福建省泉州市晋江市子江中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 17页

www.ks5u.com 子江中学2019-2020学年高一上期中考数学试 一、单项选择题（本大题共10小题，共50分，每小题只有一个正确选项）‎ ‎1.已知全集U=R，集合​，则A∩（UB）=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解指数不等式求得集合，解对数不等式求得集合，求得，由此求得.‎ ‎【详解】由可得，x＞-1，∴集合A={x|x＞-1}，‎ 由log3x＜1可得0＜x＜3，∴，‎ 那么：A∩（）={x|或x≥3}‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，考查指数不等式、对数不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.已知，，，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因所以选C．‎ 考点：比较大小 ‎3.幂函数的图象经过点，则（ ）‎ A. 是偶函数，且在上单调递增 B. 是偶函数，且在上单调递减 C. 是奇函数，且在上单调递减 D. 既不是奇函数，也不是偶函数，在上单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数为，由图象过点得，由函数定义域知函数不具有奇偶性，再由得到函数在单调递增.‎ ‎【详解】由题意设，‎ 因为函数的图象经过点，‎ 所以，解得，即，‎ 所以既不是奇函数，也不是偶函数，且在上是增函数.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式后，进一步考查幂函数的奇偶性、单调性，考查对函数性质的理解.‎ ‎4.设函数，则（　）‎ A. 2 B. 4 C. 8 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数定义域，代入可求得，根据的值再代入即可求得的值．‎ ‎【详解】因为 所以 所以 所以选B ‎【点睛】本题考查了根据定义域求分段函数的值，依次代入即可，属于基础题．‎ ‎5.已知x，y∈R+且x+y=4，则使不等式≥m恒成立的实数m的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】由题意知两个正数x，y满足x+y=4，‎ 则 ‎，当且仅当x=，y=时取等号，∴.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查不等式恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎6.某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是 A. y=100x B. y=50x2–50x+100‎ C. y=50×2x D. y=100log2x+100‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设的选项给定的函数，逐一进行验证，即可得到能较好反映销售量和投放市场月数之间的关系，得到答案.‎ ‎【详解】对于A中的函数，当x=3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x=3或4时误差也较大．对于C中的函数，当x=1，2，3时，误差为0，x=4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x=4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的解析式应用问题，其中熟记指数函数、二次函数及对数函数的图象与性质是解答此类问题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎7.若函数 是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得，选C.‎ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.‎ ‎8.已知函数f（x）=ax+b的图象如图所示，则g（x）=loga（x+b）的图象是（ ）‎ ‎[Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2019/11/13/2333133418594304/2365600198049793/STEM/aeec701398084d77862de1f1b96367a8.png]‎ A. [Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2019/11/13/2333133418594304/2365600198049793/STEM/ec969a1e34d14a2581b83958fe544ac7.png] B. [Failed to download image :‎ ‎ http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2019/11/13/2333133418594304/2365600198049793/STEM/479e72ec09d643afaf0c869a8750cf0e.png]‎ C. [Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2019/11/13/2333133418594304/2365600198049793/STEM/836f26f811b749429a1335747225b629.png] D. [Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2019/11/13/2333133418594304/2365600198049793/STEM/0cb7ac3aba114916bc2c02afdfb25ba1.png]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的图像，求得的范围，判断出的单调性，通过平移得到的图像，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】∵根据函数f（x）=ax+b的图像可知，‎ ‎∴0＜a＜1，b＞0，故y=logax的图象单调递减，‎ ‎∵g（x）=loga（x+b）的图像是把y=logax的图像沿x轴向左平移b（b＞0）个单位，∴符合条件的选项是D．‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查指数型函数、对数型函数图像的识别，考查函数图像变换，属于基础题.‎ ‎9.