2018-2019学年河南省商丘市九校高二上学期期末联考数学（理）试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年河南省商丘市九校高二上学期期末联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题：的否定是 (　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由全称命题的否定直接改写即可.‎ ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定为特称命题，所以 命题：的否定是：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有一个量词的命题的否定，一般只需要改量词和结论即可，属于基础题型.‎ ‎2．已知，则下列不等式成立的是 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用不等式的基本性质即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以，‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题型.‎ ‎3．在单调递增的等差数列中，若，则 (　　)‎ A．－1 B． C．0 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先设等差数列的公差为，由题中条件列出方程组，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为,因为，‎ 所以有：，解方程组得：；‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的性质，由题意列方程组求公差和首项即可，属于基础题型.‎ ‎4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则 (　　)‎ A． B．3 C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由余弦定理，列出方程，直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，由余弦定理可得：，解得或，故，‎ 选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理，熟记公式即可，属于基础题型.‎ ‎5．设，则“”是“”的 (　　)‎ A．充分而不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要而不充分条件 ‎【答案】D ‎【解析】先解不等式和不等式，然后结合充要条件的定义判断即可.‎ ‎【详解】‎ 由得；由得，所以由能推出；由不能推出 ‎，故“”是“”的必要不充分条件.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件，结合概念直接判断即可，属于基础题型.‎ ‎6．6．曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）.‎ A． B． C．2 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由，得，故，故切线的斜率为，故选C.‎ ‎【考点】导数的集合意义.‎ ‎7．已知向量且互相垂直，则的值是 (　　)‎ A． B．2 C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由向量垂直，可得对应向量数量积为0，从而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，，‎ 又互相垂直，所以，‎ 即，即，所以;‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题型.‎ ‎8．若实数x，y满足约束条件则的最大值是(　　)‎ A．2 B．0 C．1 D．－4‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由截距的取值范围确定目标函数的最值即可.‎ ‎【详解】‎ 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为，所以直线在y轴截距越小，则目标函数的值越大，‎ 由图像易知，当直线过点A时，截距最小，所以目标函数最大为.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单的线性规划，只需根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线的斜截式，求在y轴截距，即可求解，属于基础题型.‎ ‎9．已知AB是抛物线的一条焦点弦，，则AB中点C的横坐标是 (　　)‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先设两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.‎ ‎【详解】‎ 设，C的横坐标为，则，‎ 因为是抛物线的一条焦点弦，所以，‎ 所以，故.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.‎ ‎10．若不等式的解集为，那么不等式的解集为 (　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到，由根与系数的关系求出的关系，再代入不等式，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为不等式的解集为，所以和是方程的两根，且，所以,即，代入不等式整理得，因为，所以,‎ 所以，‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，已知一元二次不等式的解求参数，通常用到韦达定理来处理，难度不大.‎ ‎11．已知双曲线的左.右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足，则的面积为 (　　)‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由双曲线的定义可得，联立可求出的长，进而可求三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 由双曲线的定义可得，又，两式联立得：‎ ‎，，又，所以，即为直角三角形，所以.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单性质，双曲线的焦点三角形问题，一般需要借助抛物线的性质，结合题中条件来处理，难度不大.‎ ‎12．若函数有两个零点，则实数a的取值范围为 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出函数的导函数，利用导函数求出函数的最小值，再根据函数的零点和最值之间的关系即可求出参数的范围.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的导函数为，令，‎ 得，‎ 所以当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增；‎ 故当时，函数取最小值，‎ 若函数有两个零点，则，即，‎ 又因为时，时，恒成立，不存在零点，‎ 故，‎ 综上：的取值范围是 ，‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，研究函数零点的问题，通常需要对函数求导，研究函数的单调性和最值，进而可求出参数范围，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎13．计算_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由微积分基本定理直接计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查微积分基本定理，根据基本初等函数的导函数，即可求解，属于基础题型.