 尺寸误差 频数 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.7‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎(甲厂产品的“尺寸误差”频数表) (乙厂产品的“尺寸误差”柱状图)‎ ‎(Ⅰ)根据样本数据分别计算甲、乙两厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值;‎ ‎(Ⅱ)若用这个样本的频率分布估计总体分布,求乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格;【来源:全,品…中&高*考+网】‎ ‎(Ⅲ)现用分层抽样的方法从甲厂生产的100片样本瓷砖中随机抽取20片,再从抽取的20片瓷砖中的“一级”瓷砖与“合格”瓷砖中随机选取2片进一步分析其“平整度”,求这2片瓷砖的价格之和大于12元的概率.‎ 解:(Ⅰ)甲厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值为:‎ ‎ (30×0.1+30×0.2+5×0.3+10×0.4+5×0.5+10×0.6)÷100=0.23‎ ‎ 乙厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值为:‎ ‎ (30×0.1+25×0.2+5×0.3+10×0.4+5×0.5+5×0.6+5×0.7)÷100=0.225)‎ ‎(Ⅱ)乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格为:‎ ‎ [(15+30+25)×7.5+(5+10+5)×6.5+(5+5)×5]÷100=7.05 ‎ ‎(Ⅲ)用分层抽样的方法从甲厂生产的100片样本瓷砖中随机抽取20片,‎ ‎ 则“一级”瓷砖抽取=4片,记为A、B、C、D;‎ ‎ “合格”瓷砖瓷砖抽取=2片,记为E、F;‎ 从中选取2片有:AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF共15种选法;其中价格之和大于12元,即选取的2片都为“一级”瓷砖的有AB,AC,AD,BC,BD,CD共6种选法. …………(11分)‎ ‎ 所以选取的2片瓷砖的价格之和大于12元的概率.‎ ‎19.如图,在五面体中,四边形为矩形,平面平面,∥,,为的中点,且∥平面.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)若,,求与平面所成的角的正弦值.‎ 解:(Ⅰ)AB∥CD,ACCD,ACAB ‎ 四边形为矩形,平面,【来源:全,品…中&高*考+网】‎ PA平面ABCD,AC平面ABCD,PAAC ‎ 又PAAB=A,PA,AB平面ABQP,AC平面ABQP.‎ ‎ (Ⅱ)AC=,BC=2,ACAB,‎ ‎ ,即AB=1 ‎ ‎ 取QC的中点F,连接EF,FB.‎ ‎ E,F分别QD,QC的中点,EF∥CD ‎ 又AB∥CD,EF∥AB ‎ ‎ E,F,B,A确定平面ABFE, ‎ ‎ 又AE∥平面QBC,AE平面ABFE,‎ ‎ 平面QBC平面ABFE=BF,AE∥BF,又EF∥AB ‎ ABFE为平行四边形 ‎ AB=EF=CD=1.CD=2 ‎ ‎ =‎ ‎ 四边形ABQP为矩形,PA平面ABCD,QB平面ABCD,又E为QD的中点 ‎ E到平面ABCD的距离为QB=1‎ ‎ ==. ‎ ‎ ‎ ‎20.已知椭圆的离心率为,过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆所得的弦长为.‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎(II)设是椭圆上的点,直线与(为坐标原点)的斜率之积为.若动点满足,是探究是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标;若不存在,请说明理由 解:(Ⅰ).‎ ‎(II)设,,,则由得 即,‎ 因为点,在椭圆上,‎ 所以,,‎ 故 设,分别为直线与的斜率,由题意知,‎ ‎,因此 所以,‎ 所以点是椭圆上的点,‎ 所以由椭圆的定义知存在点、,满足为定值 又因为,‎ 所以、坐标分别为、.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)求证:当时,.‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎ 若,则,函数在上单调递增;则,不满足恒成立.‎ ‎ 若,由得;由得 函数在上单调递增;在上单调递减. )‎ ‎,又恒成立 ‎,即,解得:‎ ‎ 综上所述,实数的取值范围为. ‎ ‎(用分离参数的方法也可以)‎ ‎ (Ⅱ)法一:由得 由(Ⅰ)可知,当时,恒成立,即 ‎ ,又,‎ ‎ 所以 ‎ 记,则 ‎ 记,则,由得 ‎ 当时,;当时,‎ ‎ 函数在上单调递减;在上单调递增.‎ ‎ 所以 ‎ ,即,故函数在上单调递增 ‎ 即 ‎ 所以. ‎ ‎ 法二:记,‎ ‎ 记,‎ ‎ ,,且函数在上单调递增 ‎ 存在唯一的使得,即 ‎ ‎ 当时,,当时,‎ ‎ 函数在上单调递减;在上单调递增 ‎ ,又,即 ‎ ,所以,即 ‎ 在上单调递增 )‎ ‎ (1)当时,‎ ‎ (2)当时,‎ ‎ 又,且,‎ ‎ 所以 ‎ 由(1)(2)可知当时,. ‎ ‎22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),线段(为坐标原点)的中点在曲线上,设动点的轨迹为曲线.在以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程.‎ ‎(Ⅱ)若直线与轴交于点,与曲线交于点,求.‎ ‎【解析】(Ⅰ)直线的直角坐标方程为, ‎ ‎ 曲线的普通方程为. ‎ ‎ (Ⅱ)设D(x,y),则由条件知M在C1上,‎ ‎ 所以:, 即. ‎ ‎ 易知点P,‎ ‎ 设直线的参数方程为(为参数),代入:‎ ‎ 得到:,设,‎ ‎ 则,,‎ ‎ 故 )‎ ‎23.已知,函数 ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若函数的最小值为2,求的最大值.‎ 解:(Ⅰ)当时,‎ ‎ 即 ‎ 或或 ‎ 或 ‎ 解得不等式解集为。 ‎ ‎ (Ⅱ)因为 ‎ ‎ ‎ 当且仅当时取等号; ‎ ‎ 所以 又(当且仅当时取等号);‎ ‎ ,所以的最大值为. ‎