如果关于的不等式的解集是，那么等于（ ）‎ A. -81 B. 81 C. -64 D. 64‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次不等式的解集，利用根与系致的关系求出的值 ,再计的值.‎ ‎【详解】不等式可化为，‎ 其解集是，‎ 那么，由根与系数的关系得，‎ 解得，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系以及知识幂的运算，属于简单题.‎ ‎10.已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.‎ ‎【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 二、多项选择题（本大题共2小题，共10分，每小题有多个正确选项，多选或少选均不得分）‎ ‎11.下列结论中错误的是（ ）‎ A. 函数是指数函数 B. 函数既是偶函数又是奇函数 C. 函数的单调递减区间是 D. 所有的单调函数都有最值 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的定义、函数奇偶性的概念、函数单调性的知识、最值的知识对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项.‎ ‎【详解】对于A，由指数函数的定义可知，错误；‎ 对于B，x2=2018，y=0，既是奇函数又是偶函数，正确；‎ 对于C，函数在整个定义域上不单调，错误；‎ 对于D，比如定义域为开区间时，单调函数没有最值，错误.‎ 故选：ACD ‎【点睛】本小题主要考查函数的单调性、奇偶性和最值的判断，考查指数函数的定义，属于基础题.‎ ‎12.已知定义在R上的函数的图象关于y轴对称，且对于，当且时，恒成立．若对任意的恒成立，则实数的范围可以是下面选项中的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据函数图像的对称性判断出奇偶性，然后结合单调性的定义，判断出函数的单调性.根据单调性和奇偶性化简不等式，利用换元法，结合二次函数的性质，求得的取值范围.‎ ‎【详解】f(x)关于y轴对称，即f(x)为偶函数，‎ 又当时，＜0成立，‎ ‎∴f(x)在(-∞，0）上为减函数，则f(x)在(0,+∞）上为增函数，‎ ‎∵，∴|2ax|<|2x2+1|,即4a2x2<4x4+4x2+1,即4x4+(4-4a2)x2+1>0恒成立，‎ 令t=x2,(t≥0),∴4t2+(4-4a2)t+1>0在[0,+∞)恒成立，令f(t)=4t2+(4-4a2)t+1,‎ ‎∴当t=时，即-1≤a≤1时，f(t)在[0,+∞)上为增函数，∴f(t)min≥f(0)=1>0符合题意，‎ 当t=时，即a<-1或a>1时，应满足(4-4a2)2-16<0,解得,‎ 所以此时a取值范围为,‎ 综上，故AC符合题意 .‎ 故选：AC ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.设全集U=R，，则如图中阴影部分表示的集合为______ ．‎ ‎[Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2019/11/13/2333133418594304/2365600198107136/STEM/798e8cf63f7a4e2f8b08a08cdba762fa.png]‎ ‎【答案】[1，2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断出阴影部分表示，解分式不等式求得集合，解绝对值不等式求得集合，由此求得，从而求得.‎ ‎【详解】根据题意，图中阴影部分表示的区域为只属于A的部分，即A∩（∁UB），∵‎ ‎＜0，即x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，故A=（0，2）‎ ‎∵|x+1|＜2，解得-3＜x＜1，故B=（-3，1），∴∁UB=（-∞，-3]∪[1，+∞）‎ 则A∩（∁UB）=[1，2）.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，考查文氏图的识别，考查分式不等式和绝对值不等式的解法，属于基础题.‎ ‎14.函数的单调递增区间是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据解得定义域为，函数对称轴为且开口向下，在单调递增，在单调递减，根据复合函数同增异减，可得函数的单调递增区间是.‎ 考点：复合函数单调性．‎ ‎15.设是定义在R上的奇函数，当时，，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据当时,直接求得,再跟根据是定义在R上的奇函数,则代入求解即可.‎ ‎【详解】由题.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查奇函数的运用与求值计算,属于基础题型.‎ ‎16.某种汽车安全行驶的稳定性系数随使用年数的变化规律是，其中、是正常数经检测，当时，，则当稳定性系数降为 时，该种汽车已使用的年数为______（结果精确到，参考数据：，）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将代入，结合得出的值，然后令可求出的值，从而得出结果.‎ ‎【详解】由，得 ，令 ，得，两边取常用对数，得，‎ 故.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查对数的应用，解题的关键就是在指数式两边取已知底数的对数，利用对数的运算性质求解，考查计算能力，属于中等题.‎ 四、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17. 不使用计算器，计算下列各题：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用指数幂的运算法则即可得出；‎ ‎（2）利用对数的运算法则即可得出．‎ 试题解析：（1）原式 ‎（2）原式 考点：指数幂的运算，对数的运算 ‎18.已知函数是指数函数．‎ ‎(1)求的表达式；‎ ‎(2)判断的奇偶性，并加以证明[Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2019/7/16/2248252953772032/2248301384204288/STEM/fa86a12555fa4a78bc66ced028920e2a.png] ‎ ‎(3)解不等式：．‎ ‎【答案】（1）（2）见证明；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据指数函数定义得到，检验得到答案.‎ ‎(2) ，判断关系得到答案.