湖南省浏阳市六校联考2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试卷 10页

2018 年下学期高二年级期中联考理科数学试卷 命题学校：雅礼·浏阳二中 命题人：彭信军 审题人：黎尚青 时量：120 分 总分：150 分 一. 选择题(12X5=60 分，每小题仅有一个答案) 1. 集合  |( 1)( 2) 0A x x x    ， B   0x x  ，则 A B  ( ) A． ( ,0] B． ( ,1] C．[1,2] D．[1, ) 2、等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝6，a3＝4，则公差 d 等于( ) A．1 B.5 3C．2 D．3 3．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则 a1＋a10＝( ) A．7 B．5C．－5 D．－7 4、下列关于命题的说法正确的是（） A．命题“若 ,12 x 则 1x ”的否命题为：“若 12 x ，则 1x ”； B．“ 1x ”是“ 0652  xx ”的必要不充分条件； C．命题“ a 、b 都是有理数”的否定是“ a 、b 都不是有理数”； D．命题“若 x y ，则sin sinx y ”的逆否命题为真命题． 5.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于1 2 ，则 C 的方程是( ) A.x2 3 ＋y2 4 ＝1 B.x2 4 ＋ y2 3 ＝1C.x2 4 ＋y2 2 ＝1 D.x2 4 ＋y2 3 ＝1 6.双曲线x2 4 －y2＝1 的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.2 5 B.4 5C.2 5 5 D.4 5 5 7.在 △ ABC 中，已知 030 , 8, 8 3A a b   ，则三角形的面积为 （） A．32 3 B．16C．32 3 或16D．32 3 或16 3 8.设 na 是公差不为零的等差数列， 2 2a  ．且 1 3 9, ,a a a 成等比数列，则数列  na 的前 n 项 nS  ( ) A. 2 7 4 4 n n B. 2 3 2 2 n n C. 2 3 4 4 n n D. 2 2 2 n n 9.“ 1a  ”是“直线 1 : 2 1 0l ax y   与直线 2 : ( 1) 4 0l x a y    平行”的（ ） A. 充要条件 B.必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.设 a>0，b>0.或 3是 3a 与 3b 的等比中项，则1 a ＋1 b 的最小值为( ) A．8 B．4C．1 D.1 4 11.已知 x，y 满足约束条件 x－2y－2≤0， 2x－y＋2≥0， x＋y－2≤0， 若 ax＋y 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的 值为() A.1 2 或－1 B.2 或1 2 C.－2 或 1 D.2 或－1 12 如图，F1，F2 是椭圆 C1：x2 4 ＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、 四象限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( ) A. 2B. 3C.3 2D. 2 6 二、填空题：（4X5=20 分） 13.已知实数 ,x y 满足 2 0, , 4 4 3 0, x y y x x y         则 2z x y  的最小值为 . 14.已知命题 p： ∀ x∈R， 322  xax ＞0，如果命题  P 是真命题，那么实数 a 的取值范围 是． 15.设等比数列{ }na 的前 n 项和 3n nS c  ，则常数 c ＝ ． 16. 现 给 出 如 下 四 个 不 等 式 ： ① 11 2  ， ② 1 11 1 2 3    ， ③ 1 1 1 31 2 3 7 2      ， ④ 1 1 11 2 2 3 15      ，⑤ 1 11 2 3    … 1 31  ＞ 5 2 ，请你根据以上不等式的特点和规律，写出 第 n 不等式(即一般形式)： 1 11 2 3    …  ＞ ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题 10 分）设 p：方程 x2＋2mx＋1＝0 有两个不相等的正根；q：方程 x2＋2(m－2)x－ 3m＋10＝0 无实根，则使 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求实数 m 的取值范围。 18.（本小题满分 12 分）已知 p ：  2| 2 3 0, ,x A x x x x R      q :  2 2| 2 9 0, ,x B x x mx m x R m R        （1）若  2,3A B  ,求实数 m 的值； （2）若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围． 19．(本小题 12 分）已知 a，b，c 分别为 △ ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acos C＋ 3asin C －b－c＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2， △ ABC 的面积为 3，求 b，c. 20.(本小题 12 分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 34800m ，深为3m ．如 果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？ 21.(本小题 12 分）已知数列 na 的前 n 项和是 nS ，且 12 1  nn aS )(  Nn ． （ 1）求数列 na 的通项公式；（2）设 )1(log 13  nn Sb )(  Nn ，求适合方程 51 251...11 13221  nnbbbbbb 的正整数 n 的值 22.(本小题 12 分）设椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F，离心率为 3 3 ，过点 F 且与 x 轴垂 直的直线被椭圆截得的线段长为4 3 3 . (1)求椭圆的方程； (2)设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点．