数学卷·2018届山东省菏泽一中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版） 14页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年山东省菏泽一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若a＞b，则下列不等式中正确的是（　　）‎ A． B． C． D．2a＞2b ‎2．不等式≤0的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，1]∪（3，+∞） B． D．（﹣∞，1]∪ C．（1，11） D．（1，+∞）‎ ‎7．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示三角形的面积，若asinA+bsinB=csinC，且S=，则对△ABC的形状的精确描述是（　　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎8．等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S2016=2016，且﹣=2000，则a1等于（　　）‎ A．﹣2017 B．﹣2016 C．﹣2015 D．﹣2014‎ ‎9．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A处测得正前方河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC等于（　　）‎ A．米 B．米 C．米 D．米 ‎10．在数列{an}中，a1=2，an=an﹣1+ln（1+）（n≥2）则{an}=（　　）‎ A．2+nlnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+lnn D．1+n+lnn ‎11．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则+的最小值为（　　）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎12．已知an=logn+1（n+2）（n∈N+），观察下列运算：a1•a2=log23•log34==2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log67•lg78==3；…．定义使a1•a2•a3•…•ak为整数的k（k∈N+）叫做希望数，则在区间内所有希望数的和为（　　）‎ A．1004 B．2026 C．4072 D．22016﹣2‎ ‎　‎ 二、填空题不等式kx2﹣kx+1＞0的解集为R，则实数k的取值范围为　　．‎ ‎14．△ABC中，AB=3，AC=4，BC=，则△ABC的面积是　　．‎ ‎15．《张邱建算经》是我国古代数学著作大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈，问日益几何？”该题大意是：“一女子擅长织布，一天比一天织的快，而且每天增加的量都一样，已知第一天织了5尺，一个月后，共织布390尺，问该女子每天增加　　尺．（一月按30天计）‎ ‎16．方程ax2+bx+2=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，则2a﹣b的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若a=6，△ABC的面积是9，求三角形边b，c的长．‎ ‎18．（12分）已知关于x的不等式x2﹣ax﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞b}（b＞﹣1）．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）当m＞﹣时，解关于x的不等式（mx+a）（x﹣b）＞0．‎ ‎19．（12分）已知数列{an}为单调递减的等差数列，a1+a2+a3=21，且a1﹣1，a2﹣3，a3﹣3成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=|an|，求数列{bn}的前项n和Tn．‎ ‎20．（12分）为方便市民休闲观光，市政府计划在半径为200米，圆心角为120°的扇形广场内（如图所示），沿△ABC边界修建观光道路，其中A、B分别在线段CP、CQ上，且A、B两点间距离为定长米．‎ ‎（1）当∠BAC=45°时，求观光道BC段的长度；‎ ‎（2）为提高观光效果，应尽量增加观光道路总长度，试确定图中A、B两点的位置，使观光道路总长度达到最长？并求出总长度的最大值．‎ ‎21．（12分）设等比数列{an}的前项n和Sn，a2=，且S1+，S2，S3成等差数列，数列{bn}满足bn=2n．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=anbn，若对任意n∈N+，不等式c1+c2+…+cn≥λ+2Sn﹣1恒成立，求λ的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+2x+c的对称轴为x=1，g（x）=x+（x＞0）．‎ ‎（1）求函数g（x）的最小值及取得最小值时x的值；‎ ‎（2）试确定c的取值范围，使g（x）﹣f（x）=0至少有一个实根；‎ ‎（3）若F（x）=﹣f（x）+4x+c，存在实数t，对任意x∈，使F（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省菏泽一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若a＞b，则下列不等式中正确的是（　　）‎ A． B． C． D．2a＞2b ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】取a=2，b=﹣1时，即可判断出A．B．C不成立；根据指数函数y=2x在R上单调递增，即可判断出D的正误．‎ ‎【解答】解：取a=2，b=﹣1时，A．B．C不成立；‎ 对于D．由指数函数y=2x在R上单调递增，a＞b，可得2a＞2b．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．不等式≤0的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，1]∪（3，+∞） B． D．（﹣∞，1]∪=2n+1，n=1时也成立．‎ ‎∴an=2n+1，‎ ‎∴==．‎ ‎∴数列的前项n和=++…+‎ ‎=‎ ‎=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．函数f（x）=的定义域为（　　）‎ A．（﹣∞，11） B．（1，11] C．（1，11） D．（1，+∞）‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】函数f（x）=有意义，只需1﹣lg（x﹣1）≥0，且x﹣1＞0，解不等式即可得到所求定义域．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=有意义，‎ 只需1﹣lg（x﹣1）≥0，且x﹣1＞0，‎ 即为lg（x﹣1）≤1且x＞1，‎ 解得1＜x≤11，‎ 则定义域为（1，11]．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用偶次根式被开方数非负，对数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示三角形的面积，若asinA+bsinB=csinC，且S=，则对△ABC的形状的精确描述是（　　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由正弦定理化简已知可得a2+b2=c2，利用勾股定理可得C=，利用余弦定理，三角形面积公式化简可得 sinB﹣cosB=0，可求sin（B﹣）=0，结合范围B∈（0，），可求B=A，即可得解三角形的形状．‎ ‎【解答】解：∵asinA+bsinB=csinC，‎ ‎∴由正弦定理可得：sin2A+sin2B=sin2C，可得：a2+b2=c2，‎ ‎∴C=，△ABC是直角三角形．‎ 又∵S==acsinB，‎ ‎∴×2accosB=acsinB，解得：sinB﹣cosB=0，可得： sin（B﹣）=0，‎ ‎∴B﹣=kπ，可得：B=kπ+，k∈Z，‎ ‎∵B∈（0，），B﹣∈（﹣，），‎ ‎∴B﹣=0，可得：B=，A=π﹣B﹣C=，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，勾股定理，余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S2016=2016，且﹣=2000，则a1等于（　　）‎ A．﹣2017 B．﹣2016 C．﹣2015 D．﹣2014‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由==n+，可知：数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由==n+，‎ 可知：数列是等差数列，设公差为d．‎ ‎∴﹣=2000=2000d，解得d=1．‎ ‎∴1==+2015×1，解得a1=﹣2014．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A处测得正前方河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC等于（　　）‎ A．米 B．米 C．米 D．米 ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．‎ ‎【解答】解：如图 由图可知，∠DAB=15°，‎ ‎∵tan15°=tan（45°﹣30°）=2﹣．‎ 在Rt△ADB中，又AD=60，‎ ‎∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．‎ 在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，‎ ‎∴DC=AD•tan60°=60．‎ ‎∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．‎ ‎∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．在数列{an}中，a1=2，an=an﹣1+ln（1+）（n≥2）则{an}=（　　）‎ A．2+nlnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+lnn D．1+n+lnn ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】根据条件，，即an﹣lnn=an﹣1﹣ln（n﹣1），故{an﹣lnn}是常数数列，所以an﹣lnn=a1﹣ln1=2，即an=2+lnn．‎ ‎【解答】解：∵ =，（n≥2）‎ ‎∴an=an﹣1+lnn﹣ln（n﹣1），（n≥2）‎ ‎∴an﹣lnn=an﹣1﹣ln（n﹣1），（n≥2）‎ ‎∴{an﹣lnn}是常数数列，‎ ‎∴an﹣lnn=a1﹣ln1=2，‎ ‎∴an=2+lnn．‎ 故选：C ‎【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式和对数的运算性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则+的最小值为（　　）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出可行域，利用目标函数去最小值得到a，b的等式， +的最小值 ‎【解答】解：约束条件对应的 区域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过C时取最小值为2，所以a+b=2，则+=（+）（a+b）=（2+）≥2；‎ 当且仅当a=b时等号成立；‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值；关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值．‎ ‎　‎ ‎12．已知an=logn+1（n+2）（n∈N+），观察下列运算：a1•a2=log23•log34==2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log67•lg78==3；…．