‎ ‎(3)利用函数的单调性得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）∵函数是指数函数，且，‎ ‎∴，可得或（舍去），∴；‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，∴，∴是奇函数；‎ ‎（3）不等式：，以2为底单调递增，‎ 即，‎ ‎∴，解集为．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎19.已知函数，‎ ‎（1）若，求在区间上最小值；‎ ‎（2）若在区间上有最大值3，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求函数对称轴，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最小值取法（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数的值 试题解析：解：（1）若，则 ‎ 函数图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的，有又，‎ ‎ ‎ ‎（2）对称轴为 当时，函数在在区间上是单调递减的，则 ‎ ，即； ‎ 当时，函数在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的，则，解得，不符合； ‎ 当时，函数在区间上是单调递增的，则 ‎，解得； ‎ 综上所述，或 点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若m=1，求函数f（x）的定义域．‎ ‎（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．‎ ‎（3）若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）（-∞，-4]∪[0，+∞）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令对数的真数大于零，解一元二次不等式求得的定义域.‎ ‎（2）根据对数真数对应的判别式为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎（3）利用二次函数对称轴和当时真数为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）若m=1，则，‎ 要使函数有意义，需x2-x-1＞0， ‎ 解得或， ‎ ‎∴函数f（x）的定义域为． ‎ ‎（2）若函数f（x）的值域为R，‎ 则x2-mx-m能取遍一切正实数， ‎ ‎∴m2+4m≥0， ‎ 或，‎ ‎∴实数m的取值范围为（-∞，-4]∪[0，+∞）； ‎ ‎（3）若函数f（x）在区间上是增函数，‎ 则y=x2-mx-m在区间上是减函数，‎ 且x2-mx-m＞0在区间上恒成立， ‎ ‎∴≥，且（）2-m（）-m≥0,‎ 即m≥-1且m≤,∴m∈.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查对数型复合函数单调性和值域，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎21.2019年是中华人民共和国建国70周年.建国70年来,我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设。某市政府也越来越重视生态系统的重建和维护，若市财政下拨一项专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目带来的生态收益可表示为投放资金单位：百万元的函数单位：百万元：‎ ‎，处理污染项目带来的生态收益可表示为投放资金单位：百万元的函数单位：百万元：.‎ ‎（1）设分配给植绿护绿项目的资金为百万元，则两个生态项目带来的收益总和为y，写出y关于x的函数解析式和定义域；‎ ‎（2）试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少.‎ ‎【答案】（1）；（2）y的最大值为52万，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40万，60万．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将植绿护绿项目带来的生态收益加上处理污染项目带来的生态收益求得出y关于x的函数解析式，并求得定义域.‎ ‎（2）利用基本不等式求得的最大值，并求得此时对两个生态项目的投资分别为多少.‎ ‎【详解】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为万元，‎ 所以，‎ ‎∴； ‎ ‎（2）由（1）得 ‎ ‎ ‎， ‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 此时． ‎ 答：y的最大值为52万，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40万，60万．‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的运用，考查利用基本不等式求最值的方法，属于基础题.‎ ‎22.设函数是偶函数.‎ ‎（1）求的值，并求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设函数，若方程=0在上有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），或；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据为偶函数求得的值.解一元二次不等式及指数不等式求得不等式的解集.‎ ‎（2）对分离常数，结合函数的单调性和最值，求得的取值范围.‎ ‎（3）对方程分离常数，结合函数的单调性和最值，求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为是偶函数，所以恒成立，即恒成立，‎ 也即恒成立，所以. ‎ 由得，解得或，‎ 即或，‎ 所以不等式的解集为. ‎ ‎（2）不等式即为，‎ 即， ‎ 因为，当且仅当时取等号. ‎ 所以，由函数在上是增函数 知的最小值为3，所以，‎ 故实数的取值范围是. ‎ ‎（3）在上有解，‎ 因为，所以，‎ 所以条件等价于在上有解. ‎ 令，则，令，‎ 则在上单调递增，因此，，. ‎ 设， ‎ 在上单调递增；在上单调递减. ‎ 所以函数在时取得最小值，且最小值，‎ 所以，‎ 从而满足条件的实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查不等式恒成立问题、存在性问题的求解策略，考查函数的单调性和最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