若 AC  · DB  ＋ AD  ·CB  ＝8，求 k 的值． 2018 年下学期高二年级期中联考理科数学答案 命题学校：雅礼-浏阳二中 命题人：彭信军 审题人：黎尚青 时量：120 分 总分：150 分 一. 选择题(12×5=60 分，每小题仅有一个答案) 1. 集合  |( 1)( 2) 0A x x x    ， B   0x x  ，则 A B  ( B ) A． ( ,0] B． ( ,1] C．[1,2] D．[1, ) 2、等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝6，a3＝4，则公差 d 等于( C ) A．1 B.5 3C．2 D．3 解析：∵S3＝ a1＋a3× 3 2 ＝6，而 a3＝4，∴a1＝0，∴d＝a3－a1 2 ＝2.答案：C 3．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则 a1＋a10＝( D ) A．7 B．5C．－5 D．－7 解析：设数列{an}的公比为 q，由 a4＋a7＝2， a5·a6＝a4·a7＝－8， 得 a4＝4， a7＝－2， 或 a4＝－2， a7＝4， 所以 a1＝－8， q3＝－1 2 ， 或 a1＝1， q3＝－2， 所以 a1＝－8， a10＝1， 或 a1＝1， a10＝－8， 所以 a1＋a10＝－7.答案：D 4、下列关于命题的说法正确的是（D） A．命题“若 ,12 x 则 1x ”的否命题为：“若 12 x ，则 1x ”； B．“ 1x ”是“ 0652  xx ”的必要不充分条件； C．命题“ a 、b 都是有理数”的否定是“ a 、b 都不是有理数”； D．命题“若 x y ，则sin sinx y ”的逆否命题为真命题． 5.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于1 2 ，则 C 的方程是( D ) A.x2 3 ＋y2 4 ＝1 B.x2 4 ＋ y2 3 ＝1C.x2 4 ＋y2 2 ＝1 D.x2 4 ＋y2 3 ＝1 6.双曲线x2 4 －y2＝1 的顶点到其渐近线的距离等于( C ) A.2 5 B.4 5C.2 5 5 D.4 5 5 7.在 △ ABC 中，已知 030 , 8, 8 3A a b   ，则三角形的面积为 （D） A．32 3 B．16C．32 3 或16D．32 3 或16 3 8.设 na 是公差不为零的等差数列， 2 2a  ．且 1 3 9, ,a a a 成等比数列，则数列  na 的前 n 项 nS  ( D ) A. 2 7 4 4 n n B. 2 3 2 2 n n C. 2 3 4 4 n n D. 2 2 2 n n 9.“ 1a  ”是“直线 1 : 2 1 0l ax y   与直线 2 : ( 1) 4 0l x a y    平行”的（C ） A. 充要条件 B.必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.设 a>0，b>0.或 3是 3a 与 3b 的等比中项，则1 a ＋1 b 的最小值为( B ) A．8 B．4C．1 D.1 4 解析：∵ 3是 3a 与 3b 的等比中项，∴( 3)2＝3a·3b. 即 3＝3a＋b，∴a＋b＝1. 此时1 a ＋1 b ＝a＋b a ＋a＋b b ＝2＋(b a ＋a b)≥2＋2＝4(当且仅当 a＝b＝1 2 取等号)．答案：B 11.已知 x，y 满足约束条件 x－2y－2≤0， 2x－y＋2≥0， x＋y－2≤0， 若 ax＋y 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的 值为(C) A.1 2 或－1 B.2 或1 2 C.－2 或 1 D.2 或－1 12 如图，F1，F2 是椭圆 C1：x2 4 ＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、 四象限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( D ) A. 2B. 3C.3 2D. 6 2 解析：本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化 与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为x2 a2 －y2 b2 ＝ 1(a>0，b>0)①，点 A 的坐标为(x0，y0)． 由题意得 a2＋b2＝3＝c2②，则|OA|＝c＝ 3， 所以 x20＋y20＝3， x20＋4y20＝4， 解得 x20＝8 3 ，y20＝1 3 ，又点 A 在双曲线上，代入①得，8 3b2－1 3a2＝a2b2 ③，联立②③解得 a＝ 2，所以 e＝c a ＝ 6 2 ，答案：D 二、填空题：（4X5=20 分） 13.已知实数 ,x y 满足 2 0, , 4 4 3 0, x y y x x y         则 2z x y  的最小值为 1 . 14. 已知命题 p： ∀ x∈R， 322  xax ＞0，如果命题  P 是真命题，那么实数 a 的取值范围 是 a≤1/3． 15.设等比数列{ }na 的前 n 项和 3n nS c  ，则常数 c ＝ -1 ． 16. 现 给 出 如 下 四 个 不 等 式 ： ① 11 2  ， ② 1 11 1 2 3    ， ③ 1 1 1 31 2 3 7 2      ， ④ 1 1 11 2 2 3 15      ，⑤ 1 11 2 3    … 1 31  ＞ 5 2 ，请你根据以上不等式的特点和规律，写出 第 n 不等式(即一般形式)： 1 11 2 3    …  ＞ ． 16, 1 ,2 1 2n n  三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题 10 分）设 p：方程 x2＋2mx＋1＝0 有两个不相等的正根；q：方程 x2＋2(m－2)x－ 3m＋10＝0 无实根，则使 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求实数 m 的取值范围。 解：令 f(x)＝x2＋2mx＋1. 且Δ>0，且 x1+x2=-2m>0，求得 m<－1，∴p：m∈(－∞，－1)． 。。。。3 分 q：Δ＝4(m－2)2－4(－3m＋10)<0 ⇒ －2