定义使a1•a2•a3•…•ak为整数的k（k∈N+）叫做希望数，则在区间内所有希望数的和为（　　）‎ A．1004 B．2026 C．4072 D．22016﹣2‎ ‎【考点】对数的运算性质．‎ ‎【分析】an=logn+1（n+2）=，可得a1•a2•a3•…•an==k，n=2k﹣2．即可得出．‎ ‎【解答】解：an=logn+1（n+2）=，‎ ‎∴a1•a2•a3•…•an=•…==k，∴n+2=2k．‎ n∈，∴n=22﹣2，23﹣1，…，210﹣2，‎ ‎∴在区间内所有希望数的和为=22﹣2+23﹣2+…+210﹣2=﹣2×9=2026，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（2016秋•寿光市期中）不等式kx2﹣kx+1＞0的解集为R，则实数k的取值范围为　，利用余弦定理可求，结合基本不等式可求x+y≤120，从而可求观光道路总长度最长值．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，由已知及正弦定理得，‎ 即，‎ ‎∴．‎ ‎（2）设CA=x，CB=y，x，y∈（0，200]，‎ 在△ABC中，AB2=AC2+CB2﹣2AC•CB•cos120°，即，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 故x+y≤120，当且仅当x=y=60时，x+y取得最大值，‎ ‎∴当A、B两点各距C点60米处时，观光道路总长度达到最长，最长为．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•寿光市期中）设等比数列{an}的前项n和Sn，a2=，且S1+，S2，S3成等差数列，数列{bn}满足bn=2n．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=anbn，若对任意n∈N+，不等式c1+c2+…+cn≥λ+2Sn﹣1恒成立，求λ的取值范围．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由S1+，S2，S3成等差数列，可得，化简为，又因为，解得a1和q，即可求出等比数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）因为{an}是等比数列，{bn}是等差数列，而cn=anbn，故利用错位相减法即可求出Tn=c1+c2+…+cn，将Tn和Sn代入不等式，并整理得，记f（n）=，‎ 利用作差法可得f（n）关于n单调递减，则f（n）max=f（1）=1，故，即λ≤2．‎ ‎【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q，‎ ‎∵成等差数列，∴，∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）设数列{cn}的前项n和为Tn，则Tn=c1+c2+c3+…+cn，‎ 又，‎ ‎∴，，‎ 两式相减得，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴对任意n∈N+，不等式恒成立等价于恒成立，‎ 即恒成立，即恒成立，‎ 令，‎ ‎，‎ ‎∴f（n）关于n单调递减，∴，∴λ≤2，‎ ‎∴λ的取值范围为（﹣∞，2]．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减求和及利用数列的单调性求最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•寿光市期中）已知二次函数f（x）=ax2+2x+c的对称轴为x=1，g（x）=x+（x＞0）．‎ ‎（1）求函数g（x）的最小值及取得最小值时x的值；‎ ‎（2）试确定c的取值范围，使g（x）﹣f（x）=0至少有一个实根；‎ ‎（3）若F（x）=﹣f（x）+4x+c，存在实数t，对任意x∈，使F（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）根据基本不等式即可求出函数的最值；‎ ‎（2）根据对称轴求出a=﹣1，分别求出f（x）max=1+c，g（x）min=2，即1+c≥2，解得即；‎ ‎（3）把f（x+t）≤3x转化为（x+t）2+2（x+t）≤3x，即h（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，在x∈恒小于0问题，考查h（x）的图象与性质，求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵x＞0，∴，‎ ‎∴，当且仅当，即x=1时“=”成立，即g（x）min=2，此时x=1．‎ ‎（2）f（x）的对称轴为x=1，‎ ‎∴a=﹣1，‎ ‎∴f（x）=﹣x2+2x+c，g（x）﹣f（x）=0至少有一个实根，‎ ‎∴g（x）=f（x）至少有一个实根，‎ 即g（x）与f（x）的图象在（0，+∞）上至少有一个交点，f（x）=﹣（x﹣1）2+1+c，‎ ‎∴f（x）max=1+c，g（x）min=2，‎ ‎∴1+c≥2，∴c≥1，‎ ‎∴c的取值范围为，使（x+t）2+2（x+t）≤3x恒成立．‎ ‎∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0．‎ 令h（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，‎ ‎∴，即，‎ 转化为存在t∈，使t2+（2m+2）t+m2﹣m≤0成立．‎ 令G（t）=t2+（2m+2）t+m2﹣m，‎ ‎∴G（t）的对称轴为t=﹣（m+1），‎ ‎∵m＞1，‎ ‎∴﹣（m+1）＜﹣2．‎ ‎①当﹣4＜﹣（m+1）＜﹣2，即1＜m＜3时，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴1＜m＜3．‎ ‎②当﹣（m+1）≤﹣4，即m≥3时，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴3≤m≤8．‎ 综上，实数m的取值范围为（1，8]．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题的应用，解题时应讨论对称轴在区间内还是在区间左侧，还是区间右侧，从而确定函数的最值．‎ ‎　‎