‎ ‎14．已知是等差数列，是等比数列，且 ，. 则数列的前n项和为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由题中条件求出数列和数列的通项公式，再由分组求和法，结合等差数列以及等比数列的求和公式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 设的公差为，的公比为 因为是等比数列，,所以，所以,‎ 又因为是等差数列，，，所以，故，‎ 令，记的前n项和为,‎ 则.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的求和，需要先求数列的通项公式，再用分组求和法求解即可，常用的数列求和的方法有：分组求和，倒序相加，裂项相消，错位相减等，难度较小.‎ ‎15．若椭圆的方程为，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.‎ ‎【答案】4或8‎ ‎【解析】先由椭圆方程表示出焦距，再由题意列出方程，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为是椭圆的方程，所以且，所以,‎ 由椭圆的方程可得，又，‎ 所以，解得或.‎ 故答案为4或8‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的简单性质，由椭圆的长半轴、短半轴以及半焦距之间的关系即可求解，属于基础题型.‎ ‎16．函数在上递减，则实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数在给定区间内单调递减，可得其导函数在给定区间内小于等于0恒成立，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为在上递减，‎ 所以在上恒成立，即在上恒成立,‎ 所以.‎ 即答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，根据函数在某区间上的单调性求参数范围时，通常需要对函数求导，由导函数的正负分离出参数求解即可，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎17．已知正实数a，b满足，求的最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】只需将化为，与相乘，展开后，利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎， ‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用，通常需要将条件变形整理，与所求式子相乘，利用基本不等式来求最值即可，做题时要注意不等式取等号的条件，属于基础题型.‎ ‎18．已知单调的等比数列的前项和为，若，且是，的等差中项. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，且前项的和为，求 ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)由已知得，从而求得，由，得 ‎，进而得通项公式；‎ ‎(Ⅱ) ，，利用裂项相消求和即可.‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)因为是的等差中项，‎ 所以或（舍）； ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ) ；‎ ‎ ‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎19．在中，内角..的对边分别为，且．‎ ‎（1）求角的大小； ‎ ‎（2）若点满足，且，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：利用正弦定理及余弦定理整理求出，即可求得角的大小；‎ 利用余弦定理及常用不等式求解即可 解析：（Ⅰ）‎ 根据正弦定理得  ‎ ‎ ‎ 又  ‎ ‎（Ⅱ）在中，根据余弦定理得 即  ‎ ‎                                                       ‎ 又  ‎ 又 ,  ‎ ‎20．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面且 是的中点．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求与夹角的余弦值；‎ ‎（3）求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】建立空间直角坐标系，求出的坐标，‎ ‎(1)通过证明，利用，即可证明结论成立；‎ ‎(2)求出与的方向向量，由，即可求出结果；‎ ‎(3)在上取一点，则存在，使,求出，再说明为所求二面角的平面角，利用向量夹角公式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，‎ 则 ‎(1)证明：因为 所以，所以.‎ 由题设知，且，‎ 所以平面.‎ 又平面，所以平面平面. ‎ ‎(2)因为，，‎ 所以 故与夹角的余弦值为. ‎ ‎(3)在上取一点，则存在，使，又 所以，‎ 要使，只需，即，解得，可知当时，N点的坐标为，能使，此时，有，‎ 由得，‎ 所以为所求二面角的平面角．‎ 所以，‎ 所以二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的方法在几何中的应用，需要考生掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理以及性质定理，并且熟记空间角的向量计算公式，属于常考题型.‎ ‎21．椭圆，其中，焦距为2，过点的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间．又线段AB的中点的横坐标为，且.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程．‎ ‎(2)求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）运用离心率公式和椭圆的，，的关系，解得，，即可得到椭圆方程；（2）运用向量共线的知识，设出直线的方程，联立椭圆方程，消去，运用判别式大于，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得到，的横坐标，即可得到所求值．‎ 试题解析：（1）由条件可知，，，故，椭圆的标准方程是；（2）由，可知三点共线，设点，点，‎ 若直线轴，则，不合题意， 5分 当A所在直线的斜率存在时，设直线的方程为．‎ 由消去得，①‎ 由①的判别式，解得，‎ ‎， 7分 由，可得，如图， 9分 将代入方程①，得，，‎ 又∵，，，‎ ‎∴，∴， 12分 ‎【考点】1．椭圆的方程和性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．中点坐标公式．‎ ‎22．函数 ‎（1）若函数，求函数的极值；‎ ‎（2）若在恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）极大值为，无极小值；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）在递增,在递减,没有极小值；（2）由在恒成立等价于在恒成立，利用导数求出的最大值，只需即可．‎ 试题解析：（1），定义域 由得, 由得,在递增,在递减,‎ 没有极小值．‎ ‎（2）由在恒成立，整理得在恒成立,设, 则,‎ 时,,且,‎ 时,,设 在递增,又使得 时,,时,,‎ 时,,时,．‎ 函数在递增,递减,递增,‎ 又 ‎，时，,‎ ‎,即的取值范围是 ‎【考点】1、利用导数研究函数的极值及最值；2、不等式恒成立问题．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题．求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